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1、專題六 解析幾何第 1講 直線與圓主 干 知 識 梳 理熱 點(diǎn) 分 類 突 破真 題 與 押 題考查重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距考查重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題直線與圓的位置關(guān)系離有關(guān)的問題直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦特別是弦長問題長問題)，此類問題難度屬于中等，一般以選擇，此類問題難度屬于中等，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)解答題，題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)解答題，多考查其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識多考查其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識考情解讀3主干知識梳理1.直線方程的五種形式直線方程的五種形式(1)點(diǎn)斜式：點(diǎn)斜式：yy1k(xx1)(直線過點(diǎn)直線

2、過點(diǎn)P1(x1，y1)，且斜，且斜率為率為k，不包括，不包括y軸和平行于軸和平行于y軸的直線軸的直線).(2)斜截式：斜截式：ykxb(b為直線為直線l在在y軸上的截距，且斜率軸上的截距，且斜率為為k，不包括，不包括y軸和平行于軸和平行于y軸的直線軸的直線).(5)一般式：一般式：AxByC0(其中其中A，B不同時(shí)為不同時(shí)為0).2.直線的兩種位置關(guān)系直線的兩種位置關(guān)系當(dāng)不重合的兩條直線當(dāng)不重合的兩條直線l1和和l2的斜率存在時(shí)：的斜率存在時(shí)：(1)兩直線平行兩直線平行l(wèi)1l2k1k2.(2)兩直線垂直兩直線垂直l1l2k1k21.提醒提醒當(dāng)一條直線的斜率為當(dāng)一條直線的斜率為0，另一條直線的斜

3、率，另一條直線的斜率不存在時(shí)，兩直線也垂直，此種情形易忽略不存在時(shí)，兩直線也垂直，此種情形易忽略.提醒提醒應(yīng)用兩平行線間距離公式時(shí)，注意兩平行線應(yīng)用兩平行線間距離公式時(shí)，注意兩平行線方程中方程中x，y的系數(shù)應(yīng)對應(yīng)相等的系數(shù)應(yīng)對應(yīng)相等.4.圓的方程的兩種形式圓的方程的兩種形式(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圓的一般方程：圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0).5.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法與幾何判斷法.(2)圓

4、與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與圓與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法幾何判斷法. 熱點(diǎn)一 直線的方程及應(yīng)用 熱點(diǎn)二 圓的方程及應(yīng)用 熱點(diǎn)三 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系熱點(diǎn)分類突破例1(1)過點(diǎn)過點(diǎn)(5,2)，且在，且在y軸上的截距是在軸上的截距是在x軸上的軸上的截距的截距的2倍的直線方程是倍的直線方程是()A.2xy120B.2xy120或或2x5y0C.x2y10D.x2y10或或2x5y0熱點(diǎn)一 直線的方程及應(yīng)用思維啟迪 不要忽略直線不要忽略直線過原點(diǎn)的情況；過原點(diǎn)的情況；解析當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)方程為當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)方程為2x5y0，再由過點(diǎn)再由過點(diǎn)(5,2)

5、即可解出即可解出2xy120.答案B(2)“m1”是是“直線直線xy0和直線和直線xmy0互相互相垂直垂直”的的()A.充分不必要條件充分不必要條件B.必要不充分條件必要不充分條件C.充要條件充要條件D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件思維啟迪 分別考慮充分分別考慮充分性和必要性性和必要性.解析因?yàn)橐驗(yàn)閙1時(shí)，兩直線方程分別是時(shí)，兩直線方程分別是xy0和和xy0，兩直線的斜率分別是，兩直線的斜率分別是1和和1，兩直線垂，兩直線垂直，所以充分性成立；直，所以充分性成立；當(dāng)直線當(dāng)直線xy0和直線和直線xmy0互相垂直時(shí)，有互相垂直時(shí)，有11(1)m0，所以，所以m1，所以必要性成立，所以必

6、要性成立.故選故選C.答案C(1)要注意幾種直線方程的局限性要注意幾種直線方程的局限性.點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與斜截式要求直線不能與x軸垂直軸垂直.而截距式方程不能表而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線.(2)求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí)，主要求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí)，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即“斜率斜率相等相等”或或“互為負(fù)倒數(shù)互為負(fù)倒數(shù)”.”.若出現(xiàn)斜率不存在的情況，若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究可

7、考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究.思維升華變式訓(xùn)練1已知已知A(3,1)，B(1,2)，若，若ACB的平分線方程為的平分線方程為yx1，則，則AC所在的直線方程為所在的直線方程為()A.y2x4B.y x3C.x2y10D.3xy10解析由題意可知，直線由題意可知，直線AC和直線和直線BC關(guān)于直線關(guān)于直線yx1對稱對稱.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)B(1,2)關(guān)于直線關(guān)于直線yx1的對稱點(diǎn)為的對稱點(diǎn)為B(x0，y0)，因?yàn)橐驗(yàn)锽(1,0)在直線在直線AC上，上，即即x2y10.故故C正確正確.答案C熱點(diǎn)二 圓的方程及應(yīng)用例2(1)若圓若圓C經(jīng)過經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點(diǎn)，且與兩點(diǎn)，且與y軸相切，軸相切，則圓則圓C的

8、方程為的方程為()A.(x2)2(y2)23B.(x2)2(y )23C.(x2)2(y2)24D.(x2)2(y )24思維啟迪 確定圓心在直線確定圓心在直線x2上，然后待定上，然后待定系數(shù)法求方程；系數(shù)法求方程；解析因?yàn)閳A因?yàn)閳AC經(jīng)過經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，所以圓心在直線所以圓心在直線x2上，上，又圓與又圓與y軸相切，所以半徑軸相切，所以半徑r2，設(shè)圓心坐標(biāo)為設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，b)，則則(21)2b24，b23，b ，所以選，所以選D.答案D(2)已知圓已知圓M的圓心在的圓心在x軸上，且圓心在直線軸上，且圓心在直線l1：x2的右側(cè)，若圓的右側(cè)，若圓M截直線截直線l1所得的弦長

9、為所得的弦長為2 ，且與直線，且與直線l2：2x y40相切，則圓相切，則圓M的方程為的方程為()A.(x1)2y24B.(x1)2y24C.x2(y1)24D.x2(y1)24思維啟迪 根據(jù)弦長為根據(jù)弦長為2 及圓與及圓與l2相切列方相切列方程組程組.所以圓所以圓M的方程為的方程為(x1)2y24.故選故選B.答案B圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接表示出了圓心和半徑，而圓的一般圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接表示出了圓心和半徑，而圓的一般方程則表示出了曲線與二元二次方程的關(guān)系，在求解方程則表示出了曲線與二元二次方程的關(guān)系，在求解圓的方程時(shí)，要根據(jù)所給條件選取適當(dāng)?shù)姆匠绦问綀A的方程時(shí)，要根據(jù)所給條件選取適當(dāng)?shù)姆匠绦问?解決與

10、圓有關(guān)的問題一般有兩種方法：解決與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法：(1)幾何法，幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；進(jìn)而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).思維升華變式訓(xùn)練2 (1)已知圓已知圓C：x2(y3)24，過點(diǎn)，過點(diǎn)A(1,0)的直線的直線l與圓與圓C相交于相交于P、Q兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)，若|PQ|2 ，則直線，則直線l的的方程為方程為()A.x1或或4x3y40B.x1或或4x3y40C.x1或或4

11、x3y40D.x1或或4x3y40解析當(dāng)直線當(dāng)直線l與與x軸垂直時(shí)，易知軸垂直時(shí)，易知x1符合題意；符合題意；當(dāng)直線當(dāng)直線l與與x軸不垂直時(shí)，軸不垂直時(shí)，設(shè)直線設(shè)直線l的方程為的方程為yk(x1)，線段，線段PQ的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為M，故所求直線故所求直線l的方程為的方程為x1或或4x3y40.故選故選B.答案B(2)已知圓已知圓C的圓心與拋物線的圓心與拋物線y24x的焦點(diǎn)關(guān)于直線的焦點(diǎn)關(guān)于直線yx對稱，直線對稱，直線4x3y20與圓與圓C相交于相交于A，B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且|AB|6，則圓，則圓C的方程為的方程為_.解析設(shè)所求圓的半徑是設(shè)所求圓的半徑是r，依題意得，拋物線，依題意得，拋物線y24x

12、的焦點(diǎn)坐標(biāo)是的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)，故圓故圓C的方程是的方程是x2(y1)210.x2(y1)210例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，中，點(diǎn)點(diǎn)A(0,3)，直線，直線l：y2x4.設(shè)圓設(shè)圓C的半的半徑為徑為1，圓心在，圓心在l上上.(1)若圓心若圓心C也在直線也在直線yx1上，過點(diǎn)上，過點(diǎn)A作圓作圓C的切線，求切線的方程；的切線，求切線的方程；熱點(diǎn)三 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系思維啟迪 先求出圓先求出圓C的圓心坐標(biāo)，再利用幾何法求出切線斜率；的圓心坐標(biāo)，再利用幾何法求出切線斜率；解由題設(shè)，圓心由題設(shè)，圓心C是直線是直線y2x4和直線和直線yx1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)的交點(diǎn)，解得

13、點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在于是切線的斜率必存在.設(shè)過設(shè)過A(0,3)的圓的圓C的切線方程為的切線方程為ykx3，故所求切線方程為故所求切線方程為y3或或3x4y120.(2)若圓若圓C上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)M，使，使|MA|2|MO|，求圓心，求圓心C的橫的橫坐標(biāo)坐標(biāo)a的取值范圍的取值范圍.思維啟迪 將將|MA|2|MO|化為化為M點(diǎn)坐標(biāo)滿足的條件后，可知點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的條件后，可知點(diǎn)M是兩圓的交點(diǎn)是兩圓的交點(diǎn).解因?yàn)閳A心在直線因?yàn)閳A心在直線y2x4上，上，所以圓所以圓C的方程為的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)椋驗(yàn)閨MA|2|MO|，化簡得化簡得x2y22y3

14、0，即，即x2(y1)24，所以圓心所以圓心M在以在以D(0，1)為圓心，為圓心，2為半徑的圓上為半徑的圓上.由題意，點(diǎn)由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓在圓C上，所以圓上，所以圓C與圓與圓D有公共點(diǎn)，有公共點(diǎn)，則則21|CD|21，由由5a212a80，得，得aR；(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量途徑，減少運(yùn)算量.研究直線與圓的位置關(guān)系主研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)圓的位置關(guān)系

15、的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較兩半徑差與和的比較.思維升華(2)直線與圓相切時(shí)利用直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線建立切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式式.過圓外一點(diǎn)求解切線段長可轉(zhuǎn)化為圓心到圓過圓外一點(diǎn)求解切線段長可轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點(diǎn)距離，利用勾股定理處理外點(diǎn)距離，利用勾股定理處理.思維升華變式訓(xùn)練3(1)(2014重慶重慶)已知直線已知直線axy20與圓心為與圓心為C的圓的圓(x1)2(ya)2

16、4相交于相交于A，B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且ABC為等邊為等邊三角形，則實(shí)數(shù)三角形，則實(shí)數(shù)a_.因?yàn)橐驗(yàn)锳BC為等邊三角形，所以為等邊三角形，所以|AB|BC|2，(2)兩個(gè)圓兩個(gè)圓C1：x2y22axa240(aR)與與C2：x2y22by1b20(bR)恰有三條公切線，則恰有三條公切線，則ab的最小值為的最小值為()A.6 B.3 C.3 D.3解析兩個(gè)圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓兩個(gè)圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓C1：(xa)2y24，圓圓C2：x2(yb)21，即即a2b29.所以所以3ab3，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)“ab”時(shí)取時(shí)取“”.”.所以選所以選C.答

17、案C1.由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時(shí)，由所給的條件和范圍不同，在具體求直線方程時(shí)，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會(huì)產(chǎn)生遺漏的情況，采用的直線方程形式所限，可能會(huì)產(chǎn)生遺漏的情況，尤其在選擇點(diǎn)斜式、斜截式時(shí)要注意斜率不存在的尤其在選擇點(diǎn)斜式、斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況情況.本講規(guī)律總結(jié)2.確定圓的方程時(shí)，常用到圓的幾個(gè)性質(zhì)：確定圓的方程時(shí)，常用到圓的幾個(gè)性質(zhì)：(1)直線與圓相交時(shí)應(yīng)用垂徑定理構(gòu)成直角三角形直線與圓相交時(shí)應(yīng)用垂徑定理構(gòu)成直角三角形(半弦長，半弦長，弦心距，圓半徑弦心距，圓半徑)；(

18、2)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；(3)圓心在任一弦的中垂線上；圓心在任一弦的中垂線上；(4)兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；(5)圓的對稱性：圓關(guān)于圓心成中心對稱，關(guān)于任意一條圓的對稱性：圓關(guān)于圓心成中心對稱，關(guān)于任意一條過圓心的直線成軸對稱過圓心的直線成軸對稱.3.直線與圓中常見的最值問題直線與圓中常見的最值問題圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題；圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問到點(diǎn)的距離問題；圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問

19、題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點(diǎn)與另題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的一圓上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題距離問題.4.過兩圓過兩圓C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20的交點(diǎn)的圓系方程為的交點(diǎn)的圓系方程為x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.5.兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項(xiàng)，得到一兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項(xiàng)，得到一個(gè)二元一次方程，即為兩圓公共弦所在的直線方程個(gè)二元一次方程，即為兩圓公共弦所在的直線方程. 真題感悟 押題精練真題與押題12真題

20、感悟1.(2014江蘇江蘇)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線中，直線x2y30被圓被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為截得的弦長為_.解析圓心為圓心為(2，1)，半徑，半徑r2.真題感悟212.(2014課標(biāo)全國課標(biāo)全國)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓，若在圓O：x2y21上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)N，使得，使得OMN45，則，則x0的取值范圍是的取值范圍是_.解析如圖，過點(diǎn)如圖，過點(diǎn)M作作O的切線，的切線，切點(diǎn)為切點(diǎn)為N，連接，連接ON.M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，MN與與O相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)N.真題感悟21x0的取值范圍為的取值范圍為1,1.答案1,1押題精練1231.在直角坐標(biāo)系在

21、直角坐標(biāo)系xOy中，已知中，已知A(1,0)，B(0,1)，則滿足，則滿足|PA|2|PB|24且在圓且在圓x2y24上的點(diǎn)上的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為的個(gè)數(shù)為_.解析設(shè)設(shè)P(x，y)，則由，則由|PA|2|PB|24，得得(x1)2y2x2(y1)24，xy2，滿足條件的點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為直線xy2和圓和圓x2y24的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，直線與圓相交，直線與圓相交，點(diǎn)點(diǎn)P有有2個(gè)個(gè).2押題精練1232.如果圓如果圓C：x2y22ax2ay2a240與圓與圓O：x2y24總相交，則實(shí)數(shù)總相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_.解析將圓將圓C：x2y22ax2ay2a240變形為變形為(xa)2(ya)24，可知圓心為可知圓心為C(a，a)，半徑為，半徑為r2.圓圓O：x2y24的圓心為的圓心為O(0,0)，半徑為，半徑為R2.押題精練1233.若圓若圓x2y2r2(r0)上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線xy20的距離為的距離為1，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是的取值范圍是_.要使圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線要使圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線xy20的距離的距離為為1，押題精練123