《第22單元 假設(shè)檢驗的基本概念；一個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗；》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第22單元 假設(shè)檢驗的基本概念；一個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗；（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第22講 假設(shè)檢驗 教學(xué)目的：通過本單元的學(xué)習(xí)，掌握假設(shè)檢驗的基本概念，會做一個正態(tài)總體及兩個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗。 教學(xué)重點：假設(shè)檢驗的基本方法及步驟，一個正態(tài)總體及兩個正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)檢驗的方法。 教學(xué)難點：假設(shè)檢驗的基本原理。 教學(xué)時數(shù)：3學(xué)時。 教學(xué)過程： 第七章 假設(shè)檢驗 §7.1 假設(shè)檢驗的基本概念 1. 問題的提出 在實際問題中，我們經(jīng)常要遇到這樣一類問題。在一個總體中原來參數(shù)為，由于工作或生產(chǎn)條件的改變，參數(shù)可能要變化，是變大了，還是變小了，或者是沒變？這是我們要知道的。它可以通過所謂的“假設(shè)檢驗”來實現(xiàn)。 例如，據(jù)以往經(jīng)驗，某地區(qū)成年男性平均身高為1

2、72（）。現(xiàn)隨機抽取一個樣本，算得平均身高為174（）。能否據(jù)此認為該地區(qū)成年男性平均身高提高了，或者是沒有變？ 如果將該地區(qū)成年男性身高記作總體，這就是檢驗的均值的變化情況。當(dāng)檢驗平均身高有沒有變化時，可以用檢驗假設(shè)：； ：表示。稱為原假設(shè)，稱為備擇假設(shè)(一般它是的對立面)，與統(tǒng)稱為檢驗假設(shè)。 當(dāng)檢驗平均身高有沒有提高時，可以用檢驗假設(shè)：； ：表示。也可以用檢驗假設(shè)：；： 表示。 又例如，甲、乙兩臺包裝機包裝白糖，各隨機抽取一個樣本，算得樣本標準差分別為20（）和24（）。問能否據(jù)此認為甲包裝機工作更穩(wěn)定一些？ 如果將甲、乙兩臺包裝機包裝白糖的質(zhì)量分別記作總體、。這就是比較與的方差與

3、大小?？梢杂脵z驗假設(shè)：； ：表示，或者用檢驗假設(shè)：； ：表示。 2. 假設(shè)檢驗的基本原理與推理方法 作假設(shè)檢驗時，先提出檢驗假設(shè)與，我們首先承認原假設(shè)成立，在此基礎(chǔ)上隨機抽取一個樣本進行統(tǒng)計推斷。如果通過推斷得到一個合理現(xiàn)象（這個樣本不是小概率事件），則沒有理由拒絕原假設(shè)，因此我們接受原假設(shè)，并且拒絕備擇假設(shè)；相反，如果通過推斷得到一個不合理現(xiàn)象（這個樣本是小概率事件），則沒有理由接受原假設(shè)，因此我們拒絕原假設(shè)，并且接受備擇假設(shè)。這就是假設(shè)檢驗的基本原理，有些類似于反證法。 假設(shè)檢驗的推理方法是用置信區(qū)間的方法，根據(jù)已知條件（要充分利用已知信息）選擇一個分布已知的統(tǒng)計量，由檢驗的顯著性水

4、平（是一個比較小的數(shù)，常取，，等，一般它是事先給定的）確定一個的拒絕域，滿足 或 再由取定的樣本值計算統(tǒng)計量。如果，則說明這個樣本是小概率事件，現(xiàn)在小概率事件于一次抽樣中居然發(fā)生了，我們有理由認為不合理，于是拒絕，而接受；否則（既），不合理現(xiàn)象沒有發(fā)生，我們沒有理由拒絕，于是接受，而拒絕。下面看一個例子。 例1 某工廠生產(chǎn)的一種電子元件，在正常情況下，其使用壽命服從正態(tài)分布。某日從該廠生產(chǎn)的一批這種電子元件中隨機抽取16個，測得樣本均值，假定電子元件壽命的方差不變，問能否認為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值？ 解 這里，，檢驗假設(shè)為

5、 ：； ： 由服從正態(tài)分布及方差已知，可取統(tǒng)計量 ， 在成立時，服從標準正態(tài)分布。又由于是的估計，在成立時，不能過大，從而也不能過大。因此，過大是小概率事件，記 如果取顯著性水平，查表得，此時 。于是，拒絕，接受。即認為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值。 如果取顯著性水平，查表得，此時 。于是，接受，拒絕。即認為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值。 由此例看出顯著性水平不同，結(jié)論可能不同。因此，假設(shè)檢驗的結(jié)果是與顯著性水平密切相關(guān)的。 3. 雙側(cè)假設(shè)檢驗與單側(cè)假設(shè)檢驗 在例1中，當(dāng)成立時，有不能過

6、大，由此得拒絕域為，它位于取值的兩端，這樣的假設(shè)檢驗稱為雙側(cè)假設(shè)檢驗（或雙尾假設(shè)檢驗）。如果檢驗參數(shù)為，它的檢驗假設(shè)一般提法為 ：； ： 在實際問題中，我們更多關(guān)心的是參數(shù)是否大于某一個值，或者小于某一個值，例如，在例1中我們將問題改為“問能否認為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值不小于？”更為合理。這時檢驗假設(shè)的提法為 ：； ： 這里，。現(xiàn)在仍選作為統(tǒng)計量，而是的估計，在成立時，大一些較為合理，它較小就不合理了，因此較小是小概率事件。如果記 但是，由于。因此，不是正態(tài)總體的

7、均值，從而的分布未知，在此我們無法求得值。為此，再另選一個量，它服從標準正態(tài)分布。當(dāng)成立時，有，于是 這表明事件是比事件發(fā)生的概率還要小的小概率事件。因此，只要令 對于本題，如果取顯著性水平，查表得，此時，，于是拒絕，接受。即認為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值顯著小于。 在上述假設(shè)檢驗中，由于的拒絕域位于取值的一端，這樣的假設(shè)檢驗稱為單側(cè)假設(shè)檢驗（或單尾假設(shè)檢驗）。 在單側(cè)假設(shè)檢驗中，如果的拒絕域位于這個取值的左端，這樣的假設(shè)檢驗稱為左側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗（或左側(cè)單尾假設(shè)檢驗）。如果檢驗參數(shù)為，它的檢驗假設(shè)一般提法為 ：；

8、 ： 在上面解題中我們看到，由于的復(fù)雜，導(dǎo)致解題過程也比較復(fù)雜。為了簡化解題過程，可以將左側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗中假設(shè)檢驗簡化為 ：； ： 要注意的是，如果接受時，結(jié)論應(yīng)為。 類似有右側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗（或右側(cè)單尾假設(shè)檢驗），其檢驗假設(shè)為 ：； ： 也可以簡化為 ：； ： 它的拒絕域位于這個量取值的右端。 4. 假設(shè)檢驗的一般步驟 假設(shè)檢驗一般可以按以下五個步驟進行。 （1）根據(jù)要檢驗的問題提出檢驗假設(shè)，包括原假設(shè)與備擇假設(shè)。 （2）根據(jù)已知條件選一個統(tǒng)計量，

9、要求在成立時，該統(tǒng)計量分布已知。 （3）根據(jù)顯著性水平，查所選統(tǒng)計量的分布臨界值，確定的拒絕域。 （4）根據(jù)樣本觀測值計算統(tǒng)計量，并與臨界值比較。 （5）下結(jié)論。如果計算的統(tǒng)計量在的拒絕域內(nèi)，則拒絕，接受；如果計算的統(tǒng)計量不在的拒絕域內(nèi)，則接受，拒絕 。 5. 假設(shè)檢驗可能犯的兩類錯誤 在假設(shè)檢驗中，由于我們是以局部（一個樣本）去推斷全局（總體），并且又是依據(jù)“小概率事件原理”下結(jié)論。無論小概率有多小，還是有發(fā)生的可能。所以利用上面的方法進行假設(shè)檢驗，可能要作出錯誤的判斷，這種錯誤的判斷有兩種情況，這就是所謂的兩類錯誤。 （1） 原假設(shè)實際是正確的，但是經(jīng)過檢驗將其拒絕了。這樣的錯

10、誤稱為“棄真” 錯誤，也叫第一類錯誤。犯這類錯誤的概率不超過顯著性水平。 （2） 原假設(shè)實際是不正確的，但是經(jīng)過檢驗將其接受了。這樣的錯誤稱為“存 偽”錯誤，也叫第二類錯誤。犯這類錯誤的概率通常記作。 在樣本容量一定時，減小，則增大；減小，則增大，二者不可兼顧。要想讓二者都減小，只能通過增大樣本容量的方法，這樣就要增加檢驗的成本。 §7.2 單個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗 設(shè)總體服從正態(tài)分布，，是容量為的樣本，是樣本均值，是樣本方差。 單個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗就是關(guān)于未知參數(shù)與的假設(shè)檢驗。 1. 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗 （1）已知，檢驗

11、： 由于已知，選統(tǒng)計量 在成立時，服從標準正態(tài)分布，既，。 ① 若：，如例1中分析，得的拒絕域為。 ② 若：，如例1中分析，得的拒絕域為。 （注意，此時，若成立，應(yīng)理解為。在后面的單側(cè)假設(shè)檢驗中，均需類似理解。） ③ 若：， 例2 設(shè)某磚廠生產(chǎn)的磚的抗斷強度，，某天從該廠生產(chǎn)的磚中隨機抽取6塊，測得抗斷強度如下（單位：）： 32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03 檢驗這天該廠生產(chǎn)的磚的平均抗斷強度是否仍為？（取

12、顯著性水平 ） 解 這里，，。 設(shè)：； ： 選統(tǒng)計量 ， 對顯著性水平，查表得。故 ， 拒絕，接受，即不能認為這天該廠生產(chǎn)的磚的平均抗斷強度仍為。 例3 在上例中，檢驗這天該廠生產(chǎn)的磚的平均抗斷強度是否不小于？（取顯著性水平） 解 這里，，。 設(shè)：； ： 選統(tǒng)計量 ， 對顯著性水平，查表得， ， 拒絕，接受，即認為這天該廠生產(chǎn)的磚的平均抗斷強度顯著小于。 注 在單側(cè)假設(shè)檢驗中，我們是選左側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗，還是選右側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗？根據(jù)經(jīng)驗，在均值的假設(shè)檢驗中，先計算樣本均值，如果，選用左側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗為好。如果，選用右側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗為好。在其它問題的單

13、側(cè)檢驗中也類似，若作參數(shù)的單側(cè)檢驗，當(dāng)由樣本算得的估計值滿足時，一般選用左側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗好一些；如果時，一般選用右側(cè)單側(cè)假設(shè)檢驗好一些。 （2）未知，檢驗： 由于未知，考慮用樣本方差替代，因此選統(tǒng)計量 . 在 成立時，服從自由度為的分布，即。 ① 若：， ② 若：， 。 例4 化肥廠用自動包裝機包裝化肥，某日隨機抽取9包，測得質(zhì)量（單位：）如下： 49.7 49.8 50.3 50.5 49.7 50.1 49.9 50.5 50.4 若每包化肥的質(zhì)量服從正態(tài)分布，問是否可以認為

14、這天每包化肥的平均質(zhì)量為50？（取顯著性水平） 解 設(shè)每包化肥質(zhì)量為，則，，， 未知。 設(shè)：； ： 選統(tǒng)計量 對顯著性水平，查表得， ， 接受，拒絕。因此，認為這天每包化肥的平均質(zhì)量為50。 例5 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量服從正態(tài)分布，均值。某日隨機測得7爐鐵水，算得平均含碳量，標準差。以顯著性水平檢驗這天鐵水含碳量的均值是否顯著提高？ 解 這里， 未知。 設(shè)：； ： 選統(tǒng)計量 對顯著性水平，查表得， 拒絕，接受，既認為這天該廠鐵水含碳量的均值顯著提高。 注 此題中如果顯著性水平，結(jié)論將如何？請同學(xué)們自己考慮。 2. 正態(tài)總體方

15、差的假設(shè)檢驗 （1）已知，檢驗： 由于已知。于是，選統(tǒng)計量 在成立時，服從自由度為的分布，既。 ① 若：，由于。因此，在成立時，即不能過大，也不能過小。 表得，。于是，的拒絕域為或。 ② 若：，在成立時，即時，大一些較合理，過小不合理，過是小概率事件。因此，令 例6 在例2中，以顯著性水平，檢驗這天該廠生產(chǎn)的磚的抗斷強度的標 準差是否為？ 解 這里，而已知。 設(shè)：； ： 由已知，選統(tǒng)計量 對顯著性水平，查表得，， 拒絕，接受，既這天該廠生產(chǎn)的磚的抗斷強度的標準差不能認為是。 （2）未知，檢驗： 由于未知，用替代前面中的。于

16、是，選統(tǒng)計量 在成立時，服從自由度為的分布，即。與前面完全相同的理由得 ① 若：，的拒絕域為或。 ② 若：，的拒絕域為。 ③ 若：，的拒絕域為。 例7 自動車床加工某種零件，其直徑（單位：）服從正態(tài)分布，要求。某天開工后，隨機抽取30件，測得數(shù)據(jù)如下： 零件直徑（） 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8 頻數(shù) 1 1 3 6 7 5 4 2 1 檢驗這天加工的零件是否符合要求？（取顯著性水平） 解 這里，未知。 設(shè)：； ： 由未知，選統(tǒng)計量 對顯著性水平，查表

17、得， ， 拒絕，接受，即這天加的工零件直徑的方差大于，不符合要求。 §7.3 兩個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗 設(shè)總體和分別服從正態(tài)分布，和，，和分別是總體和的容量為和的樣本，和分別是兩個樣本的均值，和分別是兩個樣本的方差。 兩個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗，就是比較與之間，與之間的關(guān)系。 1. 兩個正態(tài)總體均值與的比較 （1）當(dāng)及已知時，檢驗： 由于和已知,因此選統(tǒng)計量 在成立時，服從標準正態(tài)分布，即，。 ① 若： 由于成立，有，又與分別是與的估計。因此，不能過大，所以也不能過大，過大是小概率事件。由，得的拒絕域為。 ② 若：，此時，不能過小，過小是小概率事件。由，得的拒

18、絕域為。 ③ 若：，此時，不能過大，過大是小概率事件。由，得的拒絕域為。 例8 兩種工藝下紡的細紗的強力與分別服從正態(tài)分布，和，，各抽取容量為50的樣本，算得，。問兩種工藝下紡的細紗的強力有無明顯差異？（取顯著性水平） 解 這里，為已知。 設(shè)：； ： 由及已知，選統(tǒng)計量 ， 對顯著性水平，查表得， 拒絕，接受，即兩種工藝下紡的細紗的強力有明顯差異。 （2）當(dāng)及未知（但是與相等為已知條件）時，檢驗： 由于及未知，考慮用和分別近似替代和，為使分布已知，應(yīng)選統(tǒng)計量 在成立及時，服從自由度為的分布，即。 ① 若：，與前面相同的道理

19、，此時，不能過大，過大是小概率事件。由，查表得。于是，的拒絕域為。 ② 若：，類似，不能過小，過小是小概率事件。 由，得的拒絕域為。 ③ 若：，此時，不能過大，過大是小概率事件。 由，得的拒絕域為。 例9 某燈泡廠在采用一項新工藝的前后，分別抽取10個燈泡進行壽命試驗。計算得到：采用新工藝前燈泡壽命的樣本均值為，樣本標準差為；采用新工藝后燈泡壽命的樣本均值為，樣本標準差為。設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布，問由此是否可以認為采用新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高？（取顯著性水平，假定采用新工藝前、后燈泡壽命的方差不變，這將在后面進行檢驗） 解 設(shè)采用新工藝前燈泡壽命為，，，采用新工藝后

20、燈泡壽命為，，，這里及未知。 設(shè)：； ： 由及未知，選統(tǒng)計量 對顯著性水平，查表得。由，，，，，計算得 拒絕，接受，即采用新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高。 2．兩個正態(tài)總體方差與的比較 （1）當(dāng)與已知時，檢驗： 由于與已知，選統(tǒng)計量 在成立時，，。 ① 若： ， 由知，在成立時，即不能過大，也不能過小。過大與過小是小 上側(cè)臨界值表，得，，，。于是，的拒絕域為，或，。 ② 若： ， 在成立時，即時，大一些較合理，過小不合理，過是小概率事件。 ,,于是，的拒絕域為，。 例10 甲、乙兩臺包裝機包裝的白糖質(zhì)量都服從均值為的正態(tài)分布

21、 從它們包裝的白糖中隨機抽取如下樣本（單位：）： 甲機： 998 1005 1001 1002 996 995 乙機： 1010 989 992 990 1007 比較甲、乙兩臺包裝機哪臺工作更穩(wěn)定一些？（取顯著性水平） 解 設(shè)甲、乙兩臺包裝機包裝的白糖質(zhì)量分別記作和，則 ，， ， 比較兩臺包裝機哪臺工作更穩(wěn)定，就是比較與的大小。這里已知，算得 = 設(shè)：； ： 由于與已知，選統(tǒng)計量 對顯著性水平，查表得 , , 拒絕，接受，即甲包裝機工作更穩(wěn)定一些。 （2）當(dāng)與未知時，檢驗： 由于與未知，用與分別替代與。于是，應(yīng)選統(tǒng)計量 在成立時，，。與上面完全相同的理由，得 ① 若： ， 則的拒絕域為 ，或， ② 若： ，則的拒絕域為 ， ③ 若： ，則的拒絕域為 ， 例11 以顯著性水平，檢驗例9中。 解 設(shè)采用新工藝前燈泡壽命為，，，采用新工藝后燈泡壽命為，，，這里與未知。 ：；： 選統(tǒng)計量 對顯著性水平，，，，。 ， 接受，拒絕，即可以認為。 19