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1、橢圓、雙曲線及拋物線 一、教學目標： 1.知識目標： （1）了解橢圓、雙曲線及拋物線的定義，理解它們的標準方程，能根據(jù)已知條件寫出它們的方程； （2）由橢圓、雙曲線及拋物線的方程知道它們的焦點坐標，了解圖形的類型． 2.能力目標：培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合能力和邏輯思維能力. 3.思想品質(zhì)目標：對學生進行愛國主義教育，并培養(yǎng)學生對新問題勇于探索的精神. 二、教學重點：對橢圓、雙曲線及拋物線方程的討論. 三、教學難點：對橢圓、雙曲線及拋物線方程的討論.搞清標準方程中系數(shù)的幾何意義，是突破難點的關(guān)鍵. 四、教學方法：講授法、圖示法、歸納法與練習法相結(jié)合. 五、教學過程：

2、（一） 橢圓 1．問題的引入 2003年10月15日９時整，我國自行研制的“神舟”五號載人飛船載著航天員楊利偉在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，飛船在變軌前繞地球運行的軌道是橢圓，見圖5-23. ? 圖5-24 M 圖5-23 橢圓是一種常見的曲線，如汽車油罐橫截面的輪廓，天體中一些行星和衛(wèi)星運行的軌道等． 請同學們準備一條一定長的繩子、兩枚釘子和一支鉛筆按照下面的步驟畫一個橢

3、圓： （1）將繩子的兩端固定在畫板上的和兩點，并使繩長大于和的距離，如圖5-24所示； （2）用鉛筆尖把繩子拉緊，并在畫板上慢慢移動，畫出一個橢圓． 從上面的畫圖中，我們可以看出，繩子的長度是保持不變的，橢圓是由到點和的距離的和等于繩長的所有點組成的． 我們把平面內(nèi)與兩個定點、的距離之和是常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距． 練習題5．4．1.1 請同學們按照上述方法用一條一定長的繩子，并改變兩定點間的距離在畫板畫幾個橢圓，并說出隨著兩定點的距離的變化，橢圓的形狀有什么變化，試著找出其中的規(guī)律． 圖5-25 x y

4、 O M 解答：畫圖略. 兩定點間的距離越大，橢圓越扁；兩定點間的距離越接近于0，橢圓越接近于圓. 2 橢圓的標準方程 根據(jù)上面畫橢圓的步驟來研究橢圓的方程． 取過焦點、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，如圖5-25所示． 設(shè)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為（＞0），橢圓上的點與兩個定點、的距離之和為（＞0），則，的坐標分別為，由條件 ， 可以得到方程 x 圖5-26 y O ， （5．11） 其中.

5、 可以證明，如果點的坐標滿足方程（5．11），那么點一定在橢圓上．因此方程（5．11）叫做焦點在軸上的橢圓的標準方程． 若如圖5-26所示，取過焦點、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，用同樣的方法可以得到它的方程為 ， （5．12） 其中,方程（5．12）叫做焦點在軸上的橢圓的標準方程． 想一想：已知一個橢圓的

6、標準方程，如何判定焦點在x軸還是在軸？ 回答：一般地，比較x、y分母的大小即可判別. 例1 已知橢圓的焦點在軸上，且焦距為8，橢圓上一點到兩個焦點距離之和等于10，寫出橢圓的標準方程． 解 由已知有，即，，所以 ， 由于橢圓的焦點在軸上，因此橢圓的標準方程為 ，即 . 想一想： 如果將例1的已知條件“橢圓的焦點在軸上”刪去，其余條件不變，你能寫出橢圓的標準方程嗎？ 圖5-27 x y o A2 A12 B2 B1 回答：當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為； 當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為. 例2 求橢圓的焦點坐標和焦距． 解 這是焦點在x軸的橢圓的

7、標準方程.故 ， ， 即 . 所以焦點坐標為，焦距． 如圖5-27所示，橢圓與坐標軸的交點分別為A1（?a，0）、A2（a，0）、B1（0，?b）、B2（0，b），線段A1 A2和B1B1分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長度分別為2a和2b. 練習題5．4．1.2 1． 求滿足下列條件的橢圓標準方程： （1），焦點為 （2），焦點為 （3），焦點為 2．求下列橢圓的焦點坐標和焦距． ； ； . 參考答案：1．； ； ； 2 ．（1）焦點坐標，焦距 = 2；（2）焦點坐標，焦距； （3）焦點坐標，焦距 = 2

8、． （二） 雙曲線 1．雙曲線的定義 圖5-28 x y O 大家知道，反比例函數(shù)的圖像是雙曲線（圖5-28）；一個發(fā)電廠通風塔的縱截面的外部輪廓也是雙曲線的一部分（圖5-29）. 圖5-29 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 下面我們?nèi)∫粭l兩邊長度不等的拉鏈，如圖5-30所示，將拉鏈的兩邊分別固定在兩個定點（拉鏈兩邊的長度之差小于的距離）上，把鉛筆尖固定在拉鏈瑣口處，慢慢拉開拉鏈，使鉛筆尖慢慢移動，就可以畫出雙曲線的一部分．將拉鏈的兩邊交換位置分別固定在處，用同樣的方法可以畫出雙曲線的另一部分． 圖5-30 x y 從上面的作

9、圖過程，我們可以看出，拉鏈兩邊的長度之差是保持不變的定值，雙曲線是由與點的距離的差等于定值的點組成的． 我們把平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于且不等于零）的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做焦距． 2．雙曲線的標準方程 根據(jù)上面所說的雙曲線的畫法來研究雙曲線的方程． 取過焦點、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，如圖6-31所示．用與求橢圓標準方程相類似的方法，可以求得焦點、的坐標分別為的雙曲線方程為 , （5．13） 這是焦點在軸上的雙曲線的標準方程． 圖5-32 圖5-31 x y

10、 M ? ? ? ? ? ? ? 類似的，還可以得到焦點在軸的雙曲線標準方程為（圖5-32） （5．14） 其中為雙曲線上的點到焦點距離之差的絕對值，． 方程（5．13）和（5．14）都叫做雙曲線的標準方程. 例3 已知雙曲線的焦點在軸上，且焦距為26，雙曲線上一點到兩個焦點距離之差的絕對值等于10，請寫出雙曲線的標準方程． 解 由已知得，即，， 所以 由于雙曲線的焦點在軸上，因此雙曲線的標準方程為 ，即 . 想一想：如果將上例中的已知條件“雙曲

11、線的焦點在軸上”刪去，其余條件不變，你能求出雙曲線的標準方程嗎？ 回答：與橢圓情況類似，焦點在軸上的雙曲線的標準方程為； 焦點在軸上的雙曲線的標準方程為. 例4 求雙曲線的焦點坐標與焦距. 解 由已知，得，即 因為雙曲線的焦點在軸上，所以焦點坐標為，焦距． 練習題5．4．2 1．求滿足下列條件的雙曲線標準方程： （1），焦點為； （2），焦點為； （3），焦點為． 2．求下列雙曲線的焦點坐標與焦距： ； . 參考答案：1．；； ； 2．（1）焦點坐標 ，焦距；（2）焦點坐標 ，焦距． （三） 拋物線 1．拋物線的定義 M F l 圖5-

12、33 我們知道，一元二次函數(shù)的圖像是拋物線；在現(xiàn)實生活中我們推鉛球，拋出的鉛球在空中運行的軌道是拋物線的一段；很多拱橋的橋孔是拋物線等等． 平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（圖5-33），．定點為拋物線的焦點，定直線為拋物線的準線． 2．拋物線的標準方程 圖5-34 x y E M F 取過焦點，且垂直于準線的直線為軸，軸與相交于點，以線段的垂直平分線為軸，如圖5-34．設(shè)，那么焦點的坐標為，準線的方程為． 設(shè)拋物線上的點到的距離為，那么 所以 ． 兩邊平方并化簡得

13、 （5．15） 方程（5．15）叫做拋物線的標準方程.物線的焦點在的正半軸上，它坐標為，準線方程為． 用同樣的方法我們還可以得到拋物線的另外三種形式的標準方程，下面我們把拋物線的方程、焦點、準線方程和圖形列表（表5-1）. 表5-1 方程 （＞0） （＞0） （＞0） （＞0） 焦點 準線 圖形 ? 例5 物線的焦點坐標為，求它的標準方程． 解 已知得拋物線的焦點在的負半軸上，并且，，所以拋物線的標準方程為 例6 求拋物線的焦點坐標和

14、準線方程． 解 已知得，，焦點坐標的正半軸上，所以焦點坐標為，準線方程為． 練習題5．4．3 1．求符合下列條件的拋物線的標準方程 （1）準線方程是； （2）焦點在的負半軸上，焦點到準線間的距離是8． 2．求下列拋物線的焦點坐標和準線方程： ． 3．請你填加一個適當?shù)臈l件，得到拋物線的方程為． 參考答案：1．； ； 2．（1）（1，0），； ； ； . 3．略． ?六、小結(jié)： 1. 本節(jié)知識內(nèi)容 知識要點 橢圓 雙曲線 定義及標準方程 拋物線 ? ? ?

15、? 2．需要注意的問題 (1)無論已知橢圓方程還是確定橢圓方程，都要首先確定焦點位置，然后再研究下一步問題；已知一個橢圓的標準方程時，比較含x、y項的分母的大小即可判別焦點所在軸；在橢圓的標準方程中， 恒成立. (2) 無論已知雙曲線標準方程還是確定雙曲線標準方程，都要首先確定焦點位置，然后再研究下一步問題；已知一個雙曲線的標準方程時，比較含x、y項的分母的大小即可判別焦點所在軸；在雙曲線的標準方程中，恒成立. (3)無論已知拋物線方程還是確定拋物線方程，都要首先確定焦點位置及開口方向，然后再研究下一步問題；已知一個拋物線的標準方程時，分析一次項的系數(shù)及平方項（或一次項）的變量名稱，即可判別焦點所在軸及開口方向；在拋物線的標準方程中，恒成立. 七.練習與作業(yè)： 練習：習題 5.4第1、2、3題.達標訓練5.4第1題. 作業(yè)：習題 5.4第4、6、7題.達標訓練5.4第2、3題.