《廣西欽州市靈山縣第二中學(xué)高中數(shù)學(xué) 均值不等式課件 新人教A版必修5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《廣西欽州市靈山縣第二中學(xué)高中數(shù)學(xué) 均值不等式課件 新人教A版必修5（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù) 與與幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)新課講授新課講授:1.一個重要不等式一個重要不等式:如果Rba,那么ab2ba22(當(dāng)且僅當(dāng) ba 時取 “=”號）.證明證明: :22()0;()0aba baba b當(dāng)時,當(dāng)時,2()0ab22:2abab故顯然因為:2222()ababa b2abab即顯然顯然,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時時,ab2abab證明證明:2abab.因為因為:22()()2abab2.定理定理 如果如果a,b是正數(shù)是正數(shù),那么那么(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ba 時取時取 “=”).abba2abba22.定理定理 如果如果a,b是正數(shù)是正數(shù),那么那么(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ba 時取

2、時取 “=”).3.3.幾點說明幾點說明: : ,;2aba b1 我們稱為的算術(shù)平均數(shù),.aba b為的幾何平均數(shù)因此定理又可敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).(2)幾種變形幾種變形:2abab2abab2()2abab即4.定理的運用:例例1. 已知已知 都是正數(shù)都是正數(shù),求證求證: (1)若積若積 是定值是定值p,則當(dāng)則當(dāng)x=y時時,和和 有最小值有最小值 ;(2)若和若和 是定值是定值s,則當(dāng)則當(dāng)x=y時積時積 有最大值有最大值 ., x yxyxyxyxy2 P214S證明證明:(1) 積積 是定值是定值p,有有:xy2xyP2()xyPxy 當(dāng)時取因此當(dāng)因此當(dāng) 時

3、和時和 有最小值有最小值xyxy2 P(2)和和 為定值為定值s,有有:xy2Sx y 21()4xySxy即當(dāng)時 取因此當(dāng)因此當(dāng) 時積時積 有最大值有最大值xyxy214S因為因為:,2xyx yRxy求函數(shù)的最值求函數(shù)的最值22810( )xf xxx例2 當(dāng)時,求函數(shù)的最小值,x并求函數(shù)取最小值時 的值.解:229( )( )f xxx9218xx 229813( )18.xxf xxxx 當(dāng)且僅當(dāng)即時,有最小值變化變化1:1:810( )xf xxx當(dāng)時,求函數(shù)的最小值,x并求函數(shù)取最小值時的值.解解: :81819( )18.xxf xxxx當(dāng)且僅當(dāng)即時,有最小值81810( )21

4、8xf xxxxx因為所以變化變化2:2:810( )xf xxx 當(dāng)時,求函數(shù)的最值.解解: :81( )()()f xxx 812 () ()18xx 81819( )18.xxf xxxx 當(dāng)且僅當(dāng)即時,有最大值-8100,0 xxx因為所以2( )3 (83 )xf xxx例3 設(shè)0,求函數(shù)的最值.x并求相應(yīng)的 的值.解解: :( )3 (83 )f xxx3(83 )2xx443833xxx當(dāng)且僅當(dāng)即時,( )3 (83 )4.f xxx有最大值故:因為230,830 xxx05.課堂小結(jié):(1)兩個重要不等式222( ,)abab a bRab當(dāng)時取( ,)2abab a bRab當(dāng)時 取(2)利用均值不等式求函數(shù)最值時注意:一正二定三相等6.思考題:解解: :1(3)33xx12 (3)33xx5min13453xxyx當(dāng)且僅當(dāng)即時,因為330 xx 333xyxx若,求函數(shù)的最小值.13yxx