《數(shù)學第八章 立體幾何 8.3 直線、平面平行的判定和性質(zhì)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數(shù)學第八章 立體幾何 8.3 直線、平面平行的判定和性質(zhì)（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、8.3 直線、平面平行的判定和性質(zhì)高考數(shù)學高考數(shù)學考點平行的判定和性質(zhì)考點平行的判定和性質(zhì) 一、線面、面面平行的判定一、線面、面面平行的判定1.直線與平面的位置關系知識清單位置關系公共點個數(shù)直線在平面內(nèi)直線上所有點都在平面內(nèi)直線在平面外直線和平面相交直線與平面有且僅有一個公共點直線和平面平行直線與平面沒有公共點2.直線和平面平行(1)定義:直線l與平面沒有公共點,則稱直線l與平面平行,記作l.(2)判定定理:如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行(簡記為“線線平行線面平行”).3.兩個平面平行(1)定義:沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.符號表示:平面、平面

2、,若=,則.(2)判定定理(文字語言、圖形語言、符號語言)文字語言圖形語言符號語言判定定理1如果一個平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行面面平行”)a,b,ab=P,a,b判定定理2如果兩個平面同垂直于一條直線,那么這兩個平面平行判定定理3平行于同一個平面的兩個平面平行l(wèi)l二、線面、面面平行的性質(zhì)二、線面、面面平行的性質(zhì)1.直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線就和交線平行(簡記為“線面平行線線平行”).2.兩平面平行的性質(zhì)定理(文字語言、圖形語言、符號語言)文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理1

3、如果兩個平面平行,那么在一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個平面且aa性質(zhì)定理2如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行(簡記為“面面平行線線平行”)且=a且=bab性質(zhì)定理3如果兩個平行平面中有一個垂直于一條直線,那么另一個平面也垂直于這條直線且ll 線面、面面平行的判定的解題策略線面、面面平行的判定的解題策略1.線面平行的判定方法:(1)定義法:證明直線與平面沒有公共點,通常要借助于反證法來證明.(2)判定定理法:在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行.(3)利用面面平行的性質(zhì)定理證明直線為一平面與兩平行平面的一條交線.(4)向量法:證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;或證明直

4、線的方向向量能被平面上的兩個不共線向量線性表示.2.面面平行的判定方法:(1)定義法:證明直線與平面沒有公共點,通常要借助于反證法來證明.(2)判定定理法:證明一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面.方法技巧方法1(3)轉(zhuǎn)化為證明線線平行:證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行.(4)利用平行平面的傳遞性:若,則.(5)向量法:證明兩平面的法向量共線.例1(2016課標全國,19,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.(1)證明MN平面PAB;(2)求直線A

5、N與平面PMN所成角的正弦值.解題導引(1)設PB的中點為T利用中位線性質(zhì)得四邊形AMNT為平行四邊形利用線面平行的判定定理得線面平行(2)建立空間直角坐標系計算平面PMN的法向量利用向量的數(shù)量積得線面角的正弦值解析(1)由已知得AM=AD=2.取BP的中點T,連接AT,TN,由N為PC中點知TNBC,TN=BC=2.(3分)又ADBC,故TNAM,故四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因為AT平面PAB,MN 平面PAB,所以MN平面PAB.(6分)2312(2)取BC的中點E,連接AE.由AB=AC得AEBC,從而AEAD,且AE=.以A為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的

6、空間直角坐標系A-xyz.由題意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,=(0,2,-4),=,=.設n=(x,y,z)為平面PMN的法向量,則即(10分)22ABBE222BCAB5AE55,1,22PMPN5,1, 22AN5,1,22PM0,PN0,nn240,520,2yzxyz可取n=(0,2,1).于是|cos|=.即直線AN與平面PMN所成角的正弦值為.(12分)AN|AN|AN|nn8 5258 525方法總結第(1)問中線面平行的證明,可以通過構造平行四邊形得出線線平行,從而進行證明,也可以取BC的中點,構造面面平行從而獲證線面平行.注意空間向量法是解決立

7、體幾何問題的常用方法.評析本題主要考查線面平行的判定以及線面角的求法,考查空間想象能力和運算求解能力,同時考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用. 線面、面面平行的性質(zhì)的解題策略線面、面面平行的性質(zhì)的解題策略1.線面平行的性質(zhì)的應用是轉(zhuǎn)化為線線平行,一般是過直線找到(或作出)一個平面,使它與已知平面相交,從而轉(zhuǎn)化為線線平行.2.面面平行的性質(zhì)的應用有兩個:一是轉(zhuǎn)化為線線平行,一般是找到(或作出)第三個平面,使它與兩已知平面相交,從而轉(zhuǎn)化為線線平行;二是轉(zhuǎn)化為線面平行.例2(2017浙江寧波二模(5月),18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PAD為正三角形,四邊形ABCD為直角梯形,CDAB,BCAB,平面P

8、AD平面ABCD,點E,F分別為AD,CP的中點,AD=AB=2CD=2.(1)證明:直線EF平面PAB;(2)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.方法2解題導引(1)設BC的中點為M利用中位線性質(zhì)得線線平行利用線面平行的判定定理得線面平行利用面面平行的判定定理得面面平行利用面面平行的性質(zhì)得結論(2)過點E找到一個與平面PBC垂直的平面PEM過點E作平面PBC的垂線,得線面角解三角形得結論解析(1)設BC的中點為M,連接EM,FM,易知EMAB,FMPB,(2分)因為EMAB,EM 平面PAB,AB平面PAB,所以EM平面PAB.同理FM平面PAB.(4分)又EMFM=M,EM平面FEM,FM平面FEM,所以平面EFM平面PAB,(6分)又EF平面FEM,所以直線EF平面PAB.(8分)(2)連接PE,PM.因為平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,且PEAD,所以PE平面ABCD,所以PEBC.又因為EMBC,所以BC平面PEM,(10分)所以平面PBC平面PEM.過點E作EHPM于點H,連接FH,由平面PBC平面PEM可知,EH平面PBC.所以直線EF與平面PBC所成角為EFH.(12分)易求得EF=PC=,EH=,12623 77所以sinEFH=.(15分)EHEF3 7762427