第2講 兩直線的位置關(guān)系考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線互相平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離2012年新課標(biāo)第13題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線方程；2012年大綱第12題考查對(duì)稱的有關(guān)問(wèn)題；2012年新課標(biāo)第20題考查直線、圓與拋物線的綜合應(yīng)用；2013年新課標(biāo)第21題考查直 線、圓、橢圓的綜合應(yīng)用；2015年新課標(biāo)第12題考查函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱求參數(shù)；2016年北京第5題、上海第3題考查點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行線間的距離公式1.求兩條直線的位置關(guān)系(特別是平行與垂直)的判定、兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線之間的距離是高考考查的重點(diǎn)，題型既有選擇題與填空題，又有解答題，難度屬于中低檔題.2.客觀題主要以考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力為主，題目較易，主觀題主要在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，全面考查基本概念和基本能力1.兩條直線的位置關(guān)系12.三個(gè)距離公式1.與直線 3x4y50，關(guān)于 x 軸對(duì)稱的直線方程為_(kāi)；關(guān)于 y 軸對(duì)稱的直線方程為_(kāi)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為_(kāi)；關(guān)于直線 yx 對(duì)稱的直線方程為_(kāi)；關(guān)于直線 yx 對(duì)稱的直線方程為_(kāi).3x4y503x4y503x4y503y4x504x3y502.(2016 年上海)已知平行直線l1：2xy10，l2：2xy 10，則 l1，l2 間的距離為_(kāi).3.(2016 年北京)圓(x1)2y2 2 的圓心到直線 yx3 的距離為()CA.1B.2C. D.解析：圓心坐標(biāo)為(1,0)，由點(diǎn)到直線的距離公式可知 d|103| .故選 C.22 2224.已知 A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，下面四個(gè)結(jié)論：ABCD；ABAD；ACBD；ACBD.其中正確的有()CA.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.4 個(gè)考點(diǎn) 1 兩直線的平行與垂直關(guān)系例 1：已知直線l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m 0，求 m 的值，使得： (1)l1與 l2 相交；(2)l1l2；(3)l1l2；(4)l1與 l2 重合.解：(1)由已知 13m(m2)，即 m22m30，解得 m1，且 m3.故當(dāng)m1，且m3時(shí)，l1與l2相交.(3) 當(dāng) 13 m(m 2) ， 且 12m6(m 2) ， 或m2m36，即 m1 時(shí)，l1l2.(4)當(dāng) 13m(m2)，且 12m6(m2)，即 m3 時(shí)，l1 與 l2 重合.【規(guī)律方法】(1)充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決本題的關(guān)鍵，對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線 l1 和 l2，l1l2k1k2，l1l2k1k2 1.如果有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意.(2)設(shè) l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則 l1 l2A1A2B1B2 0.【互動(dòng)探究】1.已知兩條直線 l1：xm2y60，l2 ：(m2)x3my2m0 ，當(dāng) m 為何值時(shí)，l1 與 l2(1)相交；(2)平行；(3)重合？解：當(dāng) m0時(shí)，l1：x60，l2：x0，l1l2.當(dāng) m2 時(shí)， l1：x4y60，l2：3y20 ，l1 與 l2 相交.故(1)當(dāng) m1 且 m3 且 m0 時(shí)，l1 與 l2 相交.(2)當(dāng) m1 或 m0 時(shí)，l1l2.(3)當(dāng) m3 時(shí)，l1 與 l2 重合.考點(diǎn) 2 直線系中的過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例 2：求證：不論 m 取什么實(shí)數(shù)，直線(m1)x(2m1)ym5 都通過(guò)一定點(diǎn).證明：方法一，取 m1，得直線方程 y4；從而得兩條直線的交點(diǎn)為(9，4).又當(dāng) x9，y4 時(shí)，有 9(m1)(4)(2m1)m5，即點(diǎn)(9，4)在直線(m1)x(2m1)ym5 上.故直線(m1)x(2m1)ym5 都通過(guò)定點(diǎn)(9，4).方法二，(m1)x(2m1)ym5，m(x2y1)(xy5)0.則直線(m1)x(2m1)ym5 都通過(guò)直線 x2y10與 xy50 的交點(diǎn).直線(m1)x(2m1)ym5 通過(guò)定點(diǎn)(9，4).方法三，(m1)x(2m1)ym5，m(x2y1)xy5.由 m 為任意實(shí)數(shù)知，關(guān)于 m 的一元一次方程 m(x2y1)xy5 的解集為 R，直線(m1)x(2m1)ym5 都通過(guò)定點(diǎn)(9，4).【規(guī)律方法】本題考查了方程思想在解題中的應(yīng)用，構(gòu)建方程組求解是解決本題的關(guān)鍵.很多學(xué)生不理解直線過(guò)定點(diǎn)的含義，找不到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，從而無(wú)法下手.【互動(dòng)探究】2.直線(2k1)x(k3)y(k11)0(kR)所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是( B )A.(5,2)B.(2,3)C.D.(5,9)解析：整理，得 k(2xy 1)(x 3y11) 0. 解方程組考點(diǎn) 3 對(duì)稱問(wèn)題考向 1 中心對(duì)稱例 3：平面直角坐標(biāo)系中直線 y2x1 關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的直線方程是_.解析：方法一，在直線l上任取一點(diǎn)P(x，y)，其關(guān)于點(diǎn)(1,1)的對(duì)稱點(diǎn) P(2x,2y)必在直線 y2x1 上， 2y2(2x)1，即 2xy30. 因此，直線 l 的方程為 y2x3.方法二，由題意，得直線 l 與直線 y2x1 平行，設(shè)直線 l 的方程為 2xyC0(C1)，則點(diǎn)(1,1)到兩平行線的距離相等.因此所求直線 l 的方程為 y2x3.方法三，在直線 y2x1 上任取兩個(gè)點(diǎn) A(0,1)，B(1，3)，則點(diǎn) A 關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)為 M(2,1)，點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的y111點(diǎn)為 N(1 ，1). 由兩點(diǎn)式求出對(duì)稱直線 MN 的方程為x1，即 y2x3.21答案：y2x3x2ax，【規(guī)律方法】中心對(duì)稱：解決中心對(duì)稱問(wèn)題的關(guān)鍵在于運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.點(diǎn) P(x，y)關(guān)于 M(a，b)的對(duì)稱點(diǎn) P(x，y)滿足y2by.直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決.考向 2 軸對(duì)稱例 4：已知直線 l：2x3y10，點(diǎn) A(1，2)，求：(1)點(diǎn) A 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) A的坐標(biāo)；(2)直線 m：3x2y60 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱直線 m的方程；(3)直線 l 關(guān)于點(diǎn) A(1，2)對(duì)稱的直線 l的方程.解：(1)設(shè) A(x，y)，再由已知有：(2)在直線 m 上取一點(diǎn)，如 M(2,0)，則 M(2,0)關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)必在 m上.設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為 M(a，b)，又m經(jīng)過(guò)點(diǎn) N(4,3)，由兩點(diǎn)式得直線 m的方程為 9x46y1020.(3)設(shè)點(diǎn) P(x，y)為 l上任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P(x ，y)關(guān)于點(diǎn) A(1，2)的對(duì)稱點(diǎn)為 P(2 x，4y).點(diǎn) P在直線 l 上，2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.【規(guī)律方法】軸對(duì)稱：解決軸對(duì)稱問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題，在求對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解.【互動(dòng)探究】3.(2017 年廣東廣州模擬)直線 x2y10 關(guān)于直線 xy 20 對(duì)稱的直線方程是()A.x2y10C.2xy30B.2xy10D.x2y30解析：由題意，得直線 x2y10 與直線 xy20 的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).在直線 x2y10 上取點(diǎn) A(1,0)，設(shè)點(diǎn) A 關(guān)于直線 xy20 的對(duì)稱點(diǎn)為 B(m，n)，答案：B考向 3 對(duì)稱的應(yīng)用例 5：在直線 l：3xy10 上存在一點(diǎn) P，使得點(diǎn) P 到點(diǎn) A(4,1)和點(diǎn) B(3,4)的距離之和最小，求此時(shí)距離之和的最小值.解：設(shè)點(diǎn) B 關(guān)于直線 3xy10 的對(duì)稱點(diǎn)為 B(a，b)，如圖 D40.圖 D40易錯(cuò)、易混、易漏 忽略直線方程斜率不存在的特殊情形致誤例題：過(guò)點(diǎn) P(1,2)引一條直線 l，使它到點(diǎn) A(2,3)與到點(diǎn)B(4,5)的距離相等，求該直線 l 的方程.錯(cuò)因分析：設(shè)直線方程，只要涉及直線的斜率，易忽略斜率不存在的情形，要注意分類(lèi)討論.正解：方法一，當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，直線 l：x1，顯然到點(diǎn) A(2,3)，B(4,5)的距離相等.當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為 k，則直線 l 的方程為 y2k(x1)，即 kxy2k0.故所求直線 l 的方程為 x3y50 或 x1.當(dāng)直線 l 過(guò)線段 AB 的中點(diǎn)時(shí)，線段 AB 的中點(diǎn)為(1,4)，所以直線 l 的方程為 x1.故所求直線 l 的方程為 x3y50 或 x1.【失誤與防范】方法一是常規(guī)解法，本題可以利用代數(shù)方法求解，即先設(shè)點(diǎn)斜式方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式建立等式求斜率 k，但要注意斜率不存在的情況，很容易漏解且計(jì)算量較大；方法二利用數(shù)形結(jié)合的思想使運(yùn)算量大為減少，即A，B 兩點(diǎn)到直線 l 的距離相等，有兩種情況：直線 l 與 AB平行；直線 l 過(guò)線段 AB 的中點(diǎn).