第7講 拋物線考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想.3.了解拋物線的簡單應(yīng)用2013年新課標(biāo)第8題以求三角形面積為背景，考查拋物線的定義及幾何性質(zhì)；2014年新課標(biāo)第10題考查拋物線的定義；2015年新課標(biāo)第5題以求線段長度為背景，考查橢圓、拋物線的幾何性質(zhì)；2016年新課標(biāo)第20題考查拋物線的幾何意義及直線與拋物線的位置關(guān)系，四川考查拋物線的焦點(diǎn)；2017年新課標(biāo)考查直線與拋物線的位置關(guān)系；新課標(biāo)考查拋物線的定義1.本節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)緊扣拋物線的定義、熟練掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形、簡單的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用.要善于利用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離和到焦點(diǎn)的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化.2.由于高考對拋物線這一知識點(diǎn)的要求屬于“掌握”這一層次，而且以拋物線為背景的試題中滲透考查了數(shù)學(xué)的主要思想，且高考的考查基于“多思少算”的考慮，所以以拋物線為背景的解答題在高考中明顯增多，因此我們應(yīng)重視這一知識點(diǎn)的復(fù)習(xí)1.拋物線的定義平面上到定點(diǎn)的距離與到定直線 l(定點(diǎn)不在直線 l 上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，定直線為拋物線的_.準(zhǔn)線2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)(p0)標(biāo)準(zhǔn)方程y22pxy22pxx22pyx22py范圍x0，yR x0，yRxR，y0 xR，y0對稱軸x 軸x 軸y 軸y 軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e1(續(xù)表)C1.已知拋物線 C：y2016x2，則(A.它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(504,0)B.它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,504)1C.它的準(zhǔn)線方程是 y8064D.它的準(zhǔn)線方程是 y504)D2.(2016 年四川)拋物線 y24x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)解析：由題意，y24x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).故選 D.3.若拋物線 y24x 上的點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離為 6，則點(diǎn) M 的5橫坐標(biāo)是_.解析：xM16xM5.4.(2015 年陜西)若拋物線 y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2y21 的一個(gè)焦點(diǎn)，則 p_.2 2考點(diǎn) 1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例 1：(1)已知拋物線的焦點(diǎn)在 x 軸上，其上一點(diǎn) P(3，m)到焦點(diǎn)的距離為 5，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y28x B.y28x C.y24x D.y24x解析：已知拋物線焦點(diǎn)在 x 軸上，其上有一點(diǎn)為 P(3，m)，顯然開口向左，設(shè) y22px(p0)，由點(diǎn) P(3，m)到焦點(diǎn)的距p4，故標(biāo)準(zhǔn)方程為 y28x.答案：B(2)(2016 年新課標(biāo))以拋物線 C 的頂點(diǎn)為圓心的圓交 C 于A.2B.4C.6D.8圖 D46答案：B【方法與技巧】第(1)題利用拋物線的定義直接得出 p 的值可以減少運(yùn)算；第(2)題主要考查拋物線的性質(zhì)及運(yùn)算，注意解析幾何問題中最容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，所以解題時(shí)一定要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性與技巧性.【互動(dòng)探究】1.(2014 年新課標(biāo))已知拋物線 C：y2x的焦點(diǎn)為F，A(x0，A.1B.2C.4D.8A解析：根據(jù)拋物線的定義：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等考點(diǎn) 2 拋物線的幾何性質(zhì)例 2：(1)已知點(diǎn) P 是拋物線 y22x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn) P 到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()解析：由拋物線的定義知，點(diǎn) P 到該拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn) P 到其焦點(diǎn)的距離，因此點(diǎn) P 到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn) P 到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和即為點(diǎn) P 到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn) P 到該拋物線焦點(diǎn) F 的距離之和.顯然，當(dāng) P，F(xiàn)，(0,2)三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和取得最小值，最小值為答案：A(2)已知直線 l1：4x3y60 和直線 l2：x1，拋物線y2 4x 上一動(dòng)點(diǎn) P 到直線 l1 和直線 l2 的距離之和的最小值是()A.2B.3C.115D.3716解析：直線 l2：x1 為拋物線 y24x 的準(zhǔn)線.由拋物線的定義知，點(diǎn) P 到 l2 的距離等于點(diǎn) P 到拋物線的焦點(diǎn) F(1,0)的距離，故本題化為在拋物線 y24x 上找一個(gè)點(diǎn) P，使得點(diǎn) P 到該拋物線焦點(diǎn) F(1，0)和直線 l1 的距離之和最小，最小值為 F(1,0)到直線 l1：4x3y60 的距離，即 dmin|406|52.故選 A.答案：A在直角梯形 ANFF中，中位線|BM|(3)(2017 年新課標(biāo))已知 F 是拋物線 C：y28x 的焦點(diǎn)，M 是 C 上一點(diǎn)，F(xiàn)M 的延長線交 y 軸于點(diǎn) N.若 M 為 FN 的中點(diǎn)，則|FN|_.解析：如圖 D47，不妨設(shè)點(diǎn) M 位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線 l 與 x 軸交于點(diǎn) F，作 MBl 于點(diǎn) B，NAl 于點(diǎn) A，由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為 x2，則|AN|2，|FF|4. |AN|FF|23.由拋物線的定義有|MF|MB|3，結(jié)合題意，有|MN|MF|3.線段 FN的長度|FN|FM|MN|336.圖 D47答案：6【規(guī)律方法】求兩個(gè)距離和的最小值，當(dāng)兩條線段拉直(三點(diǎn)共線)時(shí)和最小，當(dāng)直接求解怎么做都不可能三點(diǎn)共線時(shí)，聯(lián)想到拋物線的定義，即點(diǎn) P 到該拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn) P 到其焦點(diǎn)的距離，進(jìn)行轉(zhuǎn)換再求解.【互動(dòng)探究】2.(2016 年浙江)若拋物線 y2 4x 上的點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離為910，則 M 到 y 軸的距離是_.解析： xM110 xM 9.考點(diǎn) 3 直線與拋物線的位置關(guān)系x24A 與 B 的橫坐標(biāo)之和為 4.(1)求直線 AB 的斜率；(2)設(shè) M 為曲線 C 上一點(diǎn)，C 在 M 處的切線與直線 AB 平行，且 AMBM，求直線 AB 的方程.例3：(2017年新課標(biāo))設(shè) A，B 為曲線 C：y 上兩點(diǎn)，【規(guī)律方法】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是一個(gè)很寬泛的考試內(nèi)容，主要由求值、求方程、求定值、求最值、求參數(shù)取值范圍等幾部分組成；解析幾何中的證明問題通常有以下幾類：證明點(diǎn)共線或直線過定點(diǎn)、證明垂直、證明定值問題.其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線，解決這類問題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應(yīng)用.【互動(dòng)探究】3.(2017 年新課標(biāo))已知 F 為拋物線C：y2 4x 的焦點(diǎn)，過F 作兩條互相垂直的直線 l1，l2，直線 l1 與 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，直線 l2 與 C 交于 D，E 兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為()A.16B.14C.12D.10解析：設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直線 l1 的方程為 yk(x1)，答案：A思想與方法利用運(yùn)動(dòng)變化的思想探求拋物線中的不變問題例題：AB 為過拋物線焦點(diǎn)的動(dòng)弦，點(diǎn) P 為 AB 的中點(diǎn)，A，B， P 在準(zhǔn)線 l 的射影分別是A1，B1，P1.有以下結(jié)論：FA1FB1；AP1BP1；BP1FB1；AP1FA1. 其中正確的有()A.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.4 個(gè)解析：如圖 7-7-1(1)， |AA1|AF|，AA1FAFA1，又AA1F1F，AA1FA1FF1，則AFA1A1FF1.同理BFB1B1FF1，則A1FB190，故FA1FB1.|AA1|BB1|如圖 7-7-1(2)，|PP1|2|AF|BF|2|AB|2，即AP1B為直角三角形，故AP1BP1. 如圖7-7-1(3)，|BB1|BF|，即BB1F為等腰三角形，|PP1|PB|，PP1BPBP1.又BB1P1P，PP1BB1BP1，則PBP1B1BP1，即BP1為角平分線，故BP1FB1.如圖7-7-1(4)，同有AP1FA1.綜上所述，都正確.故選D.(1)(3)(2)(4)圖 7-7-1答案：D【規(guī)律方法】首先利用拋物線的定義能得到多個(gè)等腰三角形，然后利用平行線的性質(zhì)，得到多對相等的角，最后充分利用平面幾何的性質(zhì)解題.【互動(dòng)探究】4.已知拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)弦 AB 的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別A.4B.4C.p2D.p2A