6、兩根為x1，x2，則x1+x2=，x1x2=4．所求方程兩根為t1，t2，
t1==，t2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=－16=．
∴ 所求方程為(x－)(x－)=0，即36x2－161x+34=0．
5．把半徑為1的四個(gè)小球疊成兩層放在桌面上：下層三個(gè)，上層一個(gè)，兩兩相切，求上層小球最高點(diǎn)離桌面的高度．
解：邊長(zhǎng)為2的正四面體的高h(yuǎn)=．故所求高度=1++1=2+．
6．如圖，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，從線段AB上的另一點(diǎn)C向直線AB的一側(cè)引線段CD，令線段CD的中點(diǎn)為N，BD的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，求證：直線PQ平分線段AC．
證明：連NP，取AC中點(diǎn)
7、O，則由于N、P分別為CD、BD中點(diǎn)，故NP∥AB，NP=BC=(AB－AC)=AM=AO=OM．
∴ NPMO為平行四邊形．即PO經(jīng)過MN中點(diǎn)Q．即直線PQ平分線段AC．
7．證明：當(dāng)n、k都是給定的正整數(shù)，且n>2，k>2時(shí)，n(n－1)k－1可以寫成n個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和．
解：設(shè)開始的一個(gè)偶數(shù)為2m，則此n個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和為(2m+…+2m+2n－2)×n÷2=n(2m+n－1)．
令n(n－1)k－1= n(2m+n－1)，則(n－1)k－1－(n－1)=2m．
無論n為偶數(shù)還是奇數(shù)，(n－1)k－1－(n－1)均為偶數(shù)，故m=[(n－1)k－1－(n－1)]為整數(shù)．
∴ 從
8、(n－1)k－1－(n－1)開始的連續(xù)n個(gè)偶數(shù)的和等于n(n－1)k－1．由于n、k給定，故(n－1)k－1－(n－1)確定．故證．
8．證明：頂點(diǎn)在單位圓上的銳角三角形的三個(gè)角的余弦的和小于該三角形的周長(zhǎng)之半．
解：設(shè)此三角形三個(gè)角為A、B、C，則其三邊長(zhǎng)分別為2sinA，2sinB，2sinC．
本題即證明 cosA+cosB+cosC90°，故90°>A>90°－B>0，TsinA>sin(90°－B)=cosB，同理，sinB>cosC，sinC>cosA，三式相加，即得證．
9．已知直線l1：y=4x和點(diǎn)P(6，4)，在
9、直線l1上求一點(diǎn)Q，使過PQ的直線與直線l1以及x軸在第Ⅰ象限內(nèi)圍成三角形面積最小．
解：設(shè)Q(a，4a)，(a>1)則直線PQ方程為y－4=(x－6)，令y=0，得x=6－=．
∴ S=··4a==10(a+1+)=10(a－1++2)≥10(2+2)=40．當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)S取得最小值．
即所求點(diǎn)為Q(2，8)．
10．求方程組的整數(shù)解．
解：x3＋y3＋z3－3xyz=(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx)=0，故xyz=－6．
故x=－3，y=1，z=2，等共6組解．
二試題
1．四邊形兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后分別相交，且交點(diǎn)的連線與四邊形的一條對(duì)角線平行，證明
10、：另一條對(duì)角線的延長(zhǎng)線平分對(duì)邊交點(diǎn)連成的線段．
證明：如圖所示，BD∥EF，作BG∥ED交AC于G，則
==，從而GD∥BC，即BCDG為平行四邊形．P為BD中點(diǎn)，從而Q為EF中點(diǎn)．
2．⑴ 分解因式：x12+x9+x6+x3+1．
⑵ 證明：對(duì)于任意角度θ，都有5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0．
解：⑴令ε=cos＋isin．
∴ (x3－1)( x12+x9+x6+x3+1)=x15－1=(x－εk)．而x3－1=(x－1)(x－ε5)(x－ε10)．
故x12+x9+x6+x3+1=(x－εk)．
⑵ 令x=cosθ，則5+8cosθ+4cos2θ+cos
11、3θ=5+8x+4(2x2－1)+4x3－3x=4x3+8x2+5x+1=(x+1)(2x+1)2≥0在x≥－1時(shí)成立．
3．設(shè)R為平面上以A(4，1)、B(－1，－6)、C(－3，2)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括三角形的邊界)．試求當(dāng)(x，y)在R上變動(dòng)時(shí)，函數(shù)4x－3y的極大值和極小值．(須證明你的論斷)
解：令4x－3y=t，則此直線在x軸上的截距即為t．
分別以A、B、C的值代入，得相應(yīng)的t=13，14，－18．即4x－3y的極大值為14，極小值為－18．
4．設(shè)ABCD為任意給定的四邊形，邊AB、BC、CD、CA的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，證明：四邊形ABCD的面積≤EG
12、?HF≤(AB+CD)? (AD+BC)．
證明：連EF、FG、GH、HE，取BD中點(diǎn)P，連EP、PG．
易證S四邊形EFGH=S四邊形ABCD．
而S四邊形EFGH=EG?HFsin∠EOF≤EG?HF．
但EP=AD，PG=BC．EP+PG≥EG，故 (AD+BC)≥EG，
同理，(AB+CD)≥HF．故EG?HF≤(AB+CD)? (AD+BC)，
從而，四邊形ABCD的面積≤EG?HF≤(AB+CD)? (AD+BC)．
5．設(shè)有十人各拿提桶一只到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i(i=1，2，…，10)個(gè)人的提桶需時(shí)Ti分鐘，假定這些Ti各不相同，問：
(Ⅰ) 當(dāng)只有
13、一個(gè)水龍頭可用時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使你們的總的花費(fèi)時(shí)間(包括各人自己接水所花時(shí)間)為最少？這時(shí)間等于多少？(須證明你的論斷)
(Ⅱ) 當(dāng)有兩個(gè)水龍頭可用時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使你們的總的花費(fèi)時(shí)間為最少？這時(shí)間等于多少？(須證明你的論斷)
解：當(dāng)只有1個(gè)水龍頭可用時(shí)，所需時(shí)間為10T1+9T2+8T3+…+T10，
若當(dāng)1≤iTj，則其余人不動(dòng)，交換第i個(gè)人與第j個(gè)人的次序，則所需時(shí)間改變量
10T1+…+(11－i)Ti+…+(11－j)Tj+…+T10－(10T1+…+(11－i)Tj+…+(11－j)Ti+…)
=(11－i)(Ti－Tj)+
14、(11－j)(Tj－Ti)=(Tj－Ti)(i－j)>0．即這樣交換后，所需時(shí)間變少．
∴ 應(yīng)使注滿桶所需的時(shí)間少的人先注水．不妨設(shè)T1
全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版
