《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版16》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版16（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1996年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試卷 第一試 (10月13日上午8：00－9：20) 一、選擇題(本題滿分36分，每題6分) 1． 把圓x2+(y－1)2=1與橢圓9x2+(y+1)2=9的公共點，用線段連接起來所得到的圖形為( ) (A)線段 (B)不等邊三角形 (C)等邊三角形 (D)四邊形 2． 等比數(shù)列{an}的首項a1=1536,公比q=－,用πn表示它的前n項之積。則πn(n∈N*)最大的是( ) (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 3． 存在整數(shù)n,使+是整數(shù)的質(zhì)數(shù)p(

2、 ) (A)不存在 (B)只有一個 (C)多于一個,但為有限個 (D)有無窮多個 4． 設(shè)x∈(－，0),以下三個數(shù)α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小關(guān)系是( ) (A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1 5． 如果在區(qū)間[1,2]上函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+在同一點取相同的最小值，那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是( )

3、 (A) 4++ (B) 4－+ (C) 1－+ (D)以上答案都不對 6． 高為8的圓臺內(nèi)有一個半徑為2 的球O1，球心O1在圓臺的軸上，球O1與圓臺的上底面、側(cè)面都相切，圓臺內(nèi)可再放入一個半徑為3的球O2，使得球O2與球O1、圓臺的下底面及側(cè)面都只有一個公共點，除球O2，圓臺內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個數(shù)是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二、填空題(本題滿分54分，每小題9分) 1． 集合{x|－1≤log10<－

4、，x∈N*}的真子集的個數(shù)是 ． 2． 復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1，z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，·z2的實部為零，z1的輻角主值為，則z2=_______． 3． 曲線C的極坐標方程是ρ=1+cosθ，點A的極坐標是(2,0)，曲線C在它所在的平面內(nèi)繞A旋轉(zhuǎn)一周，則它掃過的圖形的面積是_______． 4． 已知將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長為2，則最遠的兩頂點間的距離是________． 5． 從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的六個面染色，每 面恰染一種顏色，每兩個具有公共棱的

5、面染成不同的顏色。則不同的染色方法共有_______種．(注：如果我們對兩個相同的正方體染色后，可以通過適當?shù)姆D(zhuǎn)，使得兩個正方體的上、下、左、右、前、后六個對應(yīng)面的染色都相同，那么，我們就說這兩個正方體的染色方案相同．) 6． 在直角坐標平面，以(199,0)為圓心，199為半徑的圓周上整點(即橫、縱坐標皆為整數(shù)的點)的個數(shù)為________． 第二試 一、（本題滿分25分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an－1（n=1，2，…），數(shù)列{bn }滿足b1=3，bk+1=ak+bk(k=1，2，…)．求數(shù)列{bn }的前n項和． 二、（本題滿分25分）求

6、實數(shù)a的取值范圍，使得對任意實數(shù)x和任意θ∈[0，]，恒有 （x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥． 三、（本題滿分35分）如圖，圓O1和圓O2與△ABC的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H為切點，并且EG、FH的延長線交于P點。求證直線PA與BC垂直。 E F A B C G H P O1。 。O2 四、（本題滿分35分）有n(n≥6)個人聚會，已知： （1）每人至少同其中個人互相認識； （2）對于其中任意個人，或者其中有2 人相識，或者

7、余下的人中有2人相識． 證明：這n個人中必有三人兩兩認識． 1996年全國高中數(shù)學聯(lián)賽解答 第一試 一、選擇題(本題滿分36分，每題6分) 1． 把圓x2+(y－1)2=1與橢圓9x2+(y+1)2=9的公共點，用線段連接起來所得到的圖形為( ) (A)線段 (B)不等邊三角形 (C)等邊三角形 (D)四邊形 解：9－9(y－1)2=9－(y+1)2，T8y2－20y+8=0，Ty=2或，相應(yīng)的，x=0，或x=±． 此三點連成一個正三角形．選C． 2． 等比數(shù)列{an}的首項a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n項之積。則πn(

8、n∈N*)最大的是( ) (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 解：πn=1536n×(－)，故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比較： 又，=15363′()66－36>1，=1536′()78－66<1．故選C． 3． 存在整數(shù)n,使+是整數(shù)的質(zhì)數(shù)( ) (A)不存在 (B)只有一個 (C)多于一個,但為有限個 (D)有無窮多個 解：如果p為奇質(zhì)數(shù)，p=2k+1，則存在n=k2(k∈N+)，使+=2k+1．故選D．

9、 4． 設(shè)x∈(－,0)，以下三個數(shù)α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小關(guān)系是( ) (A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1 解：α1= cos(sin|x|π)>0，α2=sin(cos|x|π)>0，α3=cos(1－|x|)π<0，排除B、D． ∵ sin|x|π+ cos|x|π=sin(|x|π+)<，于是cos|x|π<－sin|x|π， ∴ sin(cos|x|π)

10、=－，則α1=cos，α2=sin，α3=cosπ<0．由于<<，故α1>α2． 5． 如果在區(qū)間[1,2]上函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+在同一點取相同的最小值，那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是( ) (A) 4++ (B) 4－+ (C) 1－+ (D)以上答案都不對 解：g(x)= x+=x+x+≥3=．當且僅當x=即x=時g(x)取得最小值． ∴－=，=，Tp=－2，q=+． 由于－1<2－．故在[1．2]上f(x)的最大值為f(2)=4－+．

11、故選B． 6． 高為8的圓臺內(nèi)有一個半徑為2 的球O1，球心O1在圓臺的軸上，球O1與圓臺的上底面、側(cè)面都相切，圓臺內(nèi)可再放入一個半徑為3的球O2，使得球O2與球O1、圓臺的下底面及側(cè)面都只有一個公共點，除球O2，圓臺內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個數(shù)是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：O2與下底距離=3，與O1距離=2+3=5，與軸距離=4，問題轉(zhuǎn)化為在以4為半徑的圓周上，能放幾個距離為6的點？ 右圖中，由sin∠O2HC=3/4>0．707，即∠O2HO3>90°，即此圓上還可再放下2個滿足要求的點

12、．故選B． 二、填空題(本題滿分54分，每小題9分) 1． 集合{x|－1≤log10<－，x∈N*}的真子集的個數(shù)是 ． 解 由已知，得

13、isin(θ－)]，若其實部為0，則θ－=，于是θ=．z2=－+i． 3． 曲線C的極坐標方程是ρ=1+cosθ，點A的極坐標是(2,0)，曲線C在它所在的平面內(nèi)繞A旋轉(zhuǎn)一周，則它掃過的圖形的面積是_______。 解：只要考慮|AP|最長與最短時所在線段掃過的面積即可． 設(shè)P(1+cosθ，θ)， 則|AP|2=22+(1+cosθ)2－2·2(1+cosθ)cosθ=－3cos2θ－2cosθ+5 =－3(cosθ+)2+≤．且顯然|AP|2能取遍[0，]內(nèi)的一切值，故所求面積=π． 4． 已知將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六面體，并且該

14、六面體的最短棱的長為2，則最遠的兩頂點間的距離是________。 解：該六面體的棱只有兩種，設(shè)原正三棱錐的底面邊長為2a，側(cè)棱為b． 取CD中點G，則AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A—CD—E的平面角．由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，則∠BFD為二面角B—AC—D的平面角． AG=EG=，BF=DF=，AE=2=2． 由cos∠AGE=cos∠BFD，得=． ∴ =T9b2=16a2，Tb=a，從而b=2，2a=3． AE=2．即最遠的兩個頂點距離為3． 5． 從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的六個面染色，每面恰染一種顏色，每兩個具有

15、公共棱的面染成不同的顏色。則不同的染色方法共有_______種。(注：如果我們對兩個相同的正方體染色后，可以通過適當?shù)姆D(zhuǎn)，使得兩個正方體的上、下、左、右、前、后六個對應(yīng)面的染色都相同，那么，我們就說這兩個正方體的染色方案相同。) 解：至少3種顏色： 6種顏色全用：上面固定用某色，下面可有5種選擇，其余4面有(4－1)!=6種方法，共計30種方法； 用5種顏色：上下用同色：6種方法，選4色：C(4－1)! =30；6×30÷2=90種方法；． 用4種顏色：CC=90種方法． 用3種顏色：C=20種方法． ∴共有230種方法． 6． 在直角坐標平面，以(199,0)為圓心，19

16、9為半徑的圓周上整點(即橫、縱坐標皆為整數(shù)的點)的個數(shù)為________． 解：把圓心平移至原點，不影響問題的結(jié)果．故問題即求x2+y2=1992的整數(shù)解數(shù)． 顯然x、y一奇一偶，設(shè)x=2m，y=2n－1．且1≤m，n≤99． 則得4m2=1992－(2n－1)2=(198+2n)(200－2n)．m2=(99+n)(100－n)≡(n－1)(－n) (mod 4) 由于m為正整數(shù)，m2≡0，1 (mod 4)；(n－1)(－n)≡ 二者矛盾，故只有(0，±199)，(±199，0)這4解． ∴ 共有4個．(199，±199)，(0，0)，(398，0)． 第二試 一、（本

17、題滿分25分） 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an－1（n=1，2，…），數(shù)列{bn }滿足b1=3，bk+1=ak+bk（k=1，2，…)．求數(shù)列{bn }的前n項和． 解：a1=2a1－1，a1=1； an=(2an－1)－(2an－1－1)=2an－2an－1，Tan=2an－1．T{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．a(chǎn)n=2n－1． bk+1－bk=2k－1，Tbn－b1=(bn－bn－1)+(bn－1－bn－2)+…+(b2－b1)=2n－2+2n－3+…+20=2n－1－1． ∴ bn=2n－1+2． ∴ bi=2n+2n－1． 二、（本題滿分25分）

18、 求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意實數(shù)x和任意θ∈[0，]，恒有 （x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥． 解：令sinθ+cosθ=u，則2sinθcosθ=u2－1，當θ∈[0，]時，u∈[1，]． 并記f(x)= (x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2． ∴ f(x)=(x+2+u2)2+(x+au)2=2x2+2(u2+au+2)x+(u2+2)2+(au)2=2[x+(u2+au+2)]2+(u2－au+2)2． ∴ x=－(u2+au+2)時，f(x)取得最小值(u2－au+2)2．∴ u2－au+2≥

19、，或u2－au+2≤－． ∴ a≤u+，或a≥u+．當u∈[1，]時，u+∈[，]；u+∈[，]． ∴ a≤或a≥． 三、（本題滿分35分） 如圖，圓O1和圓O2與△ABC的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H為切點，并且EG、FH的延長線交于P點。求證直線PA與BC垂直。 證明 設(shè)⊿ABC的三邊分別為a、b、c，三個角分別為A、B、C，則 CE=BF=CG=BH=(a+b+c)． ∴BE=(a+b+c)－a=(b+c－a)． ∴EF=(a+b+c)+(b+c－a)=b+c． 連CO1,則CO1平分∠ECG,CO1⊥EG,T∠FEP=90°－∠C． 同理∠EFP=9

20、0°－∠B,∠EPF=(B+C)． ∵= ，∴EP=(b+c)。 設(shè)P、A在EF上的射影分別為M、N，則EM=EPcos∠FEP=(b+c) ． 又BN=ccosB，故只須證ccosB+ (b+c－a)= (b+c) , 即sinCcosB+ (sinB+sinC－sin(B+C)) =(sinB+sinC) 就是 2coscossin=sinCcosB－sinBcosC－cosBsinC+sincos 右邊= sin(C－B)+sincos=cos(sin－sin) =2cos cos sin 。故證。 四、（本題滿分35分） 有n（n≥6）個

21、人聚會，已知： （1）每人至少同其中個人互相認識； （2）對于其中任意個人，或者其中有2 人相識，或者余下的人中有2人相識． 證明：這n個人中必有三人兩兩認識． 證明：作一個圖，用n個點表示這n個人，凡二人認識，則在表示此二人的點間連一條線．問題即，在題設(shè)條件下，存在以這n點中的某三點為頂點的三角形．設(shè)點a連線條數(shù)最多，在與a連線的所有點中點b連線最多，與a連線的點除b外的集合為A，與b連線的點除a外的集合為B． 1° 設(shè)n=2k，則每點至少連k條線，A、B中都至少有k－1個點． ⑴若存在一點c，與a、b都連線，則a、b、c滿足要求； ⑵若沒有任何兩點與此二點都連線(圖1)， 則

22、由A∩B=?，|A∪B|≤2k－2，|A|≥k－1，|B|≥k－1， 故得 |A|=|B|=k－1，且圖中每點都連k條線．若A(或B)中存在兩點，這兩點間連了一條線，則此二點與a連出三角形，若A中任何兩點間均未連線，B中任兩點也未連線，則A∪中不存在兩點連線，B∪{a}中也不存在兩點連線．與已知矛盾． 2° 設(shè)n=2k+1．則每點至少連k條線，A、B中都至少有k－1個點． ⑴若存在一點c，與a、b都連線，則a、b、c滿足要求； ⑵若沒有任何兩點與此二點都連線，且|A|≥k，則由|B|≥k－1時(圖2)，則由A∩B=?，|A∪B|≤2k－1，|A|≥k，|B|≥k－1， 故得|A∪B

23、|=2k－1，|A|=k，|B|=k－1，若A(或B)中存在兩點，這兩點間連了一條線，則此二點與a連出三角形，若A中任何兩點間均未連線，B中任兩點也未連線，則A∪中不存在兩點連線，B∪{a}中也不存在兩點連線．與已知矛盾． ⑶若沒有任何兩點與此二點都連線，且|A|=k－1，即每點都只連k條線．這時，必有一點與a、b均未連線，設(shè)為c．c與A中k1個點連線，與B中k2個點連線，k1+k2=k，且1≤k1，k2≤k－1．否則若k2=0，則A∪中各點均未連線，B∪{a，c}中各點也未連線．矛盾．故k1，k2≥1．且由于n>6，即k1，k2中至少有一個≥2，不妨設(shè)k1≥2，現(xiàn)任取B中與c連線的一點b1，由于b1與B中其余各點均未連線，若b1與A中的所有與c連線的點均未連線，則b1連線數(shù)≤2+k－1－k1≤k－1，矛盾，故b1至少與此k1個點中的一點連線．故證．