《全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版10》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版10（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 第一試 (10月14日上午8∶00—10∶00) 一．選擇題(本題滿分30分，每小題5分) 1．設(shè)α∈(，),則(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小順序是 A．(cosa)cosa<(sina)cosa<(cosa)sina B．(cosa)cosa<(cosa)sina <(sina)cosa C．(sina)cosa<(cosa)cosa<(cosa)sina D．(cosa)sina <(cosa)cosa<(sina)cosa 2．設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的周期為2的函數(shù)，且是偶函數(shù)，已知當(dāng)x∈[2,

2、3]時(shí)，f(x)=x，則當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)的解析式是( ) A．f(x)=x+4 B． f(x)=2-x C． f(x)=3－|x+1| D． f(x)=2+|x+1| 3．設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)是F1、F2，左右頂點(diǎn)是M、N，若△PF1F2的頂點(diǎn)P在雙曲線上，則△PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2的切點(diǎn)位置是( ) A．在線段MN內(nèi)部 B．在線段F1M內(nèi)部或在線段NF2內(nèi)部 C．點(diǎn)M或點(diǎn)N D．不能確定的 4．點(diǎn)集{(x，y)|lg(x3+y3+)=lgx+lgy}中元素個(gè)數(shù)為( ) A．

3、0 B．1 C．2 D．多于2 5．設(shè)非零復(fù)數(shù)x、y滿足x2+xy+y2=0，則代數(shù)式+的值是( ) A．2－1989 B．－1 C．1 D．以上答案都不對(duì) 6．已知橢圓+=1(a>b>0)通過(guò)點(diǎn)(2，1)，所有這些橢圓上滿足|y|>1的點(diǎn)的集合用陰影表示是下面圖中的( ) 二．填空題(本題滿分30分，每小題5分) 1．設(shè)n為自然數(shù)，a、b為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b=2，則 +的最小值是 ． 2．設(shè)A(2，0)為平面上一定點(diǎn)，P(si

4、n(2t－60°)，cos(2t－60°))為動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)t由15°變到45°時(shí)，線段AP掃過(guò)的面積是 ． 3．設(shè)n為自然數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，則n的最小值是 ． 4．對(duì)任意正整數(shù)n，連結(jié)原點(diǎn)O與點(diǎn)An(n，n+3)，用f(n)表示線段OAn上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)(不計(jì)端點(diǎn))，試求f(1)+f(2)+…+f(1990)． 5．設(shè)n=1990，則 (1－3C+32C－33C+…+3994C－3995C= ． 6．8個(gè)女孩與25個(gè)男孩圍成一圈，任何兩個(gè)女孩之間至少站兩個(gè)男孩

5、，則共有 種不同和排列方法．(只要把圓旋轉(zhuǎn)一下就能重合的排法認(rèn)為是相同的)． 三．(本題滿分20分) 已知a，b均為正整數(shù)，且a>b，sinθ=，(其中0<θ<)，An=(a2+b2)nsinnθ．求證：對(duì)于一切自然數(shù)n，An均為整數(shù)． 四．n2個(gè)正數(shù)排成n行n列 a11 a12 a13 a14 ……a1n a21 a22 a23 a24 ……a2n a31 a32 a33 a34 ……a3n a41 a42 a43 a44 ……a4n …………………………………… an1

6、 an2 an3 an4 ……ann 其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等．已知a24=1，a42=，a43=，求a11+a22+……+ann． 五．設(shè)棱錐M—ABCD的底面為正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑． 第二試 (10月14日上午10∶30—12∶30) 一．(本題滿分35分) 四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對(duì)角線AC與BD相交于P，設(shè)三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圓圓心分別是O1、O2、O3、O4．求證OP

7、、O1O3、O2O4三直線共點(diǎn)． O O A B C D P 1 O O O 2 3 4 F 二．(本題滿分35分) 設(shè) E={1，2，3，……，200}， G={a1，a2，……，a100}E． 且G具有下列兩條性質(zhì)： ⑴ 對(duì)任何1≤i

8、學(xué)，第i所中學(xué)派出Ci名代表(1≤Ci≤39，1≤i≤n)來(lái)到體育館觀看球賽，全部學(xué)生總數(shù)為Ci=1990．看臺(tái)上每一橫排有199個(gè)座位，要求同一學(xué)校的學(xué)生必須坐在同一橫排，問(wèn)體育館最少要安排多少橫排才能夠保證全部學(xué)生都能坐下． 1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(解答) 第一試 一．選擇題(本題滿分30分，每小題5分) 1．設(shè)α∈(，),則(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小順序是 A．(cosa)cosa<(sina)cosa<(cosa)sina B．(cosa)cosa<(cosa)sina <(sina)cosa C．(sina)cosa<

9、(cosa)cosa<(cosa)sina D．(cosa)sina <(cosa)cosa<(sina)cosa (1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽) 解：α∈(，)T0

10、|x+1| 解 設(shè)x∈[－2,－1],則x+4∈[2,3],于是f(x+4)=x+4，但f(x)= f(x+4)=x+4 (x∈[－2,－1])， 又設(shè)x∈[－1,0)，則－x∈(0,1],故f(－x)=－x+2，由f(x)= f(－x)=－x+2 (x∈[－1，0). f(x)=3－|x+1|=故選C． 3．設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)是F1、F2，左右頂點(diǎn)是M、N，若△PF1F2的頂點(diǎn)P在雙曲線上，則△PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2的切點(diǎn)位置是( ) A．在線段MN內(nèi)部 B．在線段F1M內(nèi)部或在線段NF2內(nèi)部 C．點(diǎn)M或點(diǎn)N D．不能確定

11、的 解：設(shè)內(nèi)切圓在三邊上切點(diǎn)分別為D、E、F，當(dāng)P在右支上時(shí)，PF1－PF2=2a． 但PF1－PF2=F1D－F2D=2a，即D與N重合，當(dāng)P在左支上時(shí)，D與M重合．故選C． 4．點(diǎn)集{(x，y)|lg(x3+y3+)=lgx+lgy}中元素個(gè)數(shù)為( ) A．0 B．1 C．2 D．多于2 解：x3+y3+=xy>0．但x3+y3+≥3=xy，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x3=y3=時(shí)，即x=，y=時(shí)成立．故選B． 5．設(shè)非零復(fù)數(shù)x、y滿足x2+xy+y2=0，則代數(shù)式+的值是( ) A．2－1989

12、 B．－1 C．1 D．以上答案都不對(duì) 解：=ω或ω2，其中ω=cos120°+isin120°．1+ω+ω2=0．且ω3=1． 若=ω，則得()1990+()1990=－1．若=ω2，則得()1990+()1990=－1．選B． 6．已知橢圓+=1(a>b>0)通過(guò)點(diǎn)(2，1)，所有這些橢圓上滿足|y|>1的點(diǎn)的集合用陰影表示是下面圖中的( ) 解：+=1，由a2>b2，故得<1<+=，15．故選C． 二．填空題(本題滿分30分，每小題5分) 1．設(shè)n為自然數(shù)，a、b為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b=2，則 +

13、的最小值是 ． 解：ab≤()2=1，從而anbn≤1，故 + = ≥1．等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)成立．即所求最小值=1． 2．設(shè)A(2，0)為平面上一定點(diǎn)，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))為動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)t由15°變到45°時(shí)，線段AP掃過(guò)的面積是 ． 解：點(diǎn)P在單位圓上，sin(2t－60°)=cos(150°－2t)，cos(2t－60°)=sin(150°－2t).當(dāng)t由15°變到45°時(shí)，點(diǎn)P沿單位圓從(－，)運(yùn)動(dòng)到(,)．線段AP掃過(guò)的面積=扇形面積=π． 3．設(shè)n為自然數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，恒有(x2+y2+

14、z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，則n的最小值是 ． 解：(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2≤x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)．等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)成立．故n=3． 4．對(duì)任意正整數(shù)n，連結(jié)原點(diǎn)O與點(diǎn)An(n，n+3)，用f(n)表示線段OAn上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)(不計(jì)端點(diǎn))，試求f(1)+f(2)+…+f(1990)． 解 線段OAn的方程為y=x(0≤x≤n)，故f(n)等于該線段內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)． 若n=3k(k∈N+)，則得y=x (0≤x≤n)(k∈N*)，其內(nèi)有兩

15、個(gè)整點(diǎn)(k，k+1)，(2k，2k+2)，此時(shí)f(n)=2； 若n=3k±1(k∈N+)時(shí)，則由于n與n+3互質(zhì)，故OAn內(nèi)沒(méi)有格點(diǎn)，此時(shí)f(n)=0． ∴ f(1)+f(2)+…+f(1990)=2[]=1326． 5．設(shè)n=1990，則 (1－3C+32C－33C+…+3994C－3995C= ． 解：取(－+i)1990展開(kāi)的實(shí)部即為此式．而(－+i)1990=－+i．故原式=－． 6．8個(gè)女孩與25個(gè)男孩圍成一圈，任何兩個(gè)女孩之間至少站兩個(gè)男孩，則共有 種不同和排列方法．(只要把圓旋轉(zhuǎn)一下就能重合的排法認(rèn)為是相同的)． 解：

16、每個(gè)女孩與其后的兩個(gè)男孩組成一組，共8組，與余下9個(gè)男孩進(jìn)行排列，某個(gè)女孩始終站第一個(gè)位子，其余7組在8+9－1個(gè)位子中選擇7個(gè)位子，得C=C種選法． 7個(gè)女孩可任意換位，25個(gè)男孩也可任意換位，故共得C?7!?25!種排列方法． 三．(本題滿分20分) 已知a，b均為正整數(shù)，且a>b，sinθ=，(其中0<θ<)，An=(a2+b2)nsinnθ．求證：對(duì)于一切自然數(shù)n，An均為整數(shù)． 證明：由sinθ=，得cosθ=．記An=(a2+b2)ncosnθ． 當(dāng)a、b均為正整數(shù)時(shí)，A1=2ab 、B1=a2－b2均為整數(shù)． A2=4ab(a2－b2)，B2=2(a2－b2)2－(a

17、2+b2)2也為整數(shù)． 若Ak=(a2+b2)ksinkθ、Bk=(a2+b2)kcoskθ均為整數(shù)， 則Ak+1=(a2+b2)k+1sin(k+1)θ=(a2+b2)k+1sinkθcosθ+(a2+b2)coskθsinθ=Ak?B1+A1Bk為整數(shù)． Bk+1=(a2+b2)k+1cos(k+1)θ=(a2+b2)k+1coskθcosθ－(a2+b2)k+1sinkθsinθ=BkB1－AkA1為整數(shù)． 由數(shù)學(xué)歸納原理知對(duì)于一切n∈N*，An、Bn為整數(shù)． 四．n2個(gè)正數(shù)排成n行n列 a11 a12 a13 a14 ……a1n a21

18、 a22 a23 a24 ……a2n a31 a32 a33 a34 ……a3n a41 a42 a43 a44 ……a4n …………………………………… an1 an2 an3 an4 ……ann 其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等．已知a24=1，a42=，a43=， 求a11+a22+……+ann．(1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽) 分析 由a42、a43或求a44，由a24，a44可求公比． 解 設(shè)第一行等差數(shù)列的公差為d，各列的公比為q． ∴

19、 a44=2a43－a42=． 由a44=a24?q2，得， q=. ∴ a12=a42?q－3=1． ∴ d= = ， ∴ a1k=a12+(k－2)d=k(k=1，2，3，…，n) ∴ akk=a1kqk－1=k·()k－1=()k·k． 令Sn= a11+a22+…+ann． 則 S－S=－=+－ = + －－ =1－. ∴

20、 S=2－． 五．設(shè)棱錐M—ABCD的底面為正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑． 解：取AD、BC中點(diǎn)E、F，則ME⊥AD，AB⊥MA，AB⊥AD，TAB⊥平面MAD， ∴ 平面MAD⊥平面ABC． ∴ ME⊥平面ABC． ∴ 平面MEF⊥平面ABC． ∵ EF∥AB，故EF⊥平面MAD，∴ 平面MEF⊥平面MAD． ∵ BC⊥EF，BC⊥ME，∴ BC⊥平面MEF， ∴平面MEF⊥平面MBC． 設(shè)AB=a，則ME= ，MF=．a(chǎn)+≥2，≥2． 取△MEF的內(nèi)切圓圓心O，作OP⊥EF、OQ⊥ME，OR⊥MF，由于平面

21、MEF與平面MAD、ABC、MBC均垂直，則OP、OQ、OR分別與平面ABC、MAD、MBC垂直．從而以此內(nèi)切圓半徑為半徑的球與平面MAD、ABC、MBC都相切， 設(shè)此球的半徑為r，則 ∴ r=(a+－)≤≤=－1．等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=，即a=時(shí)成立． 作QH⊥MA，由于OQ∥AB，故OQ∥平面MAB，故球心O與平面MAB的距離=QH， 當(dāng)AB=，ME=，MA=，MQ=－(－1)=1． ∵ △MQH∽△MAE，∴=，QH===>－1． 即O與平面MAB的距離>r，同理O與平面MCD的距離>r．故球O是放入此棱錐的最大球． ∴ 所求的最大球半徑=－1． 第二試 (10月14

22、日上午10∶30—12∶30) 一．(本題滿分35分) 四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對(duì)角線AC與BD相交于P，設(shè)三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圓圓心分別是O1、O2、O3、O4．求證OP、O1O3、O2O4三直線共點(diǎn)． 證明 ∵O為⊿ABC的外心，∴ OA=OB． ∵ O1為⊿PAB的外心，∴O1A=O1B． ∴ OO1⊥AB． 作⊿PCD的外接圓⊙O3，延長(zhǎng)PO3與所作圓交于點(diǎn)E，并與AB交于點(diǎn)F，連DE，則D1=D2=D3，DEPD=DBPF， ∴ DPFB=DEDP=90°． ∴ PO3⊥AB，即OO1∥PO3． 同理，OO3∥PO1．即OO1PO3是平行四

23、邊形． ∴ O1O3與PO互相平分，即O1O3過(guò)PO的中點(diǎn)． 同理，O2O4過(guò)PO中點(diǎn)． ∴ OP、O1O3、O2O4三直線共點(diǎn)． 二．(本題滿分35分) 設(shè) E={1，2，3，……，200}， G={a1，a2，……，a100}E． 且G具有下列兩條性質(zhì)： ⑴ 對(duì)任何1≤i

24、集合中至多能取出1個(gè)數(shù)．于是至多可以選出00個(gè)數(shù)．現(xiàn)要求選出100個(gè)數(shù)，故每個(gè)集合恰選出1個(gè)數(shù)． 把這100個(gè)集合分成兩類：① {4k+1，200－4k}；② {4k－1，202－4k}．每類都有50個(gè)集合． 設(shè)第①類選出m個(gè)奇數(shù)，50－m個(gè)偶數(shù)，第②類中選出n個(gè)奇數(shù)，50－n個(gè)偶數(shù)． 于是1?m+0?(50－m)+(－1)?n+2?(50－n)≡10080≡0(mod 4)．即m－3n≡0(mod 4)，即m+n≡0(mod 4) ∴ G中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)． ⑵ 設(shè)選出的100個(gè)數(shù)為x1，x2，…，x100，于是未選出的100個(gè)數(shù)為201－x1，201－x2，…，201－x1

25、00． 故x1+x2+…+x100=10080． ∴ x12+x22+…+x1002+(201－x1)2+(201－x2)2+…+(201－x100)2 =2(x12+x22+…+x1002)－2×201×(x1+x2+…+x100)+100×2012 =2(x12+x22+…+x1002)－2×201×10080+100×2012 =12+22+32+…+2002． ∴ x12+x22+…+x1002=[(12+22+32+…+2002)+2×201×10080－100×2012] =[×200×201×401+201×20160－20100×201] =×[100×67×4

26、01+201×60]=1349380．為定值． 三．(本題滿分35分) 某市有n所中學(xué)，第i所中學(xué)派出Ci名代表(1≤Ci≤39，1≤i≤n)來(lái)到體育館觀看球賽，全部學(xué)生總數(shù)為Ci=1990．看臺(tái)上每一橫排有199個(gè)座位，要求同一學(xué)校的學(xué)生必須坐在同一橫排，問(wèn)體育館最少要安排多少橫排才能夠保證全部學(xué)生都能坐下． 解：首先，199>39×5，故每排至少可坐5所學(xué)校的學(xué)生． 1990=199×10，故如果沒(méi)有“同一學(xué)校的學(xué)生必須坐在同一橫排”的限制，則全部學(xué)生只要坐在10排就夠了． 現(xiàn)讓這些學(xué)生先按學(xué)校順序入坐，從第一排坐起，一個(gè)學(xué)校的學(xué)生全部坐好后，另一個(gè)學(xué)校的學(xué)生接下去坐，如果在某一

27、行不夠坐，則余下的學(xué)生坐到下一行．這樣一個(gè)空位都不留，則坐10排，這些學(xué)生就全部坐完．這時(shí)，有些學(xué)校的學(xué)生可能分坐在兩行，讓這些學(xué)校的學(xué)生全部從原坐處起來(lái)，坐到第11、12排去．由于，這種情況只可能在第一行末尾與第二行開(kāi)頭、第二行末尾與第三行開(kāi)頭、……第九行末尾與第十行開(kāi)頭這9處發(fā)生，故需要調(diào)整的學(xué)校不超過(guò)10所，于是第11、12行至多各坐5所學(xué)校的學(xué)生，就可全部坐完．這說(shuō)明12行保證夠坐． 其次證明，11行不能保證就此學(xué)生按條件全部入坐：199=6×33+1．1990=34×58+18． 取59所學(xué)校，其中58所學(xué)校34人，1所學(xué)校18人．則對(duì)前58所學(xué)校的學(xué)生，每排只能坐5所學(xué)校而不能坐6所學(xué)校．故11排只能坐其中55所學(xué)校的學(xué)生．即11排不夠坐． 綜上可知，最少要安排12橫排才能保證全部學(xué)生都能坐下．