15、界上的整點．由兩軸及x+y=100圍成區(qū)域(包括邊界)內(nèi)的整點數(shù)=1+2+3+…+101=5151個．
由x軸、y=x，x+y=100圍成區(qū)域(不包括y=x上)內(nèi)的整點數(shù)(x=1，2，3時各有1個整點，x=4，5，6時各有2個整點，…，x=73，74，75時有25個整點，x=76，77，…，100時依次有25，24，…，1個整點．共有3×1+3×2+…+3×25+25+24+…+1=4(1+2+…+25)=1300．由對稱性，由y軸、y=3x、x+y=100圍成的區(qū)域內(nèi)也有1300個整點．
∴所求區(qū)域內(nèi)共有5151－2600=2551個整點．
5． 將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并
16、使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是 ．
解：頂點染色，有5種方法，
底面4個頂點，用4種顏色染，A=24種方法，用3種顏色，選 1對頂點C，這一對頂點用某種顏色染C，余下2個頂點，任選2色染，A種，共有CCA=48種方法；用2種顏色染： A=12種方法；
∴共有5(24+48+12)=420種方法．
6． 設M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且滿足條件：當x∈A時，15x?A，則A中元素的個數(shù)最多是 ．
解：1995=15×133．故取出所有不是15的倍數(shù)的數(shù)，共1862個，這此數(shù)均符合要求．
在所有15的
17、倍數(shù)的數(shù)中，152的倍數(shù)有8個，這此數(shù)又可以取出，這樣共取出了1870個．即|A|≥1870．
又{k，15k}(k=9，10，11，…，133)中的兩個元素不能同時取出，故|A|≤1995-133+8=1870．
第二試
一、(25分) 給定曲線族2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ為參數(shù)，求該曲線在直線y=2x上所截得的弦長的最大值．
解：以y=2x代入曲線方程得x=0，x=．
∴ 所求弦長l=．故只要求|x|的最大值即可．
由(2x－8)sinθ－(x+1)cosθ=1－3x．T(2x－8)2+(x+1)2≥(1－3x)2，即x2+1
18、6x－16≤0．
解之得，－8≤x≤2．即|x|≤8(當sinθ=±，cosθ=?時即可取得最大值)．故得最大弦長為8．
二、(25分) 求一切實數(shù)p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三個根均為正整數(shù)．
解：x=1是方程的一個根．于是只要考慮二次方程
5x2－5px+66p－1=0
的兩個根為正整數(shù)即可．
設此二正整數(shù)根為u、v．則由韋達定理知，
消去p，得5uv－66(u+v)=－1．同乘以5：52uv－5×66u－5×66v=－5．
∴ (5u－66)(
19、5v－66)=662－5=4351=19×229．由于u、v均為整數(shù)，故5u－66、5v－66為整數(shù)．
∴
∴ 其中使u、v為正整數(shù)的，只有u=17，v=59這一組值．此時p=76．
三、(35分) 如圖，菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E，F(xiàn)，G，H，在弧EF與GH上分別作圓O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證： MQ∥NP．
分析 要證MQ∥NP，因AB∥DC，故可以考慮證明∠AMQ=∠CPN．現(xiàn)∠A=∠C，故可證ΔAMQ∽ΔCPN．于是要證明AM∶AQ=CP∶CN．
證明 設∠ABC=2a，∠BNM=2b，∠BMN=2γ．則
20、
由ON平分∠ONM，得∠ONC=∠ONM=(180°－2b)=90°－b；
同理，∠OMN=∠OMA=90°－γ．
而∠CON=180°－∠OCN－∠ONC=b+a=90°－γ，于是ΔCON∽ΔAMO，
∴AM∶AO=CO∶CN，即AM·CN=AO2．
同理，AQ·CP=AO2，∴AM·CN=AQ·CP．
∴ΔAMQ∽ΔCPN，∴∠AMQ=∠CPN．
∴MQ∥NP．
四、(35分) 將平面上的每個點都以紅，藍兩色之一著色．證明：存在這樣兩個相似的三角形，它們的相似比為1995，并且每一個三角形的三個頂點同色．
證明：首先證明平面上一定存在三個頂點同色的直角三角形．
21、
任取平面上的一條直線l，則直線l上必有兩點同色．設此兩點為P、Q，不妨設P、Q同著紅色．過P、Q作 直線l的垂線l1、l2，若l1或l2上有異于P、Q的點著紅色，則存在紅色直角三角形．若l1、l2上除P、Q外均無紅色點，則在l1上任取異于P的兩點R、S，則R、S必著藍色，過R作l1的垂線交l2于T，則T必著藍色．△RST即為三頂點同色的直角三角形．
設直角三角形ABC三頂點同色(∠B為直角)．把△ABC補成矩形ABCD(如圖)．把矩形的每邊都分成n等分(n為正奇數(shù)，n>1，本題中取n=1995)．連結(jié)對邊相應分點，把矩形ABCD分成n2個小矩形．
AB邊上的分點共有n+1個，由于n為奇數(shù)
22、，故必存在其中兩個相鄰的分點同色，(否則任兩個相鄰分點異色，則可得A、B異色)，不妨設相鄰分點E、F同色．考察E、F所在的小矩形的另兩個頂點E￠、F￠，若E￠、F￠異色，則△EFE￠或△DFF￠為三個頂點同色的小直角三角形．若E￠、F￠同色，再考察以此二點為頂點而在其左邊的小矩形，…．這樣依次考察過去，不妨設這一行小矩形的每條豎邊的兩個頂點都同色．
同樣，BC邊上也存在兩個相鄰的頂點同色，設為P、Q，則考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一橫邊兩個頂點異色，則存在三頂點同色的小直角三角形．否則，PQ所在列的小矩形的每條橫邊兩個頂點都同色．
現(xiàn)考察EF所在行與PQ所在列相交的矩
23、形GHNM，如上述，M、H都與N同色，△MNH為頂點同色的直角三角形．
由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比為1995，且這兩個直角三角形的頂點分別同色．
證明2：首先證明：設a為任意正實數(shù)，存在距離為2a的同色兩點．任取一點O(設為紅色點)，以O為圓心，2a為半徑作圓，若圓上有一個紅點，則存在距離為2a的兩個紅點，若圓上沒有紅點，則任一圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的六個頂點均為藍色，但此六邊形邊長為2a．故存在距離為2a的兩個藍色點．
下面證明：存在邊長為a，a，2a的直角三角形，其三個頂點同色．如上證，存在距離為2a的同色兩點A、B(設為紅點)，以AB為直徑作圓，并取圓內(nèi)接六邊形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一點為紅色，則存在滿足要求的紅色三角形．若C、D、E、F為藍色，則存在滿足要求的藍色三角形．
下面再證明本題：由上證知，存在邊長為a，a，2a及1995a，1995a，1995′2a的兩個同色三角形，滿足要求．
證明3：以任一點O為圓心，a及1995a為半徑作兩個同心圓，在小圓上任取9點，必有5點同色，設為A、B、C、D、E，作射線OA、OB、OC、OD、OE，交大圓于A￠，B￠，C￠，D￠，E￠，則此五點中必存在三點同色，設為A￠、B￠、C￠．則DABC與DA￠B￠C￠為滿足要求的三角形．
全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版15
