《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版2（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1981年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽 1．選擇題(本題滿分35分，每題答對者得5分，答錯者得－2分，不答者得0分) ⑴ 條件甲：兩個三角形的面積和兩條邊對應(yīng)相等． 條件乙：兩個三角形全等． A．甲是乙的充分必要條件 B．甲是乙的必要條件 C．甲是乙的充分條件 D．甲不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件 ⑵ 條件甲：=a． 條件乙：sin+cos=a． A．甲是乙的充分必要條件 B．甲是乙的必要條件 C．甲是乙的充分條件 D．甲不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件 ⑶ 設(shè)α≠ (k≠0，

2、±1，±2，……)， T=． A．T取負(fù)值 B．T取非負(fù)值 C．T取正值 D．T取值可正可負(fù) ⑷ 下面四個圖形中，哪一個面積大？ A．△ABC：∠A=60°，∠B=45°，AC= B．梯形：兩條對角線的長度分別為和，夾角為75° C．圓：半徑為1 D．正方形：對角線長度為2.5 ⑸ 給出長方體ABCD—A￠B￠C￠D￠，下列12條直線：AB￠，BA￠，CD￠，DC￠，AD￠，DA￠，BC￠，CB￠，AC，BD，A￠C￠，B￠D￠中有多少對異面直線？ A．30對 B．6

3、0對 C．24對 D．48對 ⑹ 在坐標(biāo)平面上有兩個區(qū)域M和N，M是由y≥0，y≤x和y≤2-x?這三個不等式確定，N是隨t變化的區(qū)域，它由不等式t≤x≤t+1確定，t的取值范圍是0≤t≤1?，設(shè)M和N的公共面積是函數(shù)f(t)，則f(t)為 A．－t2+t+ B．－2t2+2t C.1－t2 D. (t－2)2 ⑺ 對方程x|x|+px+q=0進(jìn)行討論，下面結(jié)論中，哪一個是錯誤的？ A．至多有三個實根 B．至少有一個實根 C．僅當(dāng)p2－4q≥0時才有實根 D．當(dāng)p<

4、0和q>0時，有三個實根 2．(本題15分) 下列表中的對數(shù)值有兩個是錯誤的，請予糾正： x 3 5 lgx 2a+b+c－3 6a－3b－2 3a－b+c 1－2a+2b－c 2a－b a+c x 6 7 8 9 14 lgx 1+a－b－c 2(a+c) 3－3a－3c 4a－2b 1－a+2b 3．(本題15分)在圓O內(nèi)，弦CD平行于弦EF，且與直徑AB交成45°角，若CD與EF分別交直徑AB于P和Q，且圓O的半徑為1，求證： PC?QE+PD?QF<2．

5、 4．(本題15分)組裝甲、乙、丙三種產(chǎn)品，需用A、B、C三種零件．每件甲需用A、B各2個；每件乙需用B、C各1個；每件丙需用2個A與1個C．用庫存的A、B、C三種零件，如組裝成p件甲產(chǎn)品、q件乙產(chǎn)品和r件丙產(chǎn)品，則剩下2個A和1個B，但C恰好用完．試證：無論怎樣改變甲、乙、兩產(chǎn)品的件數(shù)，也不能把庫存的A、B、C三種零件都恰好用完． 5．(本題20分)一張臺球桌形狀是正六邊形ABCDEF，一個球從AB的中點P擊出，擊中BC邊上的某點Q，并且依次碰擊CD、DE、EF、FA各邊，最后擊中AB邊上的某一點．設(shè)∠BPQ=θ，

6、求θ的范圍． 提示：利用入射角等于反射角的原理． 1981年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽解答 1．選擇題(本題滿分35分，每題答對者得5分，答錯者得－2分，不答者得0分) ⑴ 條件甲：兩個三角形的面積和兩條邊對應(yīng)相等． 條件乙：兩個三角形全等． A．甲是乙的充分必要條件 B．甲是乙的必要條件 C．甲是乙的充分條件 D．甲不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件 解：乙T甲，但甲T乙，故選B. ⑵ 條件甲：=a． 條件乙：sin+cos=a． A．甲是乙的充分必要條件 B．甲是乙的必要條件 C．甲是乙的

7、充分條件 D．甲不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件 解：由=aT| sin+cos|=a；而sin+cos=a,T =|a|．故選D． ⑶ 設(shè)α≠ (k≠0，±1，±2，……)， T=． A．T取負(fù)值 B．T取非負(fù)值 C．T取正值 D．T取值可正可負(fù) 解：T=>0，選C． ⑷ 下面四個圖形中，哪一個面積大？ A．△ABC：∠A=60°，∠B=45°，AC= B．梯形：兩條對角線的長度分別為和，夾角為75° C．圓：半徑為1 D．正方形：對角線長度為2.5 解：A中三角形

8、面積=(3+)；B中梯形面積=(3+)； C中圓面積=π，D中正方形面積=·()2=．于是B=A

9、≤t+1確定，t的取值范圍是0≤t≤1?，設(shè)M和N的公共面積是函數(shù)f(t)，則f(t)為 A．－t2+t+ B．－2t2+2t C.1－t2 D. (t－2)2 解：⊿OAB的面積=1。 直角邊長為t的等腰直角三角形面積=t2.直角邊長為2－(1+t)=1－t的等腰直角三角形面積=(1－t)2． f(t)=1－t2－(1－t)2=1－t2+t－=+t－t2( 0≤t≤1?)．選A． ⑺ 對方程x|x|+px+q=0進(jìn)行討論，下面結(jié)論中，哪一個是錯誤的？ A．至多有三個實根 B．至少有一個實根 C．

10、僅當(dāng)p2－4q≥0時才有實根 D．當(dāng)p<0和q>0時，有三個實根 解：畫出y=x|x|及y=－px－q的圖象：知A、B正確，C、D錯誤．選C、D． 2．(本題15分) 下列表中的對數(shù)值有兩個是錯誤的，請予糾正： x 3 5 lgx 2a+b+c－3 6a－3b－2 3a－b+c 1－2a+2b－c 2a－b a+c x 6 7 8 9 14 lgx 1+a－b－c 2(a+c) 3－3a－3c 4a－2b 1－a+2b 解：若lg3=2a－b，則lg9=4a－2b及l(fā)g0.27=6a－3b－2，此三個數(shù)值

11、同時正確或錯誤，故此三個數(shù)值都正確． 若lg8=3－3a－3c，則lg2=1－a－c，lg5=1－lg2=a＋c，lg6=lg3＋lg2=1＋a－b－c．由于此三數(shù)同時正確或錯誤，故此三個數(shù)值都正確． 于是lg1.5=lg3－lg2=(2a－b)－(1－a－c)=3a－b＋c－1與表中l(wèi)g1.5=3a－b＋c矛盾．即lg1.5的數(shù)值錯誤． 若lg2.8=1－2a＋2b－c，則lg14=lg2.8＋lg5=(1－2a＋2b－c)＋(a＋c)=1－a＋2b，lg0.021=lg3＋lg14－lg2－3=(2a－b)＋(1－a＋2b)－(1－a－c)－3=2a＋b＋c－3，即此三個數(shù)值同時正確

12、或錯誤，故此三個數(shù)值正確．lg7=lg14－lg2=(1－a＋2b)－(1－a－c)=2b＋c，與表中l(wèi)g7=2a＋2c矛盾； ∴ 表中l(wèi)g1.5與lg7是錯誤的，應(yīng)為lg1.5=3a－b＋c－1，lg7=2b＋c． 3．(本題15分)在圓O內(nèi)，弦CD平行于弦EF，且與直徑AB交成45°角，若CD與EF分別交直徑AB于P和Q，且圓O的半徑為1，求證： PC?QE+PD?QF<2． 證明：作OM⊥CD，垂足為M，交EF于N，設(shè)ON=n，OM=m． 則CM=DM=，EN=FN=， 本題即證(＋m)( ±n)+( －m)( ?n)<2． 展開得，·±m(xù)n<1． 移項，

13、平方得，1－m2－n2＋m2n2<1?2mn＋m2n2．Tm2＋n2>?2mn． 取“+”號時，M、N在點O同側(cè)，此時m≠n，總之，命題成立． (當(dāng)E、F交換位置時，且CD、EF在點O異側(cè)時，可能有m=n．) 又證：PC2+PD2=(CM+OM)2+(CM－OM)2=2(CM2+OM2)=2，同理QE2+QF2=2． ∴ 4=PC2+PD2+QE2+QF2=(PC2+QE2)+(PD2+QF2)≥2 (PC?QE+PD?QF)．等號當(dāng)且僅當(dāng)PC=QE，PD=QF時成立．但由已知，此二式不成立．故證． 4．(本題15分)組裝甲、乙、丙三種產(chǎn)品，需用A、B、C三種零件．每件甲需

14、用A、B各2個；每件乙需用B、C各1個；每件丙需用2個A與1個C．用庫存的A、B、C三種零件，如組裝成p件甲產(chǎn)品、q件乙產(chǎn)品和r件丙產(chǎn)品，則剩下2個A和1個B，但C恰好用完．試證：無論怎樣改變甲、乙、兩產(chǎn)品的件數(shù)，也不能把庫存的A、B、C三種零件都恰好用完． 解：已知即：每個甲用 A2，B2， 每個乙用 B1，C1， 每個丙用 A2， C1． ∴ 共有A產(chǎn)品2p＋2r＋2件；B產(chǎn)品2p＋q＋1件；C產(chǎn)品q＋r件． 設(shè)組裝m件甲，n件乙，k件丙，則用2m＋2k件 A； 用2m＋n 件B； 用n＋k件 C． 如全部

15、用完，則有2p＋2r＋2=2m＋2k； Tp＋r＋1=m＋k． ⑴ 2p＋q＋1=2m＋n； ⑵ q＋r=n＋k． ⑶ ∴⑴＋⑵－⑶：3p＋2=3m．這是不可能的．故證． 5．(本題20分)一張臺球桌形狀是正六邊形ABCDEF，一個球從AB的中點P擊出，擊中BC邊上的某點Q，并且依次碰擊CD、DE、EF、FA各邊，最后擊中AB邊上的某一點．設(shè)∠BPQ=θ，求θ的范圍． 提示：利用入射角等于反射角的原理． 解：解：只要把這個正六邊形經(jīng)過5次對稱變換．則擊球時應(yīng)如圖所示，擊球方向在∠MPN內(nèi)部時即可． 設(shè)AB=2，以P為原點，PB為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，點M坐標(biāo)為(8，3)．點N坐標(biāo)為(10，3)，即θ∈[arctan，arctan]．