《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版21》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版21（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、二○○一年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 說明： 1．評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)．選擇題只設(shè)6分和0分兩檔，填空題只設(shè)9分和0分兩檔；其它各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分，不要再增加其他中間檔次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)卷時(shí)請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，可以5分為一個(gè)檔次，不要再增加其它中間檔次． 一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分） 本題共有6小題，每題均給出（A）、（B）、（C）、（D）四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的．請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題后的括號(hào)內(nèi)．每小題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或

2、選出的代表字母超過一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0分． 1．已知a為給定的實(shí)數(shù)，那么集合M={x| x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集的個(gè)數(shù)為 （A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 不確定 【答】（ C ） 【解】 方程x2-3x-a2+2=0的根的判別式Δ=1+4a2>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．由M有2個(gè)元素，得集合M有22=4個(gè)子集． 2． 命題1 長方體中，必存在到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn); 命題2 長方體中，必存在到各棱距離相等的點(diǎn); 命題3 長方體中，必存在到各面距離相等的點(diǎn). 以上三個(gè)命題中正確的有

3、 （A） 0個(gè) （B） 1個(gè) （C） 2個(gè) （D） 3個(gè) 【答】（ B ） 【解】 只有命題1對(duì)． 3．在四個(gè)函數(shù)y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以為周期、在(0，)上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx| 【答】（ D ） 【解】 y=sin|x|不是周期函數(shù)．y=cos|x|=cosx以2為周期．y=|ctgx|在（0，）上單調(diào)遞減．只有y=lg|sinx|滿

4、足全部條件． 4．如果滿足∠ABC=60°，AC=12， BC=k的△ABC恰有一個(gè)，那么k的取值范圍是 （A） k= （B）0

5、上三式相加可得=3（）． 所以=． 6．已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價(jià)格之和大于24元，而4枝玫瑰與5枝康乃馨的價(jià)格之和小于22元，則2枝玫瑰的價(jià)格和3枝康乃馨的價(jià)格比較結(jié)果是（）． （A）2枝玫瑰價(jià)格高 （B）3枝康乃馨價(jià)格高 （C）價(jià)格相同 （D）不確定 【答】（ A ） 【解】 設(shè)玫瑰與康乃馨的單價(jià)分別為x、y元/枝． 則6x+3y>24,4x+5yx+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出x=,y=. 所以2x-3y==0，即2x>3y． 也可以根據(jù)二元一次不等式所表示的區(qū)域來研究． 二、填空題（本題滿分54分，每小題9分） 本題共有6小題，要求直接

6、將答案寫在橫線上． 7．橢圓的短軸長等于． 【解】 故．從而． 8．若復(fù)數(shù)z1，z2滿足| z1|=2，| z2|=3，3z1-2z2=，則z1·z2=． 【解】 由3z1-2z2== 可得．本題也可設(shè)三角形式進(jìn)行運(yùn)算． 9．正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則直線A1C1與BD1的距離是． 【解】 作正方體的截面BB1D1D，則A1C1⊥面BB1D1D．設(shè)A1C1與B1D1交于點(diǎn)O，在面BB1D1D內(nèi)作OH⊥BD1，H為垂足，則OH為A1C1與BD1的公垂線．顯然OH等于直角三角形BB1D1斜邊上高的一半，即OH=． 10. 不等式的解集為． 【解】 等價(jià)于或．

7、 即或． 此時(shí)或或． ∴解為x >4或0

8、、E種三種植物，此時(shí)共有P43×2×2×2=192種方法． 故總計(jì)有108+432+192=732種方法． 三、解答題（本題滿分60分，每小題20分） 13．設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且b1=a12，b2=a22，b3=a32（a10．由此得 a12(a1+2d)2=(a1+d)4 化簡得2a12+4a1d+d2=0 解得d=() a1.………………………………………………………………5分 而<0，故a1<0． 若d=() a1，則； 若d=()a1，則；………

9、…………………………………10分 但存在，故|q|<1．于是不可能． 從而． 所以a1=，d=() a1=()()=．……………………20分 14．設(shè)曲線C1：（a為正常數(shù)）與C2：y2=2（x+m） 在x軸上方僅有一個(gè)公共點(diǎn)P． ⑴ 求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）； ⑵ O為原點(diǎn)，若C1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0

10、論以下三種情況： 1° Δ=0得 m=．此時(shí) xp= -a2，當(dāng)且僅當(dāng)-a<-a2

11、性得xp=．顯然當(dāng)m=a時(shí)，xp取值最?。捎趚p>0，從而取值最大，此時(shí)yp=2，∴S=a． 當(dāng)m=時(shí)，xp=-a2，yp=，此時(shí)S=a． 下面比較a與a的大?。? 令a=a，得a=. 故當(dāng)0a2>a3>a4>a5>a6) 的電阻組裝成一個(gè)如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最??？證明你的結(jié)論． 【解】 設(shè)6個(gè)電阻的組件（如圖3）的總電阻為RFG．當(dāng)Ri=ai ，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，

12、a2的任意排列時(shí)，RFG最小．…………………………………………5分 證明如下 1°設(shè)當(dāng)兩個(gè)電阻R1，R2并聯(lián)時(shí)，所得組件阻值為R：則．故交換二電阻的位置，不改變R值，且當(dāng)R1或R2變小時(shí)，R也減小，因此不妨取R1>R2． R1 R3 R2 2°設(shè)3個(gè)電阻的組件(如圖1)的總電阻為RAB： ． R3 R4 R1 R2 顯然R1+R2越大，RAB越小，所以為使RAB最小必須取R3為所取三個(gè)電阻中阻值最小的一個(gè)． 3°設(shè)4個(gè)電阻的組件(如圖2)的總電阻為RCD： ． 若記，．則S1、S2為定值． 于是． 只有當(dāng)R3R4最小，R1R2R3最大時(shí)，RCD最小，故應(yīng)取R4

13、

14、二○○一年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 加試參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 說明： 1．評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)卷時(shí)請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，可以10分為一個(gè)檔次，不要再增加其它中間檔次． 一．如圖，△ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M， FD和AC交于點(diǎn)N． 求證：（1）OB⊥DF，OC⊥DE． （2）OH⊥MN． 【證明】（1）∵A，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓， ∴∠BDF=∠BAC． 又∵∠OBC=(180°-∠BOC)=90°-∠BAC， ∴OB

15、⊥DF． 同理OC⊥DE．………………………10分 （2） ∵CF⊥MA， ∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2．……① ∵BE⊥NA， ∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2．……② ∵DA⊥BC， ∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2．……③ ∵OB⊥DF， ∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2．……④ ∵OC⊥DE， ∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2．……⑤………………………………………………30分 ①-②+③+④-⑤，得 NH 2-MH 2=ON 2-OM 2． MO 2-MH 2=NO 2-NH 2． 所以O(shè)H⊥MN．…………………

16、………………………………………………………50分 二．設(shè)（i=1，2，…，n），且，求的最大值與最小值． 【解】先求最小值，因?yàn)椤?， 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在i使得 xi =1，xj =0，j≠i． ∴的最小值為1．………………………………………………………………10分 再求最大值，令， ∴．…………① 設(shè)M ==． 令 則①．………………………………………………………30分 令an+1=0，則M= =． 由柯西不等式得 M． 等號(hào)成立 ．（k=1，2，…，n） 由于，從而 ，即． 所求最大值為．……………………………………………50分 三．將邊長

17、為正整數(shù)m，n的矩形劃分成若干邊長均為正整數(shù)的正方形．每個(gè)正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊．試求這些正方形邊長之和的最小值． 【解】記所求最小值為f（m，n），可以證明f（m，n）=m+n-(m，n)． (*) 其中(m，n)表示m和n的最大公約數(shù)．………………………………………………10分 事實(shí)上，不妨設(shè)m≥n． (1)關(guān)于m歸納，可以證明存在一種合乎題意的分法，使所得正方形邊長之和恰為m+n-(m，n)． 當(dāng)m=1時(shí),命題顯然成立． 假設(shè)當(dāng)m≤k時(shí)，結(jié)論成立（k≥1）．當(dāng)m=k+1時(shí)，若n= k+1，則命題顯然成立．若n< k+1，從矩形ABCD中切去正方形

18、AA1D1D（如圖），由歸納假設(shè)矩形A1BCD1有一種分法使得所得正方形邊長之和恰為m-n+n-(m-n，n)= m-(m，n). 于是原矩形ABCD有一種分法使得所得正方形邊長之和為m+n- (m，n)．…………20分 (2)關(guān)于m歸納可以證明(*)成立． 當(dāng)m=1時(shí),由于n=1，顯然f (m，n)=1= m+n- (m，n)． 假設(shè)當(dāng)m≤k時(shí)，對(duì)任意1≤n≤m有f (m，n)= m+n- (m，n)． 若m=k+1，當(dāng)n= k+1時(shí)顯然f（m，n）= k+1= m+n- (m，n)． 當(dāng)1≤n≤k時(shí)，設(shè)矩形ABCD按要求分成了p個(gè)正方形，其邊長分別為a1，a

19、2，…，ap，不妨設(shè)a1≥a2≥…≥ap． 顯然a1=n或a1 m+n- (m，n)． 若a1=n，則一個(gè)邊長分別為m-n和n的矩形可按題目要求分成邊長分別為a2，…，ap的正方形，由歸納假設(shè) a2+…+ap≥m-n+n-(m-n，n)= m- (m，n)． 從而a1+a2+…+ap≥m+n-(m，n)． 于是當(dāng)m=k+1時(shí)，f（m，n）≥m+n- (m，n)． 再由(1)可知f (m，n)=m+n- (m，n)．…………………………………………………50分