《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版5（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1985年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題 第一試 1．選擇題(本題滿分36分，每小題答對得6分答錯得0分，不答得1分) ⑴ 假定有兩個命題： 甲：a是大于0的實數(shù)；乙：a>b且a－1>b－1．那么( ) A．甲是乙的充分而不必要條件 B．甲是乙的必要而不充分條件 C．甲是乙的充分必要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件 ⑵PQ為經(jīng)過拋物線y2=2px焦點的任一弦，MN為PQ在準線l上的射影，PQ繞l一周所得的旋轉(zhuǎn)面面積為S1，以MN為直徑的球面積為S2，則下面結(jié)論中，正確的是( ) A

2、．S1>S2 B．S1S2，有時S1=S2，有時S1

3、Ⅱ．這個方程只有一解； Ⅲ．這個方程有兩解； Ⅳ．這個方程有無窮多解．則( ) A．只有Ⅰ、Ⅱ正確 B．只有Ⅰ、Ⅲ正確 C．只有Ⅰ、Ⅳ正確 D．以上A、B、C都不正確 ⑹ 設(shè)0

4、則角B的弧度為等于 ． ⑵ 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非負整數(shù)解共有 組． ⑶ 在已知數(shù)列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相鄰若干個數(shù)之和能被11整除的數(shù)組共有 ． ⑷ 對任意實數(shù)x，y，定義運算x*y為x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c為常數(shù)，等式右端中的運算是通常的實數(shù)加法、乘法運算．現(xiàn)已知1*2=3，2*3=4，并且有一個非零實數(shù)d，使得對于任意實數(shù)都有x*d=x，則d= ． 第二試 (本試共有4題，每題

5、滿分15分) 1．在直角坐標系xoy中，點A(x1，y1)和點B(x2，y2)的坐標均為一位的正整數(shù)．OA與x軸正方向的夾角大于45°，OB與x軸正方向的夾角小于45°，B在x軸上的射影為B￠，A在y軸上的射影為A￠，△OBB￠的面積比△OAA￠的面積大33.5，由x1，y1，x2，y2組成的四位數(shù)=x1?103+x2?102+y2?10+y1．試求出所有這樣的四位數(shù)，并寫出求解過程． 2．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是BC中點，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2．求平面B1EF與底面A1B1C1D1所成的二面角．

6、3．某足球邀請賽有十六個城市參加，每市派出甲、乙兩個隊，根據(jù)比賽規(guī)則，比賽若干天后進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)除A市甲隊外，其它各隊已比賽過的場數(shù)各不相同．問A市乙隊已賽過多少場？請證明你的結(jié)論． 4．平面上任給5個點，以λ表示這些點間最大的距離與最小的距離之比，證明：λ≥2sin54°． 1985年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題 第一試 1．選擇題(本題滿分36分，每小題答對得6分答錯得0分，不答得1分) ⑴ 假定有兩個命題： 甲：a是大于0的實數(shù)；乙：a>b且a－1>b－1．那么( ) A．甲是乙的充分而不必要條件 B．甲

7、是乙的必要而不充分條件 C．甲是乙的充分必要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件 解：由于a>b且a－1>b－1成立時，必有a>0，b<0．故由乙可得甲，故選B ⑵PQ為經(jīng)過拋物線y2=2px焦點的任一弦，MN為PQ在準線l上的射影，PQ繞l一周所得的旋轉(zhuǎn)面面積為S1，以MN為直徑的球面積為S2，則下面結(jié)論中，正確的是( ) A．S1>S2 B．S1S2，有時S1=S2，有時S1

8、F|=ρ2，則|PM|=ρ1，|QN|=ρ2． 則S1=π(PM+QN)?PQ=π(ρ1+ρ2)2，S2=π|MN|2=π(ρ1+ρ2)2sin2θ． ∴ S1≥S2，當且僅當θ=90°時等號成立．選C． ⑶ 已知方程arccos－arccos(－)=arcsinx，則( ) A．x= B．x=－ C．x=0 D．這樣的x不存在． 解：即arcsinx=2 arccos－π．設(shè)arccos=θ，則cosθ=，sinθ=． ∴ sin2θ=2sinθcosθ=．即2θ為銳角．∴2θ－π<－．故選D． ⑷ 在下面四個圖

9、形中，已知有一個是方程與 (m≠0，n≠0)在同一坐標系中的示意圖，它應是( ) 解：由y2=－x，若m、n均為正數(shù)，則此拋物線開口向左，且mx2+ny2=1表示橢圓，m－1．故否定B、D． 若m、n符號相反，則拋物線開口向右．且mx+ny2=0圖形是雙曲線，m<0，n>0，m=－n．故選A． ⑸ 設(shè)Z、W、λ為復數(shù)，|λ|≠1，關(guān)于Z的方程－λZ=W有下面四個結(jié)論： Ⅰ．Z=是這個方程的解； Ⅱ．這個方程只有一解； Ⅲ．這個方程有兩解； Ⅳ．這個方程有無窮多解．則(

10、 ) A．只有Ⅰ、Ⅱ正確 B．只有Ⅰ、Ⅲ正確 C．只有Ⅰ、Ⅳ正確 D．以上A、B、C都不正確 解：原式兩端取共軛：Z－=，乘以λ再取共軛：－|l|2Z=W，相加，由|l|≠1，得方程有唯一解Z=．選A． ⑹ 設(shè)0

11、，每小題6分) ⑴ 在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若角A、B、C的大小成等比數(shù)列，且b2－a2=ac，則角B的弧度為等于 ． 解：由余弦定理，b2－a2=c2－2accosB．故ac=c2－2accosB．即a=c－2acosB．TsinA=sin(A+B)－2sinAcosB.=sin(B－A)． ∴ 由b>a，得B>A．TA=B－A，TB=2A，C=4A． 或A+B－A=π(不可能) ∴ B=π． ⑵ 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非負整數(shù)解共有 組． 解：x1=1時，x2

12、+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=1，共有9解； x1=0時，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3，共有9+A+C=9+72+84=165解． ∴ 共有174解． ⑶ 在已知數(shù)列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相鄰若干個數(shù)之和能被11整除的數(shù)組共有 ． 解：把這些數(shù)mod 11得1，4，－3，－1，5，－3，－1，3，－3，－1． 依次累加，得：1，5，2，1，6，3，2，5，2，1．其中相等的和有7對(3對1，3對2，1對5)，這表示原數(shù)列中共有7組相鄰數(shù)之和能被11整除． ⑷ 對任意實數(shù)x，

13、y，定義運算x*y為x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c為常數(shù)，等式右端中的運算是通常的實數(shù)加法、乘法運算．現(xiàn)已知1*2=3，2*3=4，并且有一個非零實數(shù)d，使得對于任意實數(shù)都有x*d=x，則d= ． 解：ax+bd+cxd=x．取x=0，代入得，bd=0，但d≠0，故b=0 a+2b+2c=3，2a+3b+6c=4．Ta=5，c=－1．取x=1代入，得d=4． 經(jīng)驗算：x*y=5x－xy，對于一切x，有x*4=5x－4x=x成立．故d=4． 第二試 (本試共有4題，每題滿分15分) 1．在直角坐標系xoy中，點A(x1，y1)和點B(x2，

14、y2)的坐標均為一位的正整數(shù)．OA與x軸正方向的夾角大于45°，OB與x軸正方向的夾角小于45°，B在x軸上的射影為B￠，A在y軸上的射影為A￠，△OBB￠的面積比△OAA￠的面積大33.5，由x1，y1，x2，y2組成的四位數(shù) =x1?103+x2?102+y2?10+y1．試求出所有這樣的四位數(shù)，并寫出求解過程． 解：x2y2－x1y1=67．x1y2．且x1，y1，x2，y2都是不超過10的正整數(shù)． ∴ x2y2>67，T x2y2=72或81．但x2>y2，故x2y2=91舍去．∴ x2y2=72．x2=9，y2=8． ∴ x1y1=72－67=5．Tx1=1，y

15、1=5，∴ =1985． 2．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是BC中點，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2．求平面B1EF與底面A1B1C1D1所成的二面角． 解：設(shè)AB=1，則BE=，A1F=，故B1E=，B1F=，EF=． ∴ S=·=． 而△B1EF在平面A1C1上的射影面積=． ∴ cosθ=，即所求角=arc cos． 又解：設(shè)平面B1EF與平面AD1交于FG，(G在AD上)，則由平面AD1∥平面BC1，得FG∥B1E．于是，延長GF、D1A1交于P，則P為截面與平面A1C1的公共點，故PB1為所求二面角的棱．AG=A1H=，A1P=，PB1=．

16、作GH⊥A1D1于H，則GH⊥平面A1C1．作HK⊥PB1，連GK．則∠GKH為所求二面角的平面角． ∵ HK?PB1=A1B1?HP．∴ HK=，tan∠GKH=．即所求角=arc tan． 3．某足球邀請賽有十六個城市參加，每市派出甲、乙兩個隊，根據(jù)比賽規(guī)則，比賽若干天后進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)除A市甲隊外，其它各隊已比賽過的場數(shù)各不相同．問A市乙隊已賽過多少場？請證明你的結(jié)論． 證明：用32個點表示這32個隊，如果某兩隊比賽了一場，則在表示這兩個隊的點間連一條線．否則就不連線． 由于，這些隊比賽場次最多30場，最少0場，共有31種情況，現(xiàn)除A城甲隊外還有31個隊，這31個隊比賽場次互不

17、相同，故這31個隊比賽的場次恰好從0到30都有．就在表示每個隊的點旁注上這隊的比賽場次． 考慮比賽場次為30的隊，這個隊除自己與同城的隊外，與不同城有隊都進行了比賽，于是，它只可能與比賽0場的隊同城；再考慮比賽29場的隊，這個隊除與同城隊及比賽0場、1場(只賽1場的隊已經(jīng)與比賽30場的隊賽過1場，故不再與其它隊比賽)的隊不比賽外，與其余各隊都比賽，故它與比賽1場的隊同城；依次類推，知比賽k場的隊與比賽30－k場的隊同城，這樣，把各城都配對后，只有比賽15場的隊沒有與其余的隊同城，故比賽15場的隊就是A城乙隊．即A城乙隊比賽了15場． 4．平面上任給5個點，以λ表示這些點間最大的距離與最

18、小的距離之比，證明：λ≥2sin54°． 證明 ⑴ 若此五點中有三點共線，例如A、B、C三點共線，不妨設(shè)B在A、C之間，則AB與BC必有一較大者．不妨設(shè)AB≥BC．則≥2>2sin54°． ⑵ 設(shè)此五點中無三點共線的情況． ① 若此五點的凸包為正五邊形．則其五個內(nèi)角都=108°．五點的連線只有兩種長度：正五邊形的邊長與對角線，而此對角線與邊長之比為2sin54°． ② 若此五點的凸包為凸五邊形．則其五個內(nèi)角中至少有一個內(nèi)角≥108°．設(shè)∠EAB≥108°，且EA≥AB，則∠AEB≤36°， ∴= ≥=2cosE≥2cos36°=2sin54°． ③ 若此五點的凸包為凸四邊形ABCD，點E在其內(nèi)部，連AC，設(shè)點E在△ABC內(nèi)部，則∠AEB、∠BEC、∠CEA中至少有一個角≥120°>108°，由上證可知，結(jié)論成立． ④ 若此五點的凸包為三角形ABC，則形內(nèi)有兩點D、E，則∠ADB、∠BDC、∠CDA中必有一個角≥120°，結(jié)論成立． 綜上可知，結(jié)論成立．