《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版12》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版12（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷 第一試 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1與x軸交于An，Bn兩點(diǎn)，以|AnBn|表示該兩點(diǎn)的距離，則|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 2．已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0 3．設(shè)四

2、面體四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，它們的最大值為S，記λ=(Si)/S，則λ一定滿足( ) (A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ 4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別記為a，b，c(b11)，且，都是方程logx=logb(4x－4)的根，則△ABC( ) (A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形 5．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2

3、在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12 6．設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，則f(x)是 (A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù) (B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) (C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù) (D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù) 二、填空題(每小題5分共30分) 1．設(shè)x，y，z是實(shí)數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且，，成等差

4、數(shù)列，則+的值是______． 2．在區(qū)間[0，p]中，三角方程cos7x=cos5x的解的個(gè)數(shù)是______． 3．從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是_____． 4．設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，則arg()3的值是______． 5．設(shè)數(shù)列a1，a2，L，an，L滿足a1=a2=1，a3=2，且對(duì)任何自然數(shù)n， 都有anan+1an+211，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2+L+a100的值是____． 6．函數(shù)f(x)= －

5、的最大值是_____． 三、(20分)求證：16<<17． 四、(20分)設(shè)l，m是兩條異面直線，在l上有A，B，C三點(diǎn)，且AB=BC，過A，B，C分別作m的垂線AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F(xiàn)，已知AD=，BE=CF=，求l與m的距離． 五、(20分)設(shè)n是自然數(shù)，fn(x)= (x10，±1)，令y=x+． 1.求證:fn+1(x)=yfn(x)-fn-1(x)，(n>1) 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明： fn(x)= 第二試 一、(35分) 設(shè)A1A2A3A4為⊙O

6、的內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4依次為⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心．求證：H1、H2、H3、H4四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，并定出該圓的圓心位置． 二、(35分) 設(shè)集合Sn={1,2,L,n}．若X是Sn的子集，把X中所有數(shù)的和稱為X的“容量”(規(guī)定空集的容量為0)，若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱X為的奇(偶)子集． 1．求證Sn的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等． 2．求證：當(dāng)n≥3時(shí)，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 3．當(dāng)n≥3時(shí)，求Sn的所有奇子集的容量

7、之和． 三、(35分)在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，任取6個(gè)格點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)滿足 (1) |xi|≤2,|yi|≤2,(i=1,2,3,4,5,6)，(2) 任何三點(diǎn)不在同一條直線上．試證：在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)為頂點(diǎn)的所有三角形中，必有一個(gè)三角形，它的面積不大于2． 1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答 第一試 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1與x軸交于An，Bn兩點(diǎn)，以|AnBn|表示該兩

8、點(diǎn)的距離，則|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 解：y=((n+1)x－1)(nx－1)，∴ |AnBn|=－，于是|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|=，選B． 2．已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0 解：(x-)=0表示y軸右邊的半圓，(y+)=0表示x軸

9、下方的半圓，故選D． 3．設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，它們的最大值為S，記λ=(Si)/S，則λ一定滿足( ) (A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ 解： Si≤4S，故Si≤4，又當(dāng)與最大面相對(duì)的頂點(diǎn)向此面無限接近時(shí)，Si接近2S，故選A． 4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別記為a，b，c(b11)，且，都是方程logx=logb(4x－4)的根，則△ABC( ) (A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形

10、 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形 解：x2=4x－4．根為x=2．∴ C=2A，TB=180°－3A，sinB=2sinA．Tsin3A=2sinA， T3－4sin2A=2．A=30°，C=60°，B=90°．選B． 5．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12 解：=cos±isin．∴ |z2|=8，z1、z2的夾角

11、=60°．S=·4·8·=8．選A． 6．設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，則f(x)是 (A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù) (B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) (C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù) (D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù) 解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)． ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函數(shù)； ∴ f(－x)=f(40－x)=f(20+(20－x)=－f(20－(20－

12、x))=－f(x)．∴ 是奇函數(shù)．選C． 二、填空題(每小題5分共30分) 1．設(shè)x，y，z是實(shí)數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則+的值是______． 解：16y2=15xz，y=，T16·4x2z2=15xz(x+z)2．由xz≠0，得=，T+=． 2．在區(qū)間[0，p]中，三角方程cos7x=cos5x的解的個(gè)數(shù)是 ． 解：7x=5x+2kπ，或7x=－5x+2kπ，(k∈Z)Tx=kπ，x=kπ (k∈Z)，共有7解． 3．從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是

13、 ． 解：正方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，若選出的k條線兩兩異面，則不能共頂點(diǎn)，即至多可選出4條，又可以選出4條兩兩異面的線(如圖)，故所求k的最大值=4． 4．設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，則arg()3的值是______． 解：cos∠OZ1Z3==－．即∠OZ1Z3==120°， ∴ arg()=或． ∴ arg()3=π． 5．設(shè)數(shù)列a1，a2，L，an，L滿足a1=a2=1，a3=2，且對(duì)任何自然數(shù)n， 都有anan+1an+211，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2+

14、L+a100的值是____. 解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4， 相減，得anan+1an+2(a4－an)=an+4－an，由anan+1an+211，得an+4=an． 又，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4． ∴ a1+a2+L+a100=25(1+1+2+4)=200． 6．函數(shù)f(x)= －的最大值是_____． 解：f(x)= －，表示點(diǎn)(x，x2)與點(diǎn)A(3，2)的距離及B(0，1)距離差的最

15、大值．由于此二點(diǎn)在拋物線兩側(cè)，故過此二點(diǎn)的直線必與拋物線交于兩點(diǎn)．對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)，到此二點(diǎn)距離之差大于|AB|=．即所求最小值為． 三、(20分)求證：16<<17． 證明：=<=2(－)， 同時(shí)>=2(－)． 于是得2(－)<<1+2(－) 即 16<<1+2(－1)<1+2(9－1)=17． 四、(20分)設(shè)l，m是兩條異面直線，在l上有A，B，C三點(diǎn)，且AB=BC，過A，B，C分別作m的垂線AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F(xiàn)，已知AD=，BE=CF=，求l與m的距離． 解：過m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP與l確定平面β，β∩α=l￠，l￠∩m=K． 作

16、BQ⊥α，CR⊥α，垂足為Q、R，則Q、R∈l￠，且AP=BQ=CR=l與m的距離d． 連PD、QE、RF，則由三垂線定理之逆，知PD、QE、RF都⊥m． PD=，QE=，RF=． 當(dāng)D、E、F在K同側(cè)時(shí)2QE=PD+RF， T=+．解之得d= 當(dāng)D、E、F不全在K同側(cè)時(shí)2QE=PD－RF，T=－．無實(shí)解． ∴ l與m距離為． 五、(20分)設(shè)n是自然數(shù)，fn(x)= (x10，±1)，令y=x+． 1.求證:fn+1(x)=yfn(x)-fn－1(x)，(n>1) 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明： fn(x)= 證明： ⑴ 由yfn(x)-fn－1(

17、x)= ==fn+1(x)．故證． ⑵ f1(x)= x+，f2(x)=x2+1+x－2=(x+)2－1=y2－1．故命題對(duì)n=1，2 成立． 設(shè)對(duì)于n≤m(m≥2，m為正整數(shù))，命題成立，現(xiàn)證命題對(duì)于n=m+1成立． 1． 若m為偶數(shù)，則m+1為奇數(shù)．由歸納假設(shè)知，對(duì)于n=m及n=m－1，有 fm(x)= ym－Cym－2+C ym－4+…+(－1)iCym－2i+…+(－1)Cy ① fm－1(x)= ym－1－Cym－3+…+(－1)i－1Cym+1－2i+…+(－1)·Cy ② ∴ yfm(x)－fm－1(x)=ym+1－…+(－1)i(C+C)ym+

18、1－2i+…+(－1)(C+C)y = ym+1－Cym－1+…+(－1)iCym+1－2i+…+(－1)·Cy 即命題對(duì)n=m+1成立． 2．若m為奇數(shù)，則m+1為偶數(shù)，由歸納假設(shè)知，對(duì)于n=m及n=m－1，有 fm(x)= ym－1－Cym－2+…+(－1)i·Cym－2i+…+(－1)·C y ③ fm－1(x)= ym－1－Cym－3+…+(－1)i－1Cym+1－2i+…+(－1)C ④ 用y乘③減去④，同上合并，并注意最后一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)為 －(－1)C=－(－1)C=(

19、－1)． 于是得到y(tǒng)fm(x)－fm－1(x)=ym+1－Cm1ym－1+…+(－1)，即仍有對(duì)于n=m+1，命題成立 綜上所述，知對(duì)于一切正整數(shù)n，命題成立． 第二試 一、(35分) 設(shè)A1A2A3A4為⊙O的內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4依次為⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心．求證：H1、H2、H3、H4四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，并定出該圓的圓心位置． 證明：連A2H1，A1H2，取A3A4的中點(diǎn)M，連OM，由上證知A2H1∥OM，A2H1=2OM，A1H2∥OM， A1H2=2OM，從而H1H2A1A2是平行四邊形，故H1H2∥A1A2 ，

20、H1H2=A1A2． 同理可知，H2H3∥A2A3，H2H3=A2A3； H3H4∥A3A4，H3H4=A3A4； H4H1∥A4A1，H4H1=A4A1． 故 四邊形A1A2A3A4≌四邊形H1H2H3H4． 由四邊形A1A2A3A4有外接圓知，四邊形H1H2H3H4也有外接圓．取H3H4∥的中點(diǎn)M1，作M1O1⊥H3H4，且M1O1=MO，則點(diǎn)O1即為四邊形H1H2H3H4的外接圓圓心． 又證：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑為長(zhǎng)度單位建立直角坐標(biāo)系，設(shè)OA1、OA2、OA3、OA4與OX正方向所成的角分別為α、β、γ、d，則點(diǎn)A1、A2、A3

21、、A4的坐標(biāo)依次是(cosα，sinα)、(cosβ，sinβ)、(cosγ，sinγ)、(cosd，sind)． 顯然，⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的外心都是點(diǎn)O，而它們的重心依次是 ((cosβ+cosγ+cosd)，(sinβ+sinγ+sind))、((cosγ+cosd+cosα)，(sinα+sind+sinγ))、 ((cosd+cosα+cosβ)，(sind+sinα+sinβ))、((cosα+cosβ+cosγ)，(sinα+sinβ+sinγ))． 從而，⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心依次是

22、 H1(cosβ+cosγ+cosd， sinβ+sinγ+sind)、H 2 (cosγ+cosd+cosα，sinα+sind+sinγ)、 H 3 (cosd+cosα+cosβ，sind+sinα+sinβ)、H 4 (cosα+cosβ+cosγ，sinα+sinβ+sinγ)． 而H1、H2、H3、H4點(diǎn)與點(diǎn)O1(cosα+cosβ+cosγ+cosd，sinα+sinβ+sinγ+sind)的距離都等于1，即H1、H2、H3、H4四點(diǎn)在以O(shè)1為圓心，1為半徑的圓上．證畢． 二、(35分)設(shè)集合Sn={1,2,L,n}．若X是Sn的子集，把X中所有數(shù)的和稱為X的“容量”

23、(規(guī)定空集的容量為0)，若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱X為的奇(偶)子集． 1．求證Sn的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等． 2．求證：當(dāng)n≥3時(shí)，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 3．當(dāng)n≥3時(shí)，求Sn的所有奇子集的容量之和． 證明：⑴ 對(duì)于Sn的每個(gè)奇子集A，當(dāng)1∈A時(shí)，取B=A\{1}，當(dāng)1?A時(shí)，取B=A∪{1}，則B為Sn的偶子集.反之，若B為Sn的偶子集，當(dāng)1∈B時(shí)，取A=B\{1}，當(dāng)1?B時(shí)，取A=B∪{1}，于是在Sn的奇子集與偶子集之間建立了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，故Sn的奇子集與偶子集的個(gè)數(shù)相等. ⑵ 對(duì)于任一i∈Sn，i>1，含i的Sn的

24、子集共有2n-1個(gè)，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，從而每個(gè)數(shù)i，在奇子集的和與偶子集的和中，i所占的個(gè)數(shù)是一樣的. 而對(duì)于元素1，只要把Sn的所有子集按是否含有3配對(duì)(即在上證中把1換成3來證)，于是也可知1Sn的所有奇子集的容量的和，與所有偶子集的容量的和相等. ⑶ 由于每個(gè)元素在奇子集中都出現(xiàn)2n-2次，故奇子集的容量和=(1+2+3+…+n)×2n-2=n(n+1)×2n-3． 三、(35分) 在平面直角坐標(biāo)系中，任取6個(gè)格點(diǎn)Pi(xi，yi)(i=1，2，3，4，5，6)滿足： ⑴ |xi|≤2，|yi|≤2(i=1，2，3，4，5，6)； ⑵ 任何三點(diǎn)不在一條直線

25、上． 試證明：在以Pi(i=1，2，3，4，5，6)為頂點(diǎn)的所有三角形中，必有一個(gè)三角形的面積不大于2． 證明 如圖，滿足條件的格點(diǎn)只能是圖中A、B、…、Y這25個(gè)格點(diǎn)中的6個(gè)．把這25個(gè)格點(diǎn)分成三個(gè)矩形：矩形AEFJ、KOWU、MNYX． 若所取的6個(gè)點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在上述三個(gè)矩形中的某一個(gè)中，則此三點(diǎn)即滿足要求． 若三個(gè)矩形中均無所取6點(diǎn)中的3點(diǎn)，則必是每個(gè)矩形中有所取的2個(gè)點(diǎn)． ⑴ 若E、F、D、G、O、R、W中有所取的點(diǎn)，則此點(diǎn)與矩形MNYX中的兩點(diǎn)滿足要求； ⑵ 若上述7點(diǎn)均未取，則A、B、C、H、I、J中必有兩點(diǎn)，此時(shí)若L、K中有所取的點(diǎn)，則亦有三點(diǎn)滿足要求； ⑶ 若L、K亦未取，則必在P、Q、V、U中取了2點(diǎn)，矩形ACHJ中取了2點(diǎn)：此時(shí)取P、Q兩點(diǎn)，或Q、V兩點(diǎn)，或V、U兩點(diǎn)，或U、P兩點(diǎn)，或Q、U兩點(diǎn)，則無論ACHJ中取任一點(diǎn)，與之組成三角形面積均滿足要求． 若取P、V兩點(diǎn)，則矩形ACHJ中必有一點(diǎn)異于C，取此點(diǎn)與P、V滿足要求． 綜上可知，必有滿足要求的3點(diǎn)存在．