《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版20》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版20（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2000年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試卷 （10月15日上午8:00-9:40） 一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分） 1．設全集是實數(shù)，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，則A∩?RB是( ) (A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D) ? 2．設sina＞0，cosa＜0，且sin＞cos，則的取值范圍是( ) (A)(2kp+，2kp+)， k?Z (B)( + ，+)，k? Z (C)(2kp+，2kp+p)，k? Z

2、 (D)(2kp+，2kp+)∪(2kp+，2kp+p)，k? Z 3．已知點A為雙曲線x2-y2=1的左頂點，點B和點C在雙曲線的右分支上，△ABC是等邊三角形，則△ABC的面積是( ) (A) (B) (C)3 (D)6 4．給定正數(shù)p，q，a，b，c，其中p1q，若p，a，q是等比數(shù)列，p，b，c，q是等差數(shù)列，則一元二次方程bx2-2ax+c=0( ) (A)無實根 (B)有兩個相等實根 (C)有兩個同號相異實根 (D)

3、有兩個異號實根 5．平面上整點（縱、橫坐標都是整數(shù)的點）到直線y=x+的距離中的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 6．設ω=cos+isin，則以w，w3，w7，w9為根的方程是( ) (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0 (C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0 二．填空題（本題滿分54分，每小題9

4、分） 1．a(chǎn)rcsin(sin2000°)=__________． 2．設an是(3-)n的展開式中x項的系數(shù)(n=2，3，4，…)，則(++…+))=________. 3．等比數(shù)列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在橢圓+=1 (a＞b＞0)中，記左焦點為F，右頂點為A，短軸上方的端點為B.若該橢圓的離心率是，則∠ABF=_________. 5．一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都屬于{1，2，3，4}； (2)a1b，b1c，c1d，d

5、1a； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以組成的不同的四位數(shù)的個數(shù)是_________ 三、解答題(本題滿分60分，每小題20分) 1．設Sn=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值． 2．若函數(shù)f(x)=－x2+在區(qū)間[a，b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a，b]． 3．已知C0：x2+y2=1和C1：+=1 (a＞b＞0)．試問：當且僅當a，b滿足什么條件時，對C1上任意一點P，均存在以P為頂點，與C0外切，與C1內接的平行四邊形？并證明你的結論．

6、 2000年全國高中數(shù)學聯(lián)賽二試題 （10月15日上午10∶00-12∶00） 一．（本題滿分50分） A B C D E F M N 如圖，在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點E、F，滿足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC（M、N是垂足），延長AE交三角形ABC的外接圓于D．證明：四邊形AMDN與三角形ABC的面積相等． 二．（本題滿分50分） 設數(shù)列{a n}和{b n }滿足a0=1，a1=4，a2=49，且 n=0，1，2，…… 證明a n（n=0，1，2，…）是完全平方數(shù)．

7、 三．（本題滿分50分） 有n個人，已知他們中的任意兩人至多通電話一次，他們中的任意n－2個人之間通電話的次數(shù)相等，都是3 k次，其中k是自然數(shù)，求n的所有可能值．  2000年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試題解答 第一試 一．選擇題（本題滿分36分，每小題6分） 1．設全集是實數(shù)，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，則A∩?RB是( ) (A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D) ? 解：A={2}，B={2，－1}，故選D．

8、 2．設sina＞0，cosa＜0，且sin＞cos，則的取值范圍是( ) (A)(2kp+，2kp+)， k?Z (B)( + ，+)，k?Z (C)(2kp+，2kp+p)，k? Z (D)(2kp+，2kp+)∪(2kp+，2kp+p)，k?Z 解：滿足sina＞0，cosa＜0的α的范圍是(2kp+，2kp+π)，于是的取值范圍是(+，+)， 滿足sin＞cos的的取值范圍為(2kp+，2kp+)．故所求范圍是(2kp+，2kp+)∪(2kp+，2kp+p)，k?Z．選D． 3．已知點A為雙曲線x2-y2=1的左頂點，點B

9、和點C在雙曲線的右分支上，△ABC是等邊三角形，則△ABC的面積是( ) (A) (B) (C)3 (D)6 解：A(－1，0)，AB方程：y=(x+1)，代入雙曲線方程，解得B(2，)， ∴ S=3．選C． 4．給定正數(shù)p，q，a，b，c，其中p1q，若p，a，q是等比數(shù)列，p，b，c，q是等差數(shù)列，則一元二次方程bx2-2ax+c=0( ) (A)無實根 (B)有兩個相等實根 (C)有兩個同號相異實根 (D)有兩個異號實根

10、 解：a2=pq，b+c=p+q．b=，c=； △=a2－bc=pq－(2p+q)(p+2q)=－(p－q)2<0．選A． 5．平面上整點（縱、橫坐標都是整數(shù)的點）到直線y=x+的距離中的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 解：直線即25x－15y+12=0．平面上點(x，y)到直線的距離==． ∵5x－3y+2為整數(shù)，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且當x=y=－1時即可取到2．選B． 6．設ω=cos+isin，則以w，w3，w7，w9為根的方程是( ) (A)x

11、4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0 (C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0 解：ω5+1=0，故w，w3，w7，w9 都是方程x5+1=0的根．x5+1=(x+1)(x4－x3+x2－x+1)=0．選B． 二．填空題（本題滿分54分，每小題9分） 1．a(chǎn)rcsin(sin2000°)=__________. 解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－． 2．設an是(3-)n的展開式中x項的系數(shù)(n

12、=2，3，4，…)，則(++…+))=________. 解：an=3n－2C．∴ ==，故填18． 3．等比數(shù)列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 解：q=====．填． 4．在橢圓+=1 (a＞b＞0)中，記左焦點為F，右頂點為A，短軸上方的端點為B.若該橢圓的離心率是，則∠ABF=_________. 解：c=a，∴|AF|=a．|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2=a2． 故有|AF|2=|AB|2+|BF|2．即∠ABF=90°．填90°． 或由b2=a2－c2=a2=ac，得解． 5．一個球與正四面體的六條棱

13、都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積是________. 解：取球心O與任一棱的距離即為所求．如圖，AE=BE=a， AG=a，AO=a，BG=a，AB∶AO=BG∶OH． OH==a．V=πr3=πa3．填πa3．． 6．如果：(1)a，b，c，d都屬于{1，2，3，4}； (2)a1b，b1c，c1d，d1a； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以組成的不同的四位數(shù)的個數(shù)是_________ 解：a、c可以相等，b、d也可以相等． ⑴ 當a、c相等，b、d也相等時，有C=6種； ⑵ 當a、c相等，b、d不相等時，有A+A=8種； ⑶ 當a、c不相等

14、，b、d相等時，有CC+C=8種； ⑷ 當a、c不相等，b、d也不相等時，有A=6種；共28種．填28． 三、解答題(本題滿分60分，每小題20分) 1．設Sn=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值． 解：Sn=n(n+1)，f(n)= = ≤．(n=8時取得最大值)． 2．若函數(shù)f(x)=－x2+在區(qū)間[a，b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a，b]． 解：⑴ 若a≤b<0，則最大值為f(b)=－b2+=2b．最小值為f(a)=－a2+=2a．即a，b是方程x2+4x－13=0的兩個根，而此方程兩根異號．故不可能． ⑵ 若a<0

15、(x)取最大值，故2b=，得b=． 當x=a或x=b時f(x)取最小值，①f(a)=－a2+=2a時．a(chǎn)=－2±，但a<0，故取a=－2－．由于|a|>|b|，從而f(a)是最小值．②f(b)=－b2+==2a>0．與a<0矛盾．故舍． ⑶ 0≤a

16、的平行四邊形？并證明你的結論． 解：設PQRS是與C0外切且與C1內接的平行四邊形．易知圓的外切平行四邊形是菱形．即PQRS是菱形．于是OP⊥OQ． 設P(r1cosθ，r1sinθ)，Q(r2cos(θ+90°)，r2sin(θ+90°)，則在直角三角形POQ中有r12+r22=r12r22(利用△POQ的面積)．即+=1． 但+=1，即=+， 同理，=+，相加得+=1． 反之，若+=1成立，則對于橢圓上任一點P(r1cosθ，r1sinθ)，取橢圓上點Q(r2cos(θ+90°)，r2sin(θ+90°)，則=+，，=+，，于是+=+=1，此時PQ與C0相切．即存在滿足條件的平行

17、四邊形． 故證． 第二試 一．（本題滿分50分） 如圖，在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點E、F，滿足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC（M、N是垂足），延長AE交三角形ABC的外接圓于D．證明：四邊形AMDN與三角形ABC的面積相等． 證明：連MN，則由FM⊥AM，F(xiàn)N⊥AN知A、M、F、N四點共圓，且該圓的直徑為AF．又DAMN=DAFN，但DFAN=DMAD，故DMAD+DAMN=DFAN+DAFN=90°．∴MN⊥AD，且由正弦定理知，MN=AFsinA． ∴SAMDN=AD·MN=AD·AFsinA． 連BD，由DADB=DACF，DDAB=DCAF，得⊿

18、ABD∽⊿AFC． ∴ AD∶AB=AC∶AF，即AD·AF=AB·AC． ∴ SAMDN=AD·AFsinA=AB·ACsinA=SABC． 二．（本題滿分50分） 設數(shù)列{a n}和{b n }滿足a0=1，a1=4，a2=49，且 n=0，1，2，…… 證明a n（n=0，1，2，…）是完全平方數(shù)． 證明 ⑴×7：7an+1=49an+42bn－21， ⑵×6：6bn+1=48an+42bn－24． 兩式相減得，6bn+1－7an+1=－an－3，即6bn=7an－an－1－3． 代入⑴：an+1=14an－an－1－6．故an+1－=14(an－)－(an－1－)．

19、 其特征方程為x2－14x+1=0，特征方程的解為x=7±4． 故an=α(7+4)n+β(7－4)n+,現(xiàn)a0=1，a1=4，a2=49．解得α=β=． ∴ an=(7+4)n+(7－4)n+=(2+)2n+(2－)2n+ =[(2+)n+(2－)n]2． 由于[(2+)n+(2－)n]是整數(shù)，故知an是整數(shù)的平方．即為完全平方數(shù)． 三．（本題滿分50分） 有n個人，已知他們中的任意兩人至多通電話一次，他們中的任意n－2個人之間通電話的次數(shù)相等，都是3 k次，其中k是自然數(shù)，求n的所有可能值． 解：由條件知，統(tǒng)計各n－2人組的通話次數(shù)都是3k次，共有C=C個n－2人組，若某兩人通話1次，而此二人共參加了C= C個n－2人組，即每次通話都被重復計算了C次．即總通話次數(shù)應為·3k次． 由于(n－1，n－2)=1，故n－2|n?3k． 若n－2|n，故n－2|2，易得n=4，(n=3舍去)此時k=0． 由n－2|3k，n=3m+2，(m為自然數(shù)，且m≤k)，此時 ·3k =·3k=[3m+4+]·3k－m，即3m－1|6． ∴ m=0，1．當m=0時，n=3(舍去)，當m=1時，n=5． 又：n=4時，每兩個人通話次數(shù)一樣，可為1次(任何兩人都通話1次)；當n=5時，任何兩人都通話1次．均滿足要求． ∴ n=0，5．