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1、　第十一講 巧填算符（一） 知識點: 1.填算符，就是指在一些數之間的適當地方填上適當的運算符號（包括括號），從而使這些數與運算符號構成的算式成為一個等式。 　　2.在填算符的問題中，所填的算符包括+、-、×、÷、（）、[]、｛｝。 　　3.解決這類問題常用兩種基本方法：一是湊數法，二是逆推法，有時兩種方法并用。 　　(1)湊數法是根據所給的數，湊出一個與結果比較接近的數，然后，再對算式中剩下的數字作適當的增加或減少，從而使等式成立。 　　(2)逆推法常是從算式的最后一個數字開始，逐步向前推想，從而得到等式。 例1 在下面算式適當的地方添上加號，使算式成立。 　　8 8 8

2、8 8 8 8 8=1000 　　分析 要在八個8之間只添加號，使與為1000，可先考慮在加數中湊出一個較接近1000的數，它可以是888，而888＋88=976，此時，用去了五個8，剩下的三個8應湊成1000-976＝24，這只要三者相加就行了。 　　解：本題的答案是 　　888+88+8+8+8=1000 例2 在下列算式中合適的地方添上+、-、×，使等式成立。 　?、?9 8 7 6 5 4 3 2 1=1993 　?、?1 2 3 4 5 6 7 8 9=1993 　　分析 本題的特點是所給的數字比較多，而得數比較大，這種題目一般用湊數法來做，在本題中應注意可使用的運算符

3、號只有+、-、×。 　?、僦校?54×3=1962，與結果1993比較接近，而1993-1962=31，所以，如果能用9 8 7 2 1湊出31即可，而最后兩個數合在一起是21，那么只需用9 8 7湊出10，顯然，9+8-7=10，就有： 　　9＋8-7＋654×3+21=1993 　　②中，與1993比較接近的是345×6=2070.它比1993大77，現在，剩下的數是1 2 7 8 9，如果把7、8寫在一起，成為78，則無論怎樣，前面的1、2與最后的9都不能湊成1.注意到8×9=72，而7+8×9=79，1×2=2，79-2=77.所以這個問題可以如下解決： 　　1×2+345×6

4、-7-8×9=1993。 　　解：本題的答案是： 　?、?9＋8-7＋654×3+21=1993； 　?、?1×2＋345×6-7-8×9=1993。 例3 在下面算式合適的地方添上+、-、×號，使等式成立。 　　3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3=1992 　　分析 本題等號左邊數字比較多，右邊得數比較大，仍考慮湊數法，由于數字比較多，在湊數時，應多用去一些數，注意到333×3=999，所以333×3+333×3=1998，它比1992大6，所以只要用剩下的八個3湊出6就可以了，事實了，3+3+3-3+3-3+3-3=6，由于要減去6，則可以這樣添：3

5、33×3＋333×3-3-3＋3-3＋3-3＋3-3=1992。 　　解：本題的一個答案是： 　　333×3＋333×3-3-3＋3-3+3-3＋3-3=1992。 　　補充說明：前面例1至例3中，它們的特點是等號左邊的數比較多，而等號右邊的數比較大，這種問題一般用湊數法解決比較容易。 例4 在下面算式合適的地方添上+、-、×，使等式成立。 　　1 2 3 4 5 6 7 8=1 　　分析 這道題的特點是等號左邊的數字比較多，而等號右邊的得數是最小的自然數1，可以考慮在等號左邊最后一個數字8的前面添“-”號。 　　這時，算式變?yōu)椋? 2 3 4 5 6 7-8＝1 　　只需讓1

6、 2 3 4 5 6 7=9就可以了，考慮在7的前面添“＋”號，則算式變?yōu)? 2 3 4 5 6＋7＝9，只需讓1 2 3 4 5 6=2就可以了，同開始時的想法，在6的前面添“-”號，算式變?yōu)? 23 4 5-6＝2，這時只要1 2 3 4 5＝8即可.同樣，在5前面添“＋”號，則只需1 2 3 4＝3即可.觀察發(fā)現，只要這樣添：1＋2×3-4＝3就得到本題的一個解為1＋2×3-4+5-6+7-8=1。 　　解：本題的一個答案是： 　　1+2×3-4+5-6+7-8=1 　　補充說明：一般逆推法常限于數字不太多（如果太多，推的步驟也會太多），得數也比較小的題目，如例4.在解決這類問題時

7、，常把逆推法與湊數法結合起來使用，我們稱之為綜合法.所以，在解決這類問題時，把逆推法與湊數法綜合考慮更有助于問題的解決。 例5 在下面算式中合適的地方，只添兩個加號與兩個減號使等式成立。 　　1 2 3 4 5 6 7 8 9＝100 　　分析 在本題條件中，不僅限制了所使用運算符號的種類，而且還限制了每種運算符號的個數。 　　由于題目中，一共可以添四個運算符號，所以，應把1 23 4 5 6 7 8 9分為五個數，又考慮最后的結果是100，所以應在這五個數中湊出一個較接近100的，這個數可以是123或89。 　　如果有一個數是123，就要使剩下的后六個數湊出23，且把它們分為四個數

8、，應該是兩個兩位數，兩個一位數.觀察發(fā)現，45與67相差22，8與9相差1，加起來正巧是23，所以本題的一個答案是： 　　123＋45-67＋8-9＝100 　　如果這個數是89，則它的前面一定是加號，等式變?yōu)? 2 3 4 5 6 7＋89=100，為滿足要求，1 2 3 4 5 6 7=11，在中間要添一個加號與兩個減號，且把它變成四個數，觀察發(fā)現，無論怎樣都不能滿足要求。 　　解：本題的一個答案是： 　　123＋45-67＋8-9=100 　　補充說明：一般在解題時，如果沒有特別說明，只要得到一個正確的解答就可以了。 　　在例5這類限制比較多的題目的解決過程中，要時時注意按照

9、題目的要求去做，由于題目的要求比較高，所以解決的方法比較少。 例6 在下列算式中合適的地方，添上（）[]，使等式成立。 　　① 1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9=303 　?、?＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9=1395 　　③1+2×3＋4×5+6×7＋8×9＝4455 　　分析 本題要求在算式中添括號，注意到括號的作用是改變運算的順序，使括號中的部分先做，而在四則運算中規(guī)定“先乘除，后加減”，要改變這一順序，往往把括號加在有加、減運算的部分。 　　題目中三道小題的等號左邊完全相同，而右邊的得數一個比一個大.要想使得數增大，可以讓加數增大或因數增大，這是考慮本題的基本思想。

10、　?、兕}中，由湊數的思想，通過加（ ），應湊出較接近303的數，注意到1+2×3+4×5+6=33，而33×7=231.較接近303，而231+8×9=303，就可得到一個解為： 　　（1+2×3+4×5+6）×7+8×9=303 　?、陬}中，得數比①題大得多，要使得數增大，只要把乘法中的因數增大.如果考慮把括號加在7+8上，則有6×（7+8）×9=810，此時，前面1+2×3＋4×5無論怎樣加括號也得不到1395-810=585.所以這樣加括號還不夠大，可以考慮把所有的數都乘以9，即（1＋2×3+4×5+6×7+8）×9=693，仍比得數小，還要增大，考慮將括號內的數再增大，即把括號添在

11、（1＋2）或（3＋4）或（5＋6）或（7+8）上，試驗一下知道，可以有如下的添加法： 　　[（1+2）×（3+4）×5+6×7+8]×9=1395 　　③題的得數比②題又要大得多，可以考慮把（7＋8）作為一個因數，而1+2×3+4×5+6×（7+8）×9=837，還遠小于4455，為增大得數，試著把括號加在（1＋2×3＋4×5＋6）上，作為一個因數，結果得33，而33×（7＋8）×9=4455.這樣，得到本題的答案是： 　?。?＋2×3+4×5+6）×（7+8）×9=4455 　　解：本題的答案是： 　?、伲?＋2×3＋4×5＋6）×7＋8×9=303 　?、赱（1+2）×（3＋4

12、）×5+6×7＋8]×9=1395 　　③（1＋2×3＋4×5＋6）×（7+8）×9=4455 習題十一 1.在下列算式的□中，添入加號與減號，使等式成立。 　?、?□23□4□5□6□78□9=100 　?、?2□3□4□5□6□7□89＝100 2.在下列算式中合適的地方添上+、-號，使等式成立。 　?、? 8 7 6 5 4 3 2 1=21 　　②9 8 7 6 5 4 3 2 1=23 3.只添一個加號與兩個減號，使下面的算式成立。 　　1 2 3 4 5 6 7 8 9=100 4.在下列算式中適當的地方添上+、-、×號，使等式成立。 　?、?4 4 4 4

13、 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4=1996 　　② 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6=1992 5.在下列算式中適當的地方添上（）[]，使等式成立. 　　①1＋3×5＋7×9＋11×13+15=401 ②15-13×11-9×7-5×3-1＝8 6．在批改作業(yè)時，張教師發(fā)現小明抄題時丟了括號，但結果是正確的。請你給小明的算式添上括號： 4＋28÷4－2×3－1＝4 7．在下面算式適當的地方添上加號，使等式成立。 8 8 8 8 8 8 8 8 ＝ 1000 8．在下面式子的適當地方添上＋、－、×，使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8＝1