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1、1/31第二節(jié)第二節(jié) 數列的極限數列的極限一、引例二、數列的概念三、數列極限的概念四、收斂數列的性質五、小結、作業(yè)、思考題2/31一、引例一、引例 極限概念是從常量到變量極限概念是從常量到變量,從有限到無限從有限到無限, 即從初等數學過渡到高等數學的關鍵即從初等數學過渡到高等數學的關鍵. 極限的思想源遠流長極限的思想源遠流長.莊子莊子(約公元前約公元前355275年年)在在天下篇天下篇 “一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,萬世不竭萬世不竭”. 中寫道中寫道:劉徽劉徽(三世紀三世紀)的的“割圓術割圓術”中說中說: “割之彌細割之彌細,所失彌少所失彌少.割之又割割之又割,以至不可以至不可割割,則

2、與圓周合體則與圓周合體,而無所失矣而無所失矣.”3/31正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAASR4/31定義定義 數列乃按照自然數的順序排列的一列數數列乃按照自然數的順序排列的一列數12,nu uu簡記為簡記為nnuu其其中中稱稱為為數數列列的的通項通項(generalterm),或者或者一般項一般項.,nu二、數列二、數列 (sequence of number) 的概念的概念;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn 如如;,2 , 8 , 4

3、, 2n;,21,81,41,21n2n21n5/31onxn 1 2 3 4可看作一動點在數軸上依次取可看作一動點在數軸上依次取12,.nu uu1u2u3u4unu數列的幾何表示法數列的幾何表示法:(2)數列也可看作自變量為正整數數列也可看作自變量為正整數 n的函數的函數: )(nfxn 整標函數整標函數或或下標函數下標函數(1)數列對應著數列對應著數軸上一個點列數軸上一個點列.6/31三、數列極限三、數列極限的概念的概念.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當研究數列研究數列 nnn即即,511,411,311,211, 11 56,43,34,21, 2問題問題當當 無限增大無限增大時

4、時, 是否是否無限接近無限接近于某一于某一確定的數值確定的數值?unn如果是如果是,當當n無限增大無限增大時時, nu無限接近無限接近于于1.該值為多少該值為多少?7/31如何用數學語言刻劃它如何用數學語言刻劃它?1nu 1)1)1(1(1 nn1nu 可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,則要看則要看1nu “無限接近無限接近” 意味著什么意味著什么?|.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當研究數列研究數列 nnnn1 只要只要n充分大充分大,小到什么程度小到什么程度.當當n無限增大無限增大時時, 無限接近無限接近于于1.nu8/31,1001給定給定11100,n 要要使使,100時

5、時只要只要 n11,100nu 有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n11,10000nu 有有,100001給定給定,10000時時只要只要 n11,1000nu 有有0, 任任給給,)1(時時只要只要 Nn1.nu 有有成成立立1|1|nun衡量尺度衡量尺度9/31,nuaNnN 設設有有數數列列及及定定值值 . .如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數數總總存存在在正正數數, ,使使得得當當時時, ,不不等等式式nua nnua 恒恒成成立立, ,則則稱稱當當時時, ,數數列列的的極極限限為為 , ,lim.nnnuanua 或或 當當時時，定義定義nua或或稱稱數數列列

6、收收斂斂于于 , ,記記作作,.nu如如果果數數列列沒沒有有極極限限 稱稱之之為為發(fā)發(fā)散散數數列列10/31,有有關關與與給給定定的的 N注注一般地說一般地說,(1)(2)0:,;nnuaxa 任任意意給給定定之之重重要要性性 唯唯有有此此不不等等式式方方能能表表達達與與 的的無無限限接接近近,;N 越越小小將將越越大大.nua 有有,時時當當Nn , 0 , 0 NN 定義定義邏輯符號邏輯符號limnnua 簡簡寫寫的的定定義義(3),|.nNnNua 如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數數總總存存在在正正數數, ,使使得得當當時時, ,不不等等式式| |成成立立11/31x1u2u2

7、uN 1uN 3u數列極限的幾何意義數列極限的幾何意義 2 a aa,時時當當Nn .)(落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個Nauan )(Nn ( ,)uU an uan 即即)(Nn (,),nuaa所所有有的的點點都都落落在在內內因此因此,一個數列是否有極限一個數列是否有極限,“前面前面” 的有限項的有限項不起作用，關鍵是看不起作用，關鍵是看“后面后面”無窮多項的變化無窮多項的變化趨勢！趨勢?。▌討B(tài)觀點）（動態(tài)觀點）12/31數列極限的定義未給出求極限的方法數列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證證1 nu1)1(1 nnnn1

8、, 0 任任給給,1 nu要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,nN 則則當當時時 就就有有1( 1)1nnn 1( 1)lim1.nnnn 注意：注意：(1)(2)(3)(4)給出度量給出度量考察接近程度考察接近程度套用定義格式套用定義格式下結論下結論 雖然是可以任意小的正數雖然是可以任意小的正數,但使用定義證題但使用定義證題時時,對于給定的對于給定的 總暫時認為它是固定的總暫時認為它是固定的,按照這按照這個個 找出使不等式成立的找出使不等式成立的N. , 找找N13/312( 1)lim0.(1)nnn 例例. . 證證明明220,( 1)11|0(1)(1)1nnuannn

9、 證證明明: :對對111,1nn 只只要要或或|.nua 不不等等式式必必然然成成立立11 ,N 所所以以取取2( 1)0.(1)nn 1( 1)lim0.nnnn ,nN 則則當當時時 就就有有1, 設設14/31例例. 10, 0lim qqnn其中其中證明證明證證0 0,nnuq ,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則當則當Nn ,0 nq有有. 0lim nnq,lnlnqn 為了使為了使只需使只需使),10( 不妨設不妨設15/31簡化證明簡化證明, 0 任給任給0,nnuq 令令,lnlnqN 取取,nN 則則當當時時 就就有有0.nq lim0.nnq lnln ,nq

10、則則ln.lnnq 甚至更簡化為甚至更簡化為, 0 任給任給ln,lnNq 令令,nN 則則當當時時 就就有有0.nq lim0.nnq 16/312221lim.3243nnnnn 例例. . 證證明明22221105|,32433(324)nnnnuannnn證證明明: :10,max2,N 所所以以, ,對對取取2221.3243nnnn 2221lim.3243nnnnn,nN 則則當當時時 就就有有25100,nn當當時時，于于是是2221055101,3(324)3(3249)5nnnnnnnnn 17/31注：注： 為了簡化解不等式的運算為了簡化解不等式的運算,常常把常常把nua

11、 作適當放大作適當放大.22:lim1.nnan 練練習習 證證明明224lim4.(122.3nnnn 習習題題（ ）) )236lim0.2nnnn 18/31例例(),lim.nnnuC CuC設設為為常常數數證證明明證證nuC CC ,成成立立 ,0 任給任給所以所以,0 ,n對于一切自然數對于一切自然數.limCxnn 說明說明 常數列的極限等于同一常數常數列的極限等于同一常數.19/311. 有界性有界性如如,1nnun 數數列列2nnu 數數列列有界有界;無界無界.定義定義,nu對對數數列列若存在正數若存在正數M,|,nuM 成成立立數數n,恒有恒有稱為無界稱為無界.則稱數列則稱

12、數列 有界有界;nu 數軸上對應于有界數列的點數軸上對應于有界數列的點 都落在都落在nu,MM 閉區(qū)間閉區(qū)間 上上.否則否則,使得一切自然使得一切自然四、四、收斂數列的性質收斂數列的性質20/31定理定理1 1證證lim,nnua 設設由定義由定義, 1 取取,1,nNnNua則則使使得得當當時時恒恒有有11.naua即即有有,max,n則則對對一一切切自自然然數數 .nu故故有有界界有界性是數列收斂的必要條件有界性是數列收斂的必要條件, 推論推論注注收斂收斂的數列必定有界的數列必定有界. .無界數列必定發(fā)散無界數列必定發(fā)散. .不是充分條件不是充分條件.,1 a1 a M記記,1|,u2|,

13、u|,Nu,nuM 皆皆有有21/312. 唯一性唯一性定理定理2 2證證lim,nnua 設設由定義由定義,1nnNua 當當時時恒恒有有 ,max21NNN 取取nN 則則當當時時,(1),(2),(1),(2)式式同同時時成成立立, ,故故a=b, 收斂數列極限唯一收斂數列極限唯一.每個每個收斂收斂的數列只有一個極限的數列只有一個極限. .lim,nnub 又又120,2baNN 對對使得使得,ab 不不妨妨設設(1)2nabu (2)2nabu 2nnNub 當當時時恒恒有有矛盾，矛盾，22/31例例11().nnu 證證明明 數數列列是是發(fā)發(fā)散散的的證證,21 取取, 0 N則則,時

14、時即當即當Nn 區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.11,nu 而而無無休休止止地地反反復復取取兩兩個個數數不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的區(qū)間內的區(qū)間內.,nu 是是有有界界的的21 a21 aa,時時當當Nn 12,nua有有成成立立 反證法反證法假設數列假設數列nu收斂收斂， 則有唯一極限則有唯一極限a 存在存在. .1122(,),nuaa但卻發(fā)散但卻發(fā)散. .23/313. 保號性保號性定理定理3 3 如果如果lim,nnua 且且0 a, 0 N則則,Nn 當當0nu 有有),0( a0().nu 證證0 a由定義由定義, 02 a ,時時當當Nn 對對, 0 N2,naua有有

15、從而從而nu 2aa 2a . 0 推論推論 如果數列如果數列 nu從某項起有從某項起有0nu 0(),nu 且且lim,nnua 那么那么0 a).0( a用反證法用反證法24/31在數列在數列 中依次任意抽出中依次任意抽出無窮無窮多項多項: nu12,knnnuuu所構成的新數列所構成的新數列)(21 knnn其下標其下標knu這里這里 是原數列中的第是原數列中的第 項項,kn在子數列中是在子數列中是第第k項項,k4. 收斂數列與其子數列收斂數列與其子數列(subsequence)間的關系間的關系1 2 3 (, , ,)knuk nu 的的子數列子數列.叫做數列叫做數列kn 25/31,

16、knua 證證knu是數列是數列nu的任一子數列的任一子數列. .若若lim,nnua 則則, 0 ,N ,nN 當當有有nua 現取正整數現取正整數 K=N,由此證明由此證明 lim.knkua 定理定理4 4設數列設數列, 0 正整數正整數 K,knua 收斂數列的任一子數列收斂數列的任一子數列收斂于同一極限收斂于同一極限. .,kKN當當時時,knkN必必有有從從而而kK 當當26/31 由此定理可知由此定理可知,但若已知一個子數列發(fā)散但若已知一個子數列發(fā)散, 或有兩個子數列或有兩個子數列斂于斂于a .nu21ku 2ku收斂于不同的極限值收斂于不同的極限值,可斷定原數列是發(fā)散的可斷定原

17、數列是發(fā)散的.一般不能斷定原數列的收斂性一般不能斷定原數列的收斂性;還可以證明還可以證明:數列數列的奇子數列的奇子數列和偶子數列和偶子數列均收斂于同一常數均收斂于同一常數a 時時,則數列則數列nu也收也收僅從某一個子數列的收斂僅從某一個子數列的收斂(習題習題1-2 第第8題題)27/31例例 試證數列試證數列 不收斂不收斂. ncos證證 因為因為 的奇子數列的奇子數列 ncos不收斂不收斂.收斂于收斂于而偶子數列而偶子數列 , 1, 1, 1 ncos所以數列所以數列 收斂于收斂于, 1 , 11,1,1,28/31數列數列數列極限數列極限收斂數列的性質收斂數列的性質收斂數列與其子數列間的關

18、系收斂數列與其子數列間的關系.五、小結五、小結研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;極限思想極限思想, 精確定義精確定義, 幾何意義幾何意義;有界性有界性, 唯一性唯一性,保號性保號性,29/31作業(yè)作業(yè)B. B. 課后練習：課后練習：課本習題課本習題1-2 (21-221-2 (21-22頁頁) ) 1.（3，4） 2.(1，4) 4. 6. 7. C. 思考題：思考題：8A. 第第2次作業(yè)次作業(yè)30/31思考題思考題13nua , 0 , 0 N“”恒有恒有是數列是數列nu收斂于收斂于a的的( ). A. 充分但非必要條件充分但非必要條件B. 必要但非充分條件必要但非充分條件C. 充分必要條件充分必要條件D. 既非充分也非必要條件既非充分也非必要條件(1)(2).(lim,lim2 nnnnaKa則則若若KA.KB 2.2.KCD. 不確定不確定,nN 當當時時