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1、第四章　平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (自我評(píng)估、考場(chǎng)亮劍，收獲成功后進(jìn)入下一章學(xué)習(xí)！) (時(shí)間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．) 1．(2009·天津高考)i是虛數(shù)單位，＝ (　　) A．1＋2i　　　　　　　　　B．－1－2i C．1－2i D．－1＋2i 解析：＝＝－1＋2i. 答案：D 2．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，則a與b

2、 (　　) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，則a與b垂直． 答案：A 3．(2010·利辛模擬)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋b)∥(a－2b)，則實(shí)數(shù)m ( ) A. B．－ C. D. 解析：ma＋b＝m(2,3)＋(－1,2)＝(2m－1,3m＋2)， a－2b＝(2,3)

3、－2(－1,2)＝(4，－1)． ∵(ma＋b)∥(a－2b) ∴1－2m＝(3m＋2)×4. ∴m＝－. 答案：B 4．如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則等于 (　　) A．a(chǎn)＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 答案：B 5．若在△ABC中，||＝3，||＝5，||＝4，則|5＋|＝ (　　) A．4 B．2 C．2 D. 解析：根據(jù)三邊邊長(zhǎng)易知△ABC為直角

4、三角形． cos〈，〉＝－. ∵|5＋|2＝ 25||2＋||2＋10||·||cos〈，〉＝160. ∴|5＋|＝4. 答案：A 6．(2010·鞍山模擬)已知復(fù)數(shù)z＝1＋i，則等于 (　　) A．2i B．－2i C．2 D．－2 解析：＝＝＝2i. 答案：A 7．已知命題：“若k1a＋k2b＝0，則k1＝k2＝0”是真命題，則下面對(duì)a，b的判斷正確 的是 (　

5、　) A．a(chǎn)與b一定共線 B．a(chǎn)與b一定不共線 C．a(chǎn)與b一定垂直 D．a(chǎn)與b中至少有一個(gè)為0 解析：假設(shè)a與b共線，由已知得k1a＝－k2b，如果a、b均為非零向量，與已知條件矛盾．如果a、b中至少有一個(gè)非零向量，明顯的與已知矛盾，排除A、D.把k1a＋k2b＝0兩邊平方得a2＋b2＋2k1k2a·b＝0，因?yàn)閗1＝k2＝0，所以a·b不一定等于0，排除C. 答案：B 8．若平面向量a＝(－1,2)與b的夾角是180°，且|b|＝3，則b的坐標(biāo)為 (　　) A．(3，－6)

6、 B．(－3,6) C．(6，－3) D．(－6,3) 解析：由題意設(shè)b＝λa＝λ(－1,2)． 由|b|＝3得λ2＝9.λ＝±3. 因?yàn)閍與b的夾角是180°.所以λ＝－3. 答案：A 9．(2010·黃岡模擬)已知A、B、C是銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量p＝(1＋sinA,1＋cosA)，q＝(1＋sinB，－1－cosB)，則p與q的夾角是 (　　) A．銳角 B．鈍角 C．直角 D．不確定 解析：銳角△ABC中，

7、sinA＞cosB＞0，sinB＞cosA＞0， 故有p·q＝(1＋sinA)(1＋sinB)－(1＋cosA)(1＋cosB)＞0，同時(shí)易知p與q方向不相同，故p與q的夾角是銳角． 答案：A 10．已知非零向量，和滿足·＝0，且·＝，則△ABC為 (　　) A．等邊三角形 B．等腰非直角三角形 C．非等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析：、、均為單位向量． 由·＝0，得||＝| |. 由·＝1×1×cosC＝，得C＝45

8、°. 故三角形為等腰直角三角形． 答案：D 11．如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是弧AB的三等分點(diǎn)， M，N是線段AB的三等分點(diǎn)，若OA＝6， 則·的值為 (　　) A．13　　 B．26 C．18　　 　　　D．36 解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝6×6cos60°－6×2cos120°－6×2cos120°＋2×2cos180°＝26. 答案：B 12．設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定義一種向量積： ab＝(a1，a2) (b1，b2)＝(a1b1，a2b2)

9、．已知m＝，n＝，點(diǎn)P(x，y)在y＝sinx的圖象上運(yùn)動(dòng) ，點(diǎn)Q在y＝f(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，滿足＝m＋n(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則y＝f(x)的最大值A(chǔ)及最小正周期T分別為 (　　) A．2，π B．2,4π C.，4π D.，π 解析：設(shè)Q(x0，y0)，＝(x0，y0)，＝(x，y)， ∵＝m＋n， ∴(x0，y0)＝(x，y)＋＝＋＝， ∴? 代入y＝sinx中得，2y0＝sin， 所以最大值為，周期為4π. 答案：C 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．將答案填寫在題中的橫線上．) 13

10、．已知復(fù)數(shù)z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝________. 解析：＝＝＝是實(shí)數(shù)，∴6＋4m＝0，故m＝－. 答案：－ 14．(文)若向量a＝(1＋2λ，2－3λ)與b＝(4,1)共線，則λ＝________. 解析：依題意得4(2－3λ)－(1＋2λ)＝0，由此解得λ＝. 答案： (理)已知a＝(3,2)，b(－1,2)，(a＋λb)⊥b，則實(shí)數(shù)λ＝________. 解析：∵(a＋λb)⊥b， ∴(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝1＋5λ＝0，∴λ＝－. 答案：－ 15．已知平面向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，且a與b的夾角為135°，c與b的夾角

11、為120°，|c|＝2，則|a|＝________. 解析：根據(jù)已知條件，組成以|a|，|b|，|c|為邊長(zhǎng)的三角形，由正弦定理得＝，又|c|＝2，所以|a|＝. 答案： 16．在直角坐標(biāo)系xOy中，i、j分別是與x軸，y軸平行的單位向量，若直角三角形ABC中，＝i＋j，＝2i＋mj，則實(shí)數(shù)m＝________. 解析：本題考查了向量的運(yùn)算．由已知可得＝－＝i＋(m－1)j. 當(dāng)A＝90°時(shí)，·＝(i＋j)·(2i＋mj)＝2＋m＝0，m＝－2. 當(dāng)B＝90°時(shí)，·＝－(i＋j)·[i＋(m－1)·j]＝－(1＋m－1)＝－m＝0，m＝0. 當(dāng)C＝90°時(shí)，·＝－(2i＋mj)·

12、[－i－(m－1)j]＝2＋m(m－1)＝m2－m＋2＝0，此時(shí)m不存在．故m＝0或－2. 答案：0或－2 三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|＝1＋3i－z，化簡(jiǎn) 解：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z，即－1－3i＋a＋bi＝0， 則，? ∴z＝－4＋3i. ∴＝＝＝3＋4i. 18．(本小題滿分12分)如圖，在平行四邊形ABCD中， M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知＝c， ＝d，試用c，d表示，. 解：法一：設(shè)＝a，＝b，則 a＝＋＝d＋(－b)，

13、 ① b＝＋＝c＋(－a)， ② 將②代入①得a＝d＋(－)[c＋(－a)] ?a＝d－c，代入② 得b＝c＋(－)(d－c)＝c－d. 故＝d－c，＝c－d. 法二：設(shè)＝a，＝b. 所以＝b，＝a， 因而?， 即＝(2d－c)，＝(2c－d)． 19．(本小題滿分12分)已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cos(－θ)，sin(－θ))． (1)求證：a⊥b； (2)若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使x＝a＋(t2＋3)b， y＝－ka＋tb

14、，滿足x⊥y，試求此時(shí)的最小值． 解：(1)證明：∵a·b ＝cos(－θ)·cos(－θ)＋sin(－θ)·sin(－θ) ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0. ∴a⊥b. (2)由x⊥y得：x·y＝0， 即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0， ∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0， ∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0. 又|a|2＝1，|b|2＝1， ∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t. ∴＝＝t2＋t＋3＝(t＋)2＋. 故當(dāng)t＝－時(shí)，有最小值. 20．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的

15、邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知向量m＝(1,2sinA)，n＝(sinA,1＋cosA)，且滿足m∥n，b＋c＝a. (1)求角A的大??； (2)求sin的值． 解：(1)∵m∥n，∴1＋cosA＝2sin2A， 即2cos2A＋cosA－1＝0，解得cosA＝－1(舍去)，cosA＝. 又0＜A＜π，∴A＝. (2)∵b＋c＝a， ∴由正弦定理可得sinB＋sinC＝sinA＝. 又C＝π－(A＋B)＝－B，∴sinB＋sin＝， 即sinB＋cosB＝，∴sin＝. 21．(本小題滿分12分)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1,0)

16、． (1)若x＝，求向量a，c的夾角； (2)當(dāng)x∈[，]時(shí)，求函數(shù)f(x)＝2a·b＋1的最大值． 解：(1)設(shè)a，c的夾角為θ，當(dāng)x＝時(shí)， cos〈a，c〉＝＝ ＝－cosx＝－cos＝cos. ∵0≤〈a，c〉≤π，∴〈a，c〉＝. (2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sinxcosx)＋1 ＝2sinxcosx－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x ＝sin(2x－)． ∵x∈[，]， ∴2x－∈[，2π]， ∴sin(2x－)∈[－1，]， ∴當(dāng)2x－＝，即x＝時(shí)，f(x)max＝1. 22．(本小題滿分14分)已知△ABC的面積為S，

17、滿足≤S≤3，且·＝6， 與的夾角為θ. (1)求角θ的取值范圍； (2)求函數(shù)f(θ)＝sin2θ＋2sinθ·cosθ＋3cos2θ的最小值． 解：(1)由題意知，·＝| |·| |cosθ＝6， ① S＝||·||sin(π－θ)＝||·||sinθ， ② 由，得＝tanθ，即3tanθ＝S. 由≤S≤3，得≤3tanθ≤3， 即≤tanθ≤1. 又θ為與的夾角， ∴θ∈(0，π]，∴θ∈[，]． (2)f(θ)＝sin2θ＋2sinθ·cosθ＋3cos2θ ＝1＋sin2θ＋2cos2θ ＝2＋sin2θ＋cos2θ ＝2＋sin(2θ＋)． ∵θ∈[，]，∴2θ＋∈[，]， ∴當(dāng)2θ＋＝，即θ＝時(shí)，f(θ)取得最小值為3. 9