《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版7》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版7（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1987年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 一試題(10月11日上午8∶00——9∶30) 一．選擇題(每個(gè)小題選對(duì)得5分，不選得1分；選錯(cuò)或選出的代號(hào)超過一個(gè)者得0分．本題滿分20分)： 1．對(duì)任意給定的自然數(shù)n，若n6+3a為正整數(shù)的立方，其中a為正整數(shù)，則( ) A．這樣的a有無窮多個(gè) B．這樣的a存在，但只有有限個(gè) C．這樣的a不存在 D．以上A、B、C的結(jié)論都不正確(上海供題) 2．邊長(zhǎng)為5的菱形，它的一條對(duì)角線的長(zhǎng)不大于6，另一條不小于6，則這個(gè)菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)度之和的最大值是( )

2、A．10 B．14 C．5 D．12(天津供題) 3．在平面直角坐標(biāo)系中縱橫坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn)，若a為無理數(shù)，則過(a，0)的所有直線中( ) A．有無窮多條直線，其中每條直線上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn) B．恰有n(2≤n<+∞)條直線，其中每條直線上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn) C．有且僅有一條直線至少通過兩個(gè)有理點(diǎn) D．每條直線至多通過一個(gè)有理點(diǎn)(河南供題) 4．如圖，△ABC的頂點(diǎn)B在單位圓的圓心上，A、C在圓周上，∠ABC=2α (0<α<)，現(xiàn)將△ABC在圓內(nèi)按逆時(shí)針方向依次作旋轉(zhuǎn)，具體

3、方法如下：第一次，以A為中心使B落到圓周上；第二次，以B為中心，使C落到圓周上；第三次，以C為中心，使A落到圓周上．如此旋轉(zhuǎn)直到100次．那么A點(diǎn)所走過的路程的總長(zhǎng)度為( ) A．22π(1+sinα)－66α B．π C．22π+πsinα－66α D．33π－66α(北京供題) 二．填空題(每小題填寫結(jié)果完全正確者得8分，填寫錯(cuò)誤或多填、少填者均得0分，本題滿分40分)： 1．已知集合 M={x，xy，lg(xy)} 及 N={0，|x|，y}， 并且M=N，那么 (x+

4、)+(x2+)+(x3+)+…+(x2001+)的值等于 ．(陜西供題) 2．已知集合 A={(x，y)| |x|+|y|=α，α>0} B={(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|} 若A∩B是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則α的值為 ．(青海供題) 3．若k是大于1的整數(shù)，α是x2－kx+1=0的一個(gè)根，對(duì)于大于10的任意自然數(shù)n，α+α的個(gè)位數(shù)字總是7，則k的個(gè)位數(shù)字是 ．(河北供題) 4．現(xiàn)有邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形兩個(gè)，邊長(zhǎng)為4，5，的三角形四個(gè)，邊

5、長(zhǎng)為，4，5的三角形六個(gè)，用上述三角形為面，可以拼成 個(gè)四面體．(江西供題) 5．五對(duì)孿生兄妹參加k個(gè)組活動(dòng)，若規(guī)定：⑴ 孿生兄妹不在同一組；⑵非孿生關(guān)系的任意兩個(gè)人都恰好共同參加過一個(gè)組的活動(dòng)，⑶有一人只參加兩個(gè)組的活動(dòng)，則k的最小值為 ．(命題組供題) 1987年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題 一．如圖，△ABC和△ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，現(xiàn)固定△ABC，而將△ADE繞A點(diǎn)在平面上旋轉(zhuǎn)，試證：不論△ADE旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段EC上必存在點(diǎn)M，使△BMD為等腰直角三角形． 二．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的

6、點(diǎn)稱為整點(diǎn)．試證：存在一個(gè)同心圓的集合，使得 ⑴每個(gè)整點(diǎn)都在此集合的某個(gè)圓周上； ⑵此集合的每個(gè)圓周上，有且只有一個(gè)整點(diǎn)．(辛澤爾定理) 三．n(n>3)名乒乓球選手單打若干場(chǎng)后，任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手恰好都不完全相同，試證明：總可以從中去掉一名選手，而使在余下的選手中，任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手仍然都不完全相同． 1987年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答 一試題 一．選擇題(每個(gè)小題選對(duì)得5分，不選得1分；選錯(cuò)或選出的代號(hào)超過一個(gè)者得0分．本題滿分20分)： 1．對(duì)任意給定的自然數(shù)n，若n6+3a為正整數(shù)的立方，其中a

7、為正整數(shù)，則( ) A．這樣的a有無窮多個(gè) B．這樣的a存在，但只有有限個(gè) C．這樣的a不存在 D．以上A、B、C的結(jié)論都不正確(上海供題) 解：(n2+3k)3=n6+9n4k+27n2k2+27k3=n6+3(3n4+9n2k+9k2)k．取a=(3n4+9n2k+9k2)k，(k為任意正整數(shù))，則n6+3a為正整數(shù)的立方，由于k可任意取值，且當(dāng)k增大時(shí)，a也隨之增大．即a有無數(shù)個(gè)．選A． 2．邊長(zhǎng)為5的菱形，它的一條對(duì)角線的長(zhǎng)不大于6，另一條不小于6，則這個(gè)菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)度之和的最大值是(

8、 ) A．10 B．14 C．5 D．12(天津供題) 解：設(shè)x≥3，y≤3，且x2+y2=25．滿足要求的點(diǎn)構(gòu)成直角坐標(biāo)系中一段弧(圖中粗線部分)．令x+y=k，則當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(4，3)時(shí)取得最大值7．即2x+2y≤14．選B． 3．在平面直角坐標(biāo)系中縱橫坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn)，若a為無理數(shù)，則過(a，0)的所有直線中( ) A．有無窮多條直線，其中每條直線上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn) B．恰有n(2≤n<+∞)條直線，其中每條直線上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn) C．有且僅有一條直線至少通過兩個(gè)有理點(diǎn) D．每條直線至

9、多通過一個(gè)有理點(diǎn)(河南供題) 解：若直線斜率為k，則當(dāng)k=0時(shí)直線經(jīng)過x軸上所有有理點(diǎn)． 當(dāng)k≠0時(shí)，直線方程為y=k(x－a)． 若k為有理數(shù)，則當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，y為無理數(shù)； 若k為無理數(shù)，若此時(shí)直線經(jīng)過一個(gè)有理點(diǎn)A(x1，y1)，對(duì)于直線上與A不重合的點(diǎn)B(x2，y2)．由y1=k(x1－a)，y2=k(x2－a)，由于a為無理數(shù)，故y1≠0，x2－a≠0，==m，當(dāng)y2為有理數(shù)時(shí)，m為有理數(shù)，當(dāng)y2≠y1時(shí)，m≠1，此時(shí)x2=mx1+(1－m)a為無理數(shù)．即此直線上至多有一個(gè)有理點(diǎn)．選C． 4．如圖，△ABC的頂點(diǎn)B在單位圓的圓心上，A、C在圓周上，∠ABC=2α(0<α<

10、 )現(xiàn)將△ABC在圓內(nèi)按逆時(shí)針方向依次作旋轉(zhuǎn)，具體方法如下：第一次，以A為中心使B落到圓周上；第二次，以B為中心，使C落到圓周上；第三次，以C為中心，使A落到圓周上．如此旋轉(zhuǎn)直到100次．那么A點(diǎn)所走過的路程的總長(zhǎng)度為( ) A．22π(1+sinα)－66α B．π C．22π+ πsinα－66α D．33π－66α(北京供題) 解：點(diǎn)A每k(k≡1(mod 3))不動(dòng)，第k(k≡2(mod 3))次走過路程π－2α，第k(k≡0(mod 3))走過路程(2sinα)，于是所求路程=33(π－2α+ πsinα)．

11、選A． 二．填空題(每小題填寫結(jié)果完全正確者得8分，填寫錯(cuò)誤或多填、少填者均得0分，本題滿分40分)： 1．已知集合 M={x，xy，lg(xy)} 及 N={0，|x|，y}， 并且M=N，那么 (x+)+(x2+)+(x3+)+…+(x2001+)的值等于 ．(陜西供題) 解 0∈M，但xy10，故只有l(wèi)g(xy)=0，，xy=1． ∴ 1∈N，故|x|=1，或y=1，若y=1，則由xy=1得，x=1，與元素相異性矛盾．故y11． ∴ |x|=1，x=1或x=－1，其中x=1同上矛盾．故x=－1．y=－1． ∴

12、x2k+ = 2；x2k+1+ =－2(k∈N*)．故所求值=－2． 解：xy≠0，Tx≠0，y≠0．故xy=1．若y=1，則x=1，矛盾，故x=－1，y=－1．原式=－2． 2．已知集合 A={(x，y)| |x|+|y|=α，α>0} B={(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|} 若A∩B是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則α的值為 ．(青海供題) 解：集合A的圖形是依次連(α，0)，(0，α)，(－α，0)，(0，－α)四點(diǎn)的線段． 集合B的圖形是直線x=1，x=－1，y=1，y=－1．它們交得一個(gè)正八邊

13、形． 若此4條直線為圖中的4條實(shí)線，則α=tan°+1= ．或此正八邊形各邊與原點(diǎn)距離相等，知直線x+y=α與原點(diǎn)距離=1．α= ． 若此4條直線為圖中的4條虛線，則α=2+2，Tα=2+． ∴ α=2或2+ ． 3．若k是大于1的整數(shù)，α是x2－kx+1=0的一個(gè)根，對(duì)于大于10的任意自然數(shù)n，α+α的個(gè)位數(shù)字總是7，則k的個(gè)位數(shù)字是 ．(河北供題) 解：另一根=α－1，α+α－1=k，記α+α≡kn(mod 10)，0≤kn<10． 由α+α=(α+α)2－2得，kn≡kn－12+8(mod 10)．若k為偶數(shù)，則kn為偶數(shù)，不等于7． 若kn－1≡±1(m

14、od 10)，則kn≡9，Tkn+1≡9(mod 10)； 若kn－1≡±3(mod 10)，則kn≡7，Tkn+1≡7(mod 10)； 若kn－1≡5(mod 10)，則kn≡9，Tkn+1≡9(mod 10)； 故k的個(gè)位數(shù)字為3，5，7． 4．現(xiàn)有邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形兩個(gè)，邊長(zhǎng)為4，5，的三角形四個(gè)，邊長(zhǎng)為，4，5的三角形六個(gè)，用上述三角形為面，可以拼成 個(gè)四面體．(江西供題) 解：用四個(gè)三角形拼成四面體，每種邊長(zhǎng)至少要在兩個(gè)三角形中出現(xiàn)．因此以上三種三角形如果要用，就用偶數(shù)個(gè)．由于第①類邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形與第②類邊長(zhǎng)為4，5，的三角形都是直角三

15、角形，而第③類邊長(zhǎng)為，4，5的三角形為鈍角三角形．因此，用4個(gè)后兩種三角形都不能單獨(dú)拼成四面體(四個(gè)面全等的四面體是等腰四面體，其各面都是銳角三角形)． 情況⑴：4個(gè)三角形中有兩個(gè)②類三角形，如圖，取兩個(gè)②類三角形，BC=，則斜邊BC上的高AE=DF=h=．且BE=CF=x=，則EF=－2×=． 于是AD2=AE2+EF2+FD2－2AE·DFcosθ=(881－810cosθ) ∈(，41)． (*) 若再取兩個(gè)①類三角形時(shí)，由于AD=3，滿足(*)式，故可以構(gòu)成四面體． 若再取兩個(gè)③類三角形時(shí)，由于AD=，不滿足(*)式，故不可以構(gòu)成四面體．

16、情況⑵：兩個(gè)①類，兩個(gè)③類．此時(shí)取BC=5，AB=CD=3，于是斜邊BC上的高AE=DF=h=．且BE=CF=x=，則EF=5－2×=． 于是AD2=AE2+EF2+FD2－2AE·DFcosθ= (337－288cosθ)∈(，25)． 由于AD=，不滿足(*)式，故不可以構(gòu)成四面體． ∴ 只能構(gòu)成1個(gè)四面體． 5．五對(duì)孿生兄妹參加k個(gè)組活動(dòng)，若規(guī)定：⑴ 孿生兄妹不在同一組；⑵非孿生關(guān)系的任意兩個(gè)人都恰好共同參加過一個(gè)組的活動(dòng)，⑶有一人只參加兩個(gè)組的活動(dòng)，則k的最小值為 ．(命題組供題) 解：設(shè)此10人為A，a；B，b；C，c；D，d；E，e． A只參加2組，故

17、除a外其余8人應(yīng)分成2組，每組人數(shù)都不超過4人（否則有孿生兄妹同組)．記第一組為{B，C，D，E}，第二組為{b，c，d，e}．于是其余8人中大寫字母不再同組，小寫字母也不再同組．即除a外其余組中人數(shù)不超過2人．每人都再參加3組，故至少還要3×4=12組．a(chǎn)可參加其中4組．即至少要14組．又{a，B，c}，{B，d}，{B，e}，{a，C，b}，{C，d}，{C，e}，{D，b}，{D，c}，{a，D，e}，{E，b}，{E，c}，{a，E，d}滿足要求．故所求最小值為14． 1987年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題 一．如圖，△ABC和△ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，現(xiàn)固定△ABC

18、，而將△ADE繞A點(diǎn)在平面上旋轉(zhuǎn)，試證：不論△ADE旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段EC上必存在點(diǎn)M，使△BMD為等腰直角三角形． 證明：以A為原點(diǎn)，AC為x軸正方向建立復(fù)平面．設(shè)C表示復(fù)數(shù)c，點(diǎn)E表示復(fù)數(shù)e(c、e∈R)．則點(diǎn)B表示復(fù)數(shù)b=c+ci，點(diǎn)D表示復(fù)數(shù)d=e－ei． 把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)角θ得到△AD￠E￠， 則點(diǎn)E￠表示復(fù)數(shù)e￠=e(cosθ+isinθ)．點(diǎn)D￠表示復(fù)數(shù)d￠=d(cosθ+isinθ) 表示E￠C中點(diǎn)M的復(fù)數(shù)m=(c+e￠)． ∴ 表示向量的復(fù)數(shù)：z1=b－(c+e￠)=c+ci－c－e(cosθ+isinθ)=－ecosθ+(c－esinθ)i． 表示向量

19、的復(fù)數(shù)：z2=d￠－m=(e－ei)(cosθ+isinθ)－c－e(cosθ+isinθ) =(esinθ－c)－iecosθ． 顯然：z2=z1i．于是|MB|=|MD￠|，且∠BMD￠=90°．即△BMD￠為等腰直角三角形．故證． 二．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．試證：存在一個(gè)同心圓的集合，使得 ⑴每個(gè)整點(diǎn)都在此集合的某個(gè)圓周上； ⑵此集合的每個(gè)圓周上，有且只有一個(gè)整點(diǎn)．(辛澤爾定理) 證明 取一點(diǎn)，其兩個(gè)坐標(biāo)都是無理數(shù)，例如W(，)，先證明，以W為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作的圓，至多通過一個(gè)格點(diǎn)． 設(shè)某個(gè)以W為圓心的圓通過兩個(gè)格點(diǎn)(m，n)，(p

20、，q)(m，n，p，q∈Z)， 則(m－)2+(n－)2=(p－)2+(q－)2． 展開整理得，m2+n2－p2－q2=2(p－m)+2(q－n)． 左邊是有理數(shù)，右邊當(dāng)且僅當(dāng)p=m，q=n時(shí)為有理數(shù)．故證． 于是可知以W為圓心的圓至多通過一個(gè)格點(diǎn)． 現(xiàn)考慮，平面上所有的點(diǎn)與W的距離，這些距離沒有兩個(gè)相等．故可以把所有的距離按從小到大排隊(duì)0=r0

21、圓上，且每個(gè)圓上都有且只有一個(gè)整點(diǎn)． 三．n(n>3)名乒乓球選手單打若干場(chǎng)后，任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手恰好都不完全相同，試證明：總可以從中去掉一名選手，而使在余下的選手中，任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手仍然都不完全相同． 證明1：用A、B、……表示選手，而用α(A)、α(B)表示A、B已賽過的對(duì)手集合． 設(shè)A是對(duì)手集中元素最多的的選手． 若命題不成立，則存在兩個(gè)選手B、C使去掉A后，B、C的對(duì)手集相同，由于α(B)≠α(C)，故A必屬于α(B)與α(C)之一．不妨設(shè)B∈α(A)，C?α(A)． 同樣存在D、E，使D∈α(C)，E?α(C)，去掉C后，α(D)=α(E)，由于A?α(C)，

22、故D≠A：又D∈α(C)，故D∈α(B)，即B∈α(D)=α(E)∪{C}，從而B∈α(E)，C?α(E)，而去掉A后，B、C的對(duì)手集相同，從而E=A． 于是α(A)=α(E)=α(D)\{C}，即α(A)比α(D)少一個(gè)元素C，這與A是“對(duì)手集中元素最多的”矛盾．故證． 又證：把這些選手編為1至n號(hào)，以n個(gè)點(diǎn)表示這n個(gè)人，各點(diǎn)也相應(yīng)編為1至n號(hào)． 反設(shè)去掉任何一各選手后都有兩個(gè)選手的已賽過的對(duì)手完全相同．于是先去掉1號(hào)選手，則有兩個(gè)選手的已賽過的對(duì)手完全相同，設(shè)為第i號(hào)與第j號(hào)，在表示此二人的點(diǎn)間連一條線，并在線上注上“1號(hào)”．這說明，此二人在去掉1號(hào)選手之前必是一人與1號(hào)賽過，另

23、一人與1號(hào)沒有賽過．而且不可能在去掉1號(hào)后有三人都相同，否則，此三人與1號(hào)選手比賽的情況只有兩種：賽過或沒有賽過，如果去掉1號(hào)后，此三人的情況完全相同，則去掉1號(hào)之前必有2人賽過的對(duì)手完全相同．如果去掉1號(hào)后有不止一對(duì)選手的已賽過對(duì)手完全相同，則只任取其中的一對(duì)連線，其余的對(duì)則不連線． 連線后把1號(hào)選手放回來，再依次去掉2號(hào)、3號(hào)，……，直至n號(hào)，每去掉1個(gè)選手，都會(huì)在某兩點(diǎn)之間連出1條線．這樣，就在n個(gè)選手之間連了n條線．且這些線上分別注了1至n號(hào)，每條線注了1個(gè)號(hào)碼，每個(gè)號(hào)碼只注在1條線上． 在這10個(gè)點(diǎn)中，總能找到一點(diǎn)，從這點(diǎn)出發(fā)，沿線前進(jìn)，最后必能回到此點(diǎn)，否則，每到1點(diǎn)后，經(jīng)過的點(diǎn)數(shù)都比線數(shù)多1．而圖中的點(diǎn)數(shù)與線數(shù)相等，矛盾．現(xiàn)不妨設(shè)從點(diǎn)i出發(fā)，經(jīng)過點(diǎn)j、k、……最后回到點(diǎn)i．注意到點(diǎn)i與點(diǎn)j所代表的兩各選手中1個(gè)是與1號(hào)比賽的，另一個(gè)是沒有與1號(hào)比賽的，不妨設(shè)i號(hào)沒有與1號(hào)比賽過，j號(hào)與1號(hào)比賽過．而j與k所連線上注的號(hào)碼不是1，故j與k與1號(hào)比賽的情況相同，即k號(hào)與1號(hào)比賽過，……，這樣沿線走一圈后回到i，就應(yīng)該得出i號(hào)與1號(hào)比賽過，矛盾．故證．