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1、 課時規(guī)范練21　平面向量的概念及其線性運算 一、選擇題 1.如圖,e1,e2為互相垂直的單位向量,則向量a-b可表示為(　　) A.3e2-e1 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 答案:C 解析:如圖所示,a-b==e1-3e2. 2.如圖,D,E,F分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點,則(　　) A.=0 B.=0 C.=0 D.=0 答案:A 解析:∵,∴, ∴=0. 3.在四邊形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,則四邊形ABCD的形狀是(　　) A.矩形 B.平行四邊形

2、 C.梯形 D.以上都不對 答案:C 解析:∵=-8a-2b=2(-4a-b)=2. ∴,又不平行,∴四邊形ABCD是梯形. 4.非零向量不共線,且2=x+y,若=λ(λ∈R),則點Q(x,y)的軌跡方程是(　　) A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0 答案:A 解析:由=λ,得=λ(), 即=(1+λ)-λ. 又∵2=x+y,∴消去λ得x+y=2. 5.在△ABC所在平面上有一點P,滿足,則△PAB與△ABC的面積之比是(　　) A. B. C. D. 答案:A 解析:∵, ∴=2,∴A,P,C三點共線,且P為

3、AC的三等分點,∴. [來源:] 6.設D,E,F分別是△ABC的三邊BC,CA,AB上的點,且=2=2=2,則向量(　　) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 答案:A 解析:由題意,得. 又=2,所以=2(). 所以. 同理,得. 將以上三式相加,得=-. 二、填空題 7.若||=8,||=5,則||的取值范圍為　　　　　.? 答案:[3,13] 解析:∵||=||, ∴|||-|||≤||≤||+||.∴3≤||≤13. 8.已知=a,=b,=λ,則=　　　　　.? 答案:a+b 解析:)=a+(b-a)=a+b. 9.在

4、平行四邊形ABCD中,=a,=b,=3,M為BC的中點,則=　　　　　.(用a,b表示)? 答案:(b-a) 解析:如圖所示,連接BD,設BD與AC交于點O. 由=3可知N為OC的中點. 又∵M是BC的中點,∴, ∴)=(b-a). 10.若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點,且滿足||=|-2|,則△ABC的形狀為　　　　　.? 答案:直角三角形 解析:-2,∴||=||, 故A,B,C為矩形的三個頂點,△ABC為直角三角形. 11. 如圖,在△ABC中,點O是BC的中點.過點O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N,若=m=n,則m+n的值為　　　　　.?

5、 答案:2 解析:∵O是BC的中點,∴). 又∵=m=n, ∴.∵M,O,N三點共線, ∴=1.則m+n=2. 三、解答題 12.如圖,在正方形ABCD中,點E是DC的中點,點F是BC的一個三等分點,求(用向量表示). 解:在△CEF中,有,因為點E為DC的中點,所以. 因為點F為BC的一個三等分點,所以. 所以.[來源:] 13.已知△ABC中,=a,=b,對于平面ABC上任意一點O,動點P滿足+λa+λb,則動點P的軌跡是什么?其軌跡是否過定點,并說明理由.[來源:] 解:依題意,由+λa+λb,得=λ(a+b), 即=λ(). 如圖,以AB,AC為鄰邊

6、作平行四邊形ABDC,對角線交于O, 則=λ, ∴A,P,D三點共線, 即P點的軌跡是AD所在的直線,由圖可知P點軌跡必過△ABC邊BC的中點. 14.已知點O為△ABC外接圓的圓心,且=0,求△ABC的內(nèi)角A. 解:由=0得,由O為△ABC外接圓的圓心,結合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形,且∠CAO=60°.故∠BAC=∠CAO=30°.[來源:] 15.在△ABC中,E,F分別為AC,AB的中點,BE與CF相交于G點,設=a,=b,試用a,b表示. 解: =+λ) =) =(1-λ)=(1-λ)a+b. 又+m) =(1-m)a+(1-m)b, ∴解

7、得λ=m=, ∴a+b. 四、選做題 1.如圖,在△ABC中,點D是BC邊上靠近B的三等分點,則=(　　) A. B. C. D. 答案:C 解析:由平面向量的三角形法則,可得.又因為點D是BC邊上靠近B的三等分點,所以,)=. 2.已知兩個不共線的向量的夾角為θ,且||=3.若點M在直線OB上,且||的最小值為,則θ的值為　　　　　.? 答案: 解析: 如圖,作向量,則,其中點N在直線AC上變化,顯然當ON⊥AC時,即點N到達H時,||有最小值,且∠OAH=θ, 從而sin θ=,故θ=或θ=(根據(jù)對稱性可知鈍角也可以).[來源:] 3. 如圖,已知點G是△ABC的重心,過G作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點,且=x=y,求證:=3. 證明:因為點G是△ABC的重心,知=0, 得-+()+()=0,有). 又M,N,G三點共線(A不在直線MN上), 于是存在λ,μ,使得=λ+μ(且λ+μ=1), 有=λx+μy), 得于是得=3.