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1、
課時分層訓練(四十二) 平行關系
A組 基礎達標
一、選擇題
1.(20xx·合肥模擬)在空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB和BC上的點,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,則對角線AC和平面DEF的位置關系是( )
A.平行 B.相交
C.在平面內(nèi) D.不能確定
A [如圖,由=得AC∥EF.又因為EF平面DEF,AC平面DEF,所以AC∥平面DEF.]
2.(20xx·湖南長沙二模)已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,則下列命題中正確的是( )
A.m∥α,n∥α,則m∥n B.m∥n,m∥α,則n∥α
C.m⊥α
2、,m⊥β,則α∥β D.α⊥γ,β⊥γ,則α∥β
C [對于A,平行于同一平面的兩條直線可能相交,可能平行,也可能異面,故A不正確;
對于B,m∥n,m∥α,則n∥α或nα,故B不正確;
對于C,利用垂直于同一直線的兩個平面平行,可知C正確;
對于D,因為垂直于同一平面的兩個平面的位置關系是相交或平行,故D不正確.故選C.]
3.(20xx·豫西五校4月聯(lián)考)已知m,n,l1,l2表示不同直線,α、β表示不同平面,若mα,nα,l1β,l2β,l1∩l2=M,則α∥β的一個充分條件是( )
A.m∥β且l1∥α B.m∥β且n∥β
C.m∥β且n∥l2 D.m∥l1且n∥l2
3、
D [對于選項A,當m∥β且l1∥α時,α,β可能平行也可能相交,故A不是α∥β的充分條件;對于選項B,當m∥β且n∥β時,若m∥n,則α,β可能平行也可能相交,故B不是α∥β的充分條件;對于選項C,當m∥β且n∥l2時,α,β可能平行也可能相交,故C不是α∥β的充分條件;對于選項D,當m∥l1,n∥l2時,由線面平行的判定定理可得l1∥α,l2∥α,又l1∩l2=M,由面面平行的判定定理可以得到α∥β,但α∥β時,m∥l1且n∥l2不一定成立,故D是α∥β的一個充分條件.故選D.]
4.(20xx·山東濟南模擬)如圖7-3-5所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,過A1B1的平面與平面AB
4、C交于DE,則DE與AB的位置關系是( )
【導學號:79140231】
圖7-3-5
A.異面
B.平行
C.相交
D.以上均有可能
B [在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1.
∵AB平面ABC,A1B1平面ABC,
∴A1B1∥平面ABC.
∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE,
∴DE∥A1B1,∴DE∥AB.]
5.(20xx·合肥二檢)若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形,則該三棱錐與平面α平行的棱有( )
A.0條 B.1條
C.2條 D.0條或2條
C [
如圖設平面α截三棱錐所得的四邊形EFGH是平行四邊形,則EF∥G
5、H,EF平面BCD,GH平面BCD,所以EF∥平面BCD,又EF平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD,則EF∥CD,EF平面EFGH,CD平面EFGH,則CD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH,所以該三棱錐與平面α平行的棱有2條,故選C.]
二、填空題
6.如圖7-3-6,α∥β,△PAB所在的平面與α,β分別交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,則AB=________.
圖7-3-6
[∵α∥β,∴CD∥AB,
則=,∴AB===.]
7.如圖7-3-7所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點E為AD的中點,點F在CD上.若EF∥平面AB1
6、C,則線段EF的長度等于________.
圖7-3-7
[在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,
∴AC=2.
又E為AD中點,EF∥平面AB1C,EF平面ADC,
平面ADC∩平面AB1C=AC,
∴EF∥AC,∴F為DC中點,
∴EF=AC=.]
8.如圖7-3-8,在四面體ABCD中,M,N分別是△ACD,△BCD的重心,則四面體的四個面中與MN平行的是________.
圖7-3-8
平面ABC,平面ABD [連接AM并延長交CD于E,則E為CD的中點.
由于N為△BCD的重心,
所以B,N,E三點共線,
且==,所以MN∥AB.
7、于是MN∥平面ABD且MN∥平面ABC.]
三、解答題
9.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖7-3-9所示.
(1)請將字母F,G,H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由);
(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系,并證明你的結(jié)論.
【導學號:79140232】
圖7-3-9
[解] (1)點F,G,H的位置如圖所示.
(2)平面BEG∥平面ACH,證明如下:
因為ABCD-EFGH為正方體,
所以BC∥FG,BC=FG.
又FG∥EH,F(xiàn)G=EH,所以BC∥EH,BC=EH,
于是四邊形BCHE為平行四邊形,所以BE∥CH.
又C
8、H平面ACH,BE平面ACH,
所以BE∥平面ACH.
同理BG∥平面ACH.
又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.
10.(20xx·石家莊質(zhì)檢(一))如圖7-3-10,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為梯形,AD∥BC,CD⊥BC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M為AD的中點,N為PC上一點,且PC=3PN.
圖7-3-10
(1)求證:MN∥平面PAB;
(2)求點M到平面PAN的距離.
[解] (1)在平面PBC內(nèi)作NH∥BC交PB于點H,連接AH(圖略),在△PBC中,NH∥BC,且NH=BC=1,AM=AD=1.又AD∥BC
9、,∴NH∥AM且NH=AM,
∴四邊形AMNH為平行四邊形,
∴MN∥AH,
又AH平面PAB,MN平面PAB,
∴MN∥平面PAB.
(2)連接AC,MC,PM(圖略),平面PAN即為平面PAC,設點M到平面PAC的距離為h.
由題意可得CD=2,AC=2,∴S△PAC=PA·AC=4,
S△AMC=AM·CD=,
由VM-PAC=VP-AMC,
得S△PAC·h=S△AMC·PA,
即4h=×4,∴h=,
∴點M到平面PAN的距離為.]
B組 能力提升
11.如圖7-3-11,在四面體ABCD中,截面PQMN是正方形,則在下列結(jié)論中,錯誤的是( )
圖7-
10、3-11
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC=BD
D.異面直線PM與BD所成的角為45°
C [因為截面PQMN是正方形,
所以MN∥PQ,則MN∥平面ABC,
由線面平行的性質(zhì)知MN∥AC,則AC∥截面PQMN,
同理可得MQ∥BD,又MN⊥QM,
則AC⊥BD,故A,B正確.
又因為BD∥MQ,所以異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角,即為45°,故D正確.]
12.如圖7-3-12所示,棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形,設D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD,則A1D∶DC1的值為________.
【導學號:79
11、140233】
圖7-3-12
1 [設BC1∩B1C=O,連接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD=OD,
∴A1B∥OD.
∵四邊形BCC1B1是菱形,
∴O為BC1的中點,
∴D為A1C1的中點,
則A1D∶DC1=1.]
13.如圖7-3-13,四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E為PB的中點.
圖7-3-13
(1)求證:CE∥平面PAD;
(2)在線段AB上是否存在一點F,使得平面PAD∥平面CEF?若存在,證明你的結(jié)論,若不存在,請說明理由.
[解] (1)證明:取PA的中點H,連接EH,DH,因為E為P
12、B的中點,所以EH∥AB,EH=AB,
又AB∥CD,CD=
AB,所以EH∥CD,EH=CD,
因此四邊形DCEH是平行四邊形,
所以CE∥DH,
又DH平面PAD,CE平面PAD,
因此CE∥平面PAD.
(2)存在點F為AB的中點,使平面PAD∥平面CEF,
證明如下:
取AB的中點F,連接CF,EF,
所以AF=AB,
又CD=AB,所以AF=CD,
又AF∥CD,所以四邊形AECD為平行四邊形,因此CF∥AD,
又CF平面PAD,所以CF∥平面PAD,
由(1)可知CE∥平面PAD,
又CE∩CF=C,故平面CEF∥平面PAD,故存在AB的中點F滿足要求.