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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案8　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)，了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)(a>0，a≠1)，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 自主梳理 1．對(duì)數(shù)的定義 如果______________，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作__________，其中____叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，____叫做真數(shù)． 2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則 (1)

2、對(duì)數(shù)的性質(zhì)(a>0且a≠1) ①alogaN＝____；　　　　　　　?、趌oga1＝____； ③logaaN＝____； ④logaa＝____. (2)對(duì)數(shù)的重要公式 ①換底公式：logaN＝________________(a，c均大于零且不等于1)； ②logab＝，推廣logab·logbc·logcd＝________. (3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝__________________； ②loga＝____________； ③logaMn＝__________(n∈R)；

3、 ④logamMn＝logaM. 3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>1 01時(shí)，______； 當(dāng)01時(shí)，______； 當(dāng)0

4、　　 1．(2010·四川改編)2log510＋log50.25的值為________． 2．(2010·遼寧改編)設(shè)2a＝5b＝m，且＋＝2，則m的值為________． 3．(2009·遼寧改編)已知函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x≥4時(shí)，f(x)＝x；當(dāng)x<4時(shí)，f(x)＝f(x＋1)．則f(2＋log23)的值為________． 4．(2010·宿遷模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上遞增，f()＝0，則滿足f(logx)>0的x的取值范圍是__________________． 5．(2009·臺(tái)州期末)已知0

5、大小關(guān)系為__________． 探究點(diǎn)一　對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值 例1　計(jì)算：(1)log(2＋)(2－)； (2)lg－lg＋lg； (3)已知2lg＝lg x＋lg y，求log(3－2). 變式遷移1　計(jì)算： (1)log2＋log212－log242－1； (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25. 探究點(diǎn)二　含對(duì)數(shù)式的大小比較 例2　比較下列各組數(shù)的大?。? (1)log3與log5； (2)log1.10.7與log1.20.7； (3)已知，比較2b,2a,2c的大小關(guān)系． 變式遷移2　(1)

6、(2009·全國(guó)Ⅱ改編)設(shè)a＝log3π，b＝log2，c＝log3，則a、b、c的大小關(guān)系為________ (2)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且2a＝loga，()b＝logb，()c＝log2c，則a，b，c的大小關(guān)系為________． 探究點(diǎn)三　對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 例3　已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果對(duì)于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，試求a的取值范圍． 變式遷移3　(1)(2010·全國(guó)Ⅰ改編)已知函數(shù)f(x)＝|lg x|，若0

7、(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(－2)________f(a＋1)．(填寫“<”“＝”“>”) 轉(zhuǎn)化化歸與分類討論思想 例　(16分)已知函數(shù)f(x)＝loga(1－ax)及g(x)＝loga(ax－1)(a>0，a≠1)． (1)解關(guān)于x的不等式：loga(1－ax)>f(1)； (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是f(x)圖象上的兩點(diǎn)，求證：直線AB的斜率小于0. 【答題模板】 (1)解　∵f(x)＝loga(1－ax)， ∴f(1)＝loga(1－a)．∴1－a>0.∴0log

8、a(1－a)．[4分] ∴，即∴00，∴ax<1. ∴a>1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)； 0x1>0，∴ax21.∴l(xiāng)oga<0. ∴f(x2)1時(shí)，也有y2

9、分] 【突破思維障礙】 解決含參數(shù)的對(duì)數(shù)問題，不可忽視對(duì)底數(shù)a的分類討論，即a>1或00且a≠1. ①若a>1，則logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0. ②若0logag(x)?0

10、數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個(gè)方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別． (2)明確函數(shù)圖象的位置和形狀要通過研究函數(shù)的性質(zhì)，要記憶函數(shù)的性質(zhì)可借助于函數(shù)的圖象．因此要掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先要熟記指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2010·北京市豐臺(tái)區(qū)高三一調(diào))設(shè)M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，則集合M∪N＝________. 2．(2010·全國(guó)Ⅰ改編)設(shè)a＝log32，b＝ln 2，c＝，則a，b，c大小關(guān)系為________．

11、 3．2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22＝________. 4．函數(shù)f(x)＝ln(a≠2)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于________． 5．(2010·青島二模)已知函數(shù)f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為________． 6．(2010·天津改編)若函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______________． 7．(2011·宿遷模擬)已知f(3x)＝4xlog23＋233，則f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________. 8．下列命題： ①若

12、函數(shù)y＝lg(x＋)為奇函數(shù)，則a＝1； ②若a>0，則方程|lg x|－a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根； ③方程lg x＝sin x有且只有三個(gè)實(shí)數(shù)根； ④對(duì)于函數(shù)f(x)＝lg x，若00且a≠1. (1)求f(x)的

13、定義域； (2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明； (3)若a>1時(shí)，求使f(x)>0的x的解集． 11．(14分)已知函數(shù)f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)． (1)求y＝f(x)的定義域； (2)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使得過這兩點(diǎn)的直線平行于x軸； (3)當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值． 答案 自主梳理 1．a(chǎn)b＝N(a>0，且a≠1)　b＝logaN　a　N　2.(1)①N　②0?、跱?、?　(2)①?、趌ogad　(3)①logaM＋logaN　②logaM－logaN　③nl

14、ogaM　3.(1)(0，＋∞)　(2)R　(3)(1,0)　1　0　(4)y>0　y<0　(5)y<0　y>0 (6)增　(7)減　4.y＝logax　y＝x 自我檢測(cè) 1．2　2.　3.　4.(0，)∪(2，＋∞)　5.m>n 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后再運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并，在運(yùn)算中要注意化同底和指數(shù)與對(duì)數(shù)互化． 解　(1)方法一　利用對(duì)數(shù)定義求值： 設(shè)log(2＋)(2－)＝x， 則(2＋)x＝2－＝＝(2＋)－1， ∴x＝－1. 方法二　利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解： l

15、og(2＋)(2－)＝log(2＋) ＝log(2＋)(2＋)－1＝－1. (2)原式＝(lg 32－lg 49)－＋lg 245＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5) ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5 ＝lg (2×5)＝lg 10＝. (3)由已知得lg()2＝lg xy， ∴()2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0. ∴()2－6()＋1＝0. ∴＝3±2. ∵∴>1，∴＝3＋2， ∴l(xiāng)og(3－2)＝log(3－2)(3＋2) ＝log＝－1. 變式遷移1　解　(1)原式＝log2＋log21

16、2－log2－log22 ＝log2＝log2＝＝－. (2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25 ＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2. 例2　解題導(dǎo)引　比較對(duì)數(shù)式的大小或證明等式問題是對(duì)數(shù)中常見題型，解決此類問題的方法很多，①當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；②若底數(shù)不同，真數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為同底(利用換底公式)或利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得；③若不同底，不同真數(shù)，則可利用中間量進(jìn)行比較． 解　(1)∵log3log51＝0，∴l(xiāng)og3lo

17、g0.71.1>log0.71.2. ∴<， 由換底公式可得log1.10.7a>c. 而y＝2x是增函數(shù)，∴2b>2a>2c. 變式遷移2　(1)a>b>c 解析　a＝log3π>1，b＝log23，則b>c. (2)a1，＝()b∈(0,1)， log2c＝()c∈(0,1)． ∴0<

18、a<，1時(shí)，得a－1≤≤a，即a≥3； 當(dāng)0

19、，]∪[3，＋∞)． 變式遷移3　(1)(3，＋∞)　(2)< 解析　(1)畫出函數(shù)f(x)＝|lg x|的圖象如圖所示． ∵01， ∴l(xiāng)g a<0，lg b>0. 又∵f(a)＝f(b)， ∴－lg a＝lg b ，ab＝1. ∴a＋2b＝a＋， 易證μ＝a＋在(0,1)上單調(diào)遞減，∴μ>3. 即a＋2b>3. (2)∵f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴a>1.∴a＋1>2. ∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)

20、x∈(0,1]，∴M＝(0,1]． 當(dāng)01，＝log2e>1，log23>log2e. ∴>>1，∴0log3＝，∴a>. b＝ln 2>ln ＝，∴b>. c＝5－＝<，∴c0時(shí)，函數(shù)ax，logax的單調(diào)性相同，因此函數(shù)f(

21、x)＝ax＋logax是(0，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)，f(x)在[1,2]上的最大值與最小值之和為f(1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由題意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)． 6．(－1,0)∪(1，＋∞) 解析　①當(dāng)a>0時(shí)，f(a)＝log2a，f(－a)＝， f(a)>f(－a)，即log2a>＝log2， ∴a>，解得a>1. ②當(dāng)a<0時(shí)，f(a)＝，f(－a)＝log2(－a)， f(a)>f(－a)，即>log2(－a)＝， ∴－a<，解得－11. 7．2 008 解析

22、　令3x＝t，f(t)＝4log2t＋233， ∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008. 8．①②③ 解析　①∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＋f(x)＝0. ∴l(xiāng)g(－x＋)＋lg(x＋)＝lg[(x2＋a)－x2]＝lg a＝0，∴a＝1. ②|lg x|－a＝0，∴|lg x|＝a. 作出y＝|lg x|，y＝a的圖象可知，當(dāng)a>0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)． ∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根． ③作出y＝lg x，y＝sin x的圖象， 可知在y軸右側(cè)有三個(gè)交點(diǎn)． 故方程有三個(gè)實(shí)根． ④對(duì)于f(x)＝lg x

23、，如圖，當(dāng)0yB，即f()>. 9．解　∵f(x)＝2＋log3x， ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2 ＝logx＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.……………………………………………………(5分) ∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,9]， ∴要使函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)有意義，必須∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1， ……………………………………………………………………………………………(10分) ∴6≤(log3x＋3)2－3≤13. 當(dāng)log3x＝1，即x＝3時(shí)，ymax＝13. ∴當(dāng)x＝

24、3時(shí)，函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)取最大值13.……………………………………(14分) 10．解　(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，則解得－11時(shí)，f(x)在定義域{x|－1

25、1}內(nèi)是增函數(shù)，所以f(x)>0?>1. 解得00的x的解集是{x|00，得()x>1，且a>1>b>0，得>1，所以x>0，即f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．……………………………………………………………………………………(4分) (2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，則ax1>ax2>0，bx1ax2－bx2>0， 即lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)． 故f(x1)>f(x2)． 所以f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)．………………………………………………………(8分) 假設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直線平行于x軸，則x1≠x2，y1＝y(tǒng)2，這與f(x)是增函數(shù)矛盾． 故函數(shù)y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點(diǎn)使過兩點(diǎn)的直線平行于x軸．…………(10分) (3)因?yàn)閒(x)是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)>f(1)．這樣只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即當(dāng)a≥b＋1時(shí)，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………………(14分)