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1、 1

2、 1 課時(shí)提升作業(yè)(二十六) 一、選擇題 1.(20xx·寶雞模擬)已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于　(　　) (A)-12a+32b　　　　　 　(B)12a-32b (C)-32a-12b (D)-32a+12b 2.(20xx·蚌埠模擬)已知向量a=(1-sinθ,1),b=(12,1+sinθ)

3、,若a∥b,則銳角θ等于　(　　) (A)30°　　　(B)45°　　　(C)60°　　　(D)75° 3.(20xx·撫州模擬)原點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心,OA→=(-1,-3), OB→=(1,-3),則OC→等于(　　) (A)(2,0) (B)(-2,0) (C)(0,-23) (D)(0,3) 4.若α,β是一組基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),則稱(chēng)(x,y)為向量γ在基底α,β下的坐標(biāo),現(xiàn)已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐標(biāo)為(-2,2),則a在另一組基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐標(biāo)為　(　　) (A)(

4、2,0) (B)(0,-2) (C)(-2,0) (D)(0,2) 5.如圖所示,已知AB→=2BC→,OA→=a,OB→=b,OC→=c,則下列等式中成立的是　(　　) (A)c=32b-12a (B)c=2b-a (C)c=2a-b (D)c=32a-12b 6.(20xx·西安模擬)已知向量OA→=(1,-3),OB→=(2,-1),OC→=(m+1,m-2),若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿(mǎn)足的條件是(　　) (A)m≠-2 (B)m≠12 (C)m≠1 (D)m≠-1 7.已

5、知非零向量e1,e2,a,b滿(mǎn)足a=2e1-e2,b=ke1+e2.給出以下結(jié)論: ①若e1與e2不共線,a與b共線,則k=-2; ②若e1與e2不共線,a與b共線,則k=2; ③存在實(shí)數(shù)k,使得a與b不共線,e1與e2共線; ④不存在實(shí)數(shù)k,使得a與b不共線,e1與e2共線. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是　(　　) (A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè) 8.(能力挑戰(zhàn)題)平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C滿(mǎn)足OC→=αOA→+βOB→

6、,其中α,β∈R且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為　(　　) (A)(x-1)2+(y-2)2=5 (B)3x+2y-11=0 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0 9.(20xx·黃石模擬)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=1,AB=3,動(dòng)點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)(含邊界),設(shè)AP→=αAD→+βAB→,則α+β的最大值是　(　　) (A)34　　　 (B)43　　 　(C)32　　 　(D)23 10.已知a=(sinα-cosα,20xx),b=(sinα+cosα,1),且a∥b,則tan2α-1cos2α的值為(　　) (A

7、)-20xx (B)-12 014 (C)20xx (D)12 014 二、填空題 11.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起點(diǎn)為A(1,2),終點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　　　　. 12.如圖,在□ABCD中,AB→=a,AD→=b,AN→=3NC→,M是BC的中點(diǎn),則MN→=　　　　(用a,b表示). 13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量a=(1,2),a-12b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,則x=　　　　. 14.(20xx·合肥模擬)給出以下四個(gè)命題: ①四邊形ABCD是菱形的充要條件是AB→=DC→,且|AB→|=|AD→

8、|; ②點(diǎn)G是△ABC的重心,則GA→+GB→+CG→=0; ③若AB→=3e1,CD→=-5e1,且|AD→|=|BC→|,則四邊形ABCD是等腰梯形; ④若|AB→|=8,|AC→|=5,則3≤|BC→|≤13. 其中所有正確命題的序號(hào)為　　　　. 三、解答題 15.平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列問(wèn)題: (1)求3a+b-2c. (2)求滿(mǎn)足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n. (3)若(a+kc)∥(2b-a),求實(shí)數(shù)k. 答案解析 1.【解析】選B.設(shè)c=λa+μb, ∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-

9、1), ∴-1=λ+μ,2=λ-μ,∴λ=12,μ=-32, ∴c=12a-32b. 2.【解析】選B.∵a∥b,∴(1-sinθ)(1+sinθ)-1×12=0, ∴sinθ=±22, 又θ為銳角,∴θ=45°. 3.【解析】選A.∵在正六邊形ABCDEF中,OABC為平行四邊形,∴OB→=OA→+OC→, ∴OC→=OB→-OA→=(2,0). 4.【解析】選D.由已知a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4), 設(shè)a=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ), 則由-λ+μ=2,λ+2μ=4,解得λ=0,μ=2. ∴a=0m+2n

10、, ∴a在基底m,n下的坐標(biāo)為(0,2). 5.【解析】選A.由AB→=2BC→得AO→+OB→=2(BO→+OC→),所以2OC→=-OA→+3OB→,即c=32b-12a. 6.【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用反證法,從三點(diǎn)可以共線考慮,然后取所得范圍的補(bǔ)集. 【解析】選C.若點(diǎn)A,B,C不能構(gòu)成三角形,則只能共線. ∵AB→=OB→-OA→=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), AC→=OC→-OA→=(m+1,m-2)-(1,-3) =(m,m+1). 假設(shè)A,B,C三點(diǎn)共線, 則1×(m+1)-2m=0,即m=1. ∴若A,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,則m≠1. 7.【解析】選

11、B.(1)若a與b共線,即a=λb,即2e1-e2=λke1+λe2,而e1與e2不共線, ∴λk=2,λ=-1,解得k=-2.故①正確,②不正確. (2)若e1與e2共線,則e2=λe1,有 ∵e1,e2,a,b為非零向量,∴λ≠2且λ≠-k, ∴12-λa=1k+λb,即a=2-λk+λb,這時(shí)a與b共線, ∴不存在實(shí)數(shù)k滿(mǎn)足題意.故③不正確,④正確. 綜上,正確的結(jié)論為①④. 8.【思路點(diǎn)撥】求軌跡方程的問(wèn)題時(shí)可求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),故設(shè)C(x,y),根據(jù)向量的運(yùn)算法則及向量相等的關(guān)系,列出關(guān)于α,β,x,y的關(guān)系式,消去α,β即可得解. 【解析】選D.設(shè)C(x,

12、y),則OC→=(x,y),OA→=(3,1),OB→=(-1,3).由OC→=αOA→+βOB→,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β). 于是x=3α-β,　①y=α+3β,②α+β=1.③ 由③得β=1-α代入①②,消去β得x=4α-1,y=3-2α, 再消去α得x+2y=5, 即x+2y-5=0. 【一題多解】由平面向量共線定理,得當(dāng)OC→=αOA→+βOB→,α+β=1時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線. 因此,點(diǎn)C的軌跡為直線AB, 由兩點(diǎn)式求直線方程得y-13-1=x-3-1-3, 即x+2y-5=0. 9.【思路點(diǎn)撥】建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P

13、(x,y),求出α+β與x,y的關(guān)系,運(yùn)用線性規(guī)劃求解. 【解析】選B.以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則D(0,1),B(3,0),C(1,1),設(shè)P(x,y). ∴AP→=(x,y),AD→=(0,1),AB→=(3,0). ∵AP→=αAD→+βAB→, 即(x,y)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α), ∴x=3β,y=α,∴α=y,β=x3, ∴α+β=x3+y. 由線性規(guī)劃知識(shí)知在點(diǎn)C(1,1)處x3+y取得最大值43. 10.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量的共線求出tanα,再利用三角變換公式求值. 【解析】選C.由a∥b得sinα-cosαsi

14、nα+cosα=20xx,即tanα-1tanα+1=20xx,解得tanα=-2 0152 013. tan2α-1cos2α=2tanα1-tan2α-cos2α+sin2αcos2α-sin2α=2tanα1-tan2α-1+tan2α1-tan2α=-(1-tanα)21-tan2α=-1-tanα1+tanα. 將tanα=-2 0152 013代入上式得, tan2α-1cos2α=20xx. 【方法技巧】解決向量與三角函數(shù)綜合題的技巧方法 向量與三角函數(shù)的結(jié)合是近幾年高考中出現(xiàn)較多的題目,解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是根據(jù)條件將所給的向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題,然后借助三角恒等變換再

15、根據(jù)三角求值、三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形的問(wèn)題來(lái)解決. 11.【解析】由b∥a,可設(shè)b=λa=(-2λ,3λ). 設(shè)B(x,y),則AB→=(x-1,y-2)=b. 由-2λ=x-1,3λ=y-2,?x=1-2λ,y=3λ+2. 又B點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,則1-2λ=0或3λ+2=0, 所以B(0,72)或(73,0). 答案:(0,72)或(73,0) 12.【解析】由題意知MN→=MC→+CN→ =12BC→+14CA→=12BC→-14AC→ =12AD→-14(AB→+AD→) =12AD→-14AB→-14AD→=-14AB→+14AD→ =-14a+14b. 答案:-

16、14a+14b 13.【解析】由a=(1,2),a-12b=(3,1)得b=(-4,2),故2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6). 由(2a+b)∥c得6x=-6,解得x=-1. 答案:-1 14.【解析】對(duì)于①,當(dāng)AB→=DC→時(shí),則四邊形ABCD為平行四邊形,又|AB→|=|AD→|,故該平行四邊形為菱形,反之,當(dāng)四邊形ABCD為菱形時(shí),則AB→=DC→,且|AB→|=|AD→|,故①正確;對(duì)于②,若G為△ABC的重心,則GA→+GB→+GC→=0,故不正確;對(duì)于③,由條件知CD→=-53AB→,所以CD→∥AB→且|CD→|>|AB→|, 又|AD→|=|BC→

17、|,故四邊形ABCD為等腰梯形,正確;對(duì)于④,當(dāng)AB→,AC→共線同向時(shí),|BC→|=3,當(dāng)AB→,AC→共線反向時(shí),|BC→|=8+5=13,當(dāng)AB→,AC→不共線時(shí)3<|BC→|<13,故正確.綜上正確命題為①③④. 答案:①③④ 15.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6). (2)∵a=mb+nc, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). ∴-m+4n=3,2m+n=2,解得m=59,n=89. (3)∵(a+kc)∥(2b-a), 又a+kc=(3+4k,2

18、+k),2b-a=(-5,2). ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, ∴k=-1613. 【變式備選】已知四點(diǎn)A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x). (1)求實(shí)數(shù)x,使兩向量AB→,CD→共線. (2)當(dāng)兩向量AB→與CD→共線時(shí),A,B,C,D四點(diǎn)是否在同一條直線上? 【解析】(1)AB→=(x,1),CD→=(4,x). ∵AB→∥CD→, ∴x2-4=0,即x=±2. ∴當(dāng)x=±2時(shí),AB→∥CD→. (2)當(dāng)x=-2時(shí),BC→=(6,-3),AB→=(-2,1), ∴AB→∥BC→.此時(shí)A,B,C三點(diǎn)共線, 從而,當(dāng)x=-2時(shí),A,B,C,D四點(diǎn)在同一條直線上. 但x=2時(shí),A,B,C,D四點(diǎn)不共線.