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1、新編高考數(shù)學復習資料 回扣9　計數(shù)原理 1．分類加法計數(shù)原理 完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，…，在第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法(也稱加法原理)． 2．分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法(也稱乘法原理)． 3．排列 (1)排列的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．

2、 (2)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示． (3)排列數(shù)公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． (4)全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為A＝，這里規(guī)定0?。?. 4．組合 (1)組合的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合． (2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元

3、素中取出m個元素的組合數(shù)，用C表示． (3)組合數(shù)的計算公式：C＝＝＝，由于0?。?，所以C＝1. (4)組合數(shù)的性質(zhì)：①C＝C；②C＝C＋C. 5．二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． 這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數(shù)C(k＝0,1,2，…，n)叫做二項式系數(shù)．式中的Can－kbk叫做二項展開式的通項，用Tk＋1表示，即展開式的第k＋1項：Tk＋1＝Can－kbk. 6．二項展開式形式上的特點 (1)項數(shù)為n＋1. (2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為

4、n. (3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n. (4)二項式的系數(shù)從C，C，一直到C，C. 7．二項式系數(shù)的性質(zhì) (1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C＝C. (2)增減性與最大值：二項式系數(shù)C，當k<時，二項式系數(shù)是遞增的；當k＞時，二項式系數(shù)是遞減的． 當n是偶數(shù)時，那么其展開式中間一項的二項式系數(shù)最大． 當n是奇數(shù)時，那么其展開式中間兩項和的二項式系數(shù)相等且最大． (3)各二項式系數(shù)的和 (a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.

5、 二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 1．關于兩個計數(shù)原理應用的注意事項 (1)分類加法和分步乘法計數(shù)原理，都是關于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事． (2)混合問題一般是先分類再分步． (3)分類時標準要明確，做到不重復不遺漏． (4)要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律． 2．對于有附加

6、條件的排列、組合應用題，通常從三個途徑考慮： (1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素． (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置． (3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)． 3．排列、組合問題的求解方法與技巧 (1)特殊元素優(yōu)先安排．(2)合理分類與準確分步．(3)排列、組合混合問題先選后排．(4)相鄰問題捆綁處理．(5)不相鄰問題插空處理．(6)定序問題排除法處理．(7)分排問題直排處理．(8)“小集團”排列問題先整體后局部．(9)構(gòu)造模型．(10)正難則反，等價條件． 4．對于二項式定理應用時要注意

7、 (1)區(qū)別“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”，審題時要仔細． 項的系數(shù)與a，b有關，可正可負，二項式系數(shù)只與n有關，恒為正． (2)運用通項求展開的一些特殊項，通常都是由題意列方程求出k，再求所需的某項；有時需先求n，計算時要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關系． (3)賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，±1. (4)在化簡求值時，注意二項式定理的逆用，要用整體思想看待a，b. 1．從8名女生和4名男生中，抽取3名學生參加某檔電視節(jié)目，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為(　　) A．224 B．112 C．56 D．28 答案　B 解

8、析　根據(jù)分層抽樣，從8名女生中抽取2人，從4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生1名男生的方法數(shù)為CC＝112. 2．5人站成一排，甲、乙兩人必須站在一起的不同排法有(　　) A．12種 B．24種 C．48種 D．60種 答案　C 解析　可先排甲、乙兩人，有A＝2(種)排法，再把甲、乙兩人與其他三人進行全排列，有A＝24(種)排法，由分步乘法計數(shù)原理，得共有2×24＝48(種)排法，故選C. 3．從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔任班主任(每班1位班主任)，要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有(　　) A．210種 B．420種 C．630

9、種 D．840種 答案　B 解析　因為要求3位班主任中男、女教師都要有，所以共有兩種情況，1男2女或2男1女．若選出的3位教師是1男2女，則共有CCA＝180(種)不同的選派方法；若選出的3位教師是2男1女，則共有CCA＝240(種)不同的選派方法，所以共有180＋240＝420(種)不同的方案，故選B. 4．將甲、乙等5位同學分別保送到北京大學、清華大學、浙江大學三所大學就讀，則每所大學至少保送一人的不同保送方法有(　　) A．150種 B．180種 C．240種 D．540種 答案　A 解析　先將5個人分成三組，(3,1,1)或(1,2,2)，分組方法有C＋C＝25(種)，

10、再將三組全排列有A＝6(種)，故總的方法數(shù)有25×6＝150(種)． 5．(2016·四川)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　) A．24 B．48 C．60 D．72 答案　D 解析　由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個位數(shù)只能是1,3,5.分為兩步：先從1,3,5三個數(shù)中選一個作為個位數(shù)有C種選法，再將剩下的4個數(shù)字排列有A種排法，則滿足條件的五位數(shù)有C·A＝72(個)．故選D. 6.如圖，花壇內(nèi)有5個花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個花池內(nèi)只能種一種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案的種數(shù)為(　　) A．180 B．

11、240 C．360 D．420 答案　D 解析　若5個花池栽了5種顏色的花卉，方法有A種，若5個花池栽了4種顏色的花卉，則2,4兩個花池栽同一種顏色的花，或3,5兩個花池栽同一種顏色的花，方法有2A種；若5個花池栽了3種顏色的花卉，方法有A種，所以最多有A＋2A＋A＝420(種)． 7．某天連續(xù)有7節(jié)課，其中語文、英語、物理、化學、生物5科各1節(jié)，數(shù)學2節(jié)．在排課時，要求生物課不排第1節(jié)，數(shù)學課要相鄰，英語課與數(shù)學課不相鄰，則不同排法的種數(shù)為(　　) A．408 B．480 C．552 D．816 答案　A 解析　數(shù)學在第(1,2)節(jié)，從除英語外的4門課中選1門安排

12、在第3節(jié)，剩下的任意排，故有CA＝96(種)排法；數(shù)學在第(2,3)節(jié)，從除英語、生物外的3門課中選1門安排在第1節(jié)，從除英語外剩下的3門課中再選1門安排在第4節(jié)，剩下的任意排，故有CCA＝54(種)排法；數(shù)學在(3,4)，(4,5)，(5,6)情況一樣，當英語在第1節(jié)時，其他任意排，故有A＝24(種)排法，當英語不在第1節(jié)時，從除英語，生物外的3門課中選一門安排在第1節(jié)，再從除英語外剩下的3門中選2門放在數(shù)學課前1節(jié)和后1節(jié)，剩下的任意排，有CAA＝36(種)排法，故共有3×(24＋36)＝180(種)排法；數(shù)學在第(6,7)節(jié)時，當英語在第一節(jié)時，其他任意排，故有A＝24(種)排法，當英語

13、不在第1節(jié)，從除英語，生物外的3門課中選一門安排在第1節(jié)，再從除英語外的剩下的3門中選1門放在第5節(jié)，剩下的任意排，有CCA＝54(種)排法，故有24＋54＝78(種)排法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有96＋54＋180＋78＝408(種)排法．故選A. 8．設i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為(　　) A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4 答案　A 解析　由題可知，含x4的項為Cx4i2＝－15x4.故選A. 9．在二項式n的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32，則展開式中各項系數(shù)的和為(　　) A．32 B．－32 C．0 D．

14、1 答案　C 解析　依題意得所有二項式系數(shù)的和為2n＝32，解得n＝5. 因此，令x＝1，則該二項展開式中的各項系數(shù)的和等于5＝0，故選C. 10．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，那么n的展開式中的常數(shù)項為(　　) A．－15 B．15 C．20 D．－20 答案　D 解析　令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝2×＝2n＋1－2＝126?2n＋1＝128?2n＋1＝27?n＝6，又Tk＋1＝C()6－kk＝C(－1)kx3－k， 所以由3－k

15、＝0，得常數(shù)項為－C＝－20. 故選D. 11．已知等比數(shù)列{an}的第5項是二項式4展開式中的常數(shù)項，則a3·a7＝________. 答案　36 解析　4的展開式的通項為Tk＋1＝Cx4－2k， 令4－2k＝0，得k＝2，∴常數(shù)項為C＝6，即a5＝6. ∵{an}為等比數(shù)列，∴a3·a7＝a＝62＝36. 12．書架上原來并排放著5本不同的書，現(xiàn)要再插入3本不同的書，那么不同的插入方法共有________種． 答案　336 解析　由題意得3本不同的書，插入到原來的5本不同的書中，可分為三步，第一步：先插入第一本，插入到原來5本不同的書排成的一排所形成的6個間隔中，有A＝

16、6(種)方法；第二步：再插入第二本，插入到原來6本不同的書排成的一排所形成的7個間隔中，有A＝7(種)方法；第三步：再插入第三本，插入到原來7本不同的書排成的一排所形成的8個間隔中，有A＝8(種)方法，共有6×7×8＝336(種)不同的插入方法． 13．某大學的8名同學準備拼車去旅游，其中大一、大二、大三、大四每個年級各2名，分別乘甲、乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(乘同一輛車的4名同學不考慮位置)，其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學中恰有2名同學是來自同一年級的乘坐方式共有________種． 答案　24 解析　分類討論，有2種情形．孿生姐妹乘坐甲車，則有CCC＝12(

17、種)乘車方式；孿生姐妹不乘坐甲車，則有CCC＝12(種)乘車方式．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有24種乘車方式． 14．已知(1＋2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，則|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.(用數(shù)字作答) 答案　729 解析　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|相當于(1＋2x)6的展開式中各項系數(shù)絕對值的和，令x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝36＝729. 15．如果n的展開式中各項系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是________． 答案　21 解析　n的展開式中各項系數(shù)之和為n＝2n＝128，所以n＝7，所以n＝7，其展開式的通項為Tk＋1＝C(3x)7－k·k＝.由7－＝－3， 得k＝6，所以的系數(shù)為(－1)6·31·C＝21. 16．(x2－x＋1)10展開式中x3項的系數(shù)為________． 答案　－210 解析　(x2－x＋1)10＝[1＋(x2－x)]10的展開式的通項公式為Tk＋1＝C(x2－x)k，對于(x2－x)k通項公式為 Tm＋1＝Cx2k－2m(－x)m＝(－1)mCx2k－m， 令2k－m＝3且m≤k≤10，m∈N，k∈N， 得k＝2，m＝1或k＝3，m＝3，(x2－x＋1)10的展開式x3系數(shù)為CC·(－1)＋CC·(－1)3＝－210.