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1、 1

2、 1 課時提升作業(yè)(二十七) 一、選擇題 1.有下列四個命題: ①(a·b)2=a2·b2;②|a+b|>|a-b|;③|a+b|2=(a+b)2;④若a∥b,則a·b=|a|·|b|.其中真命題的個數(shù)是　(　　) (A)1　　　　(B)2　　　　(C)3　　　　(D)4 2.(20xx·遼寧高考)已知兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結論正確的是　(　

3、　) (A)a∥b (B)a⊥b (C)|a|=|b| (D)a+b=a-b 3.(20xx·渭南模擬)設向量a=(cos 25°,sin25°),b=(sin 20°,cos 20°),若t是實數(shù),且u=a+tb,則|u|的最小值是　(　　) (A)2 (B)1 (C)22 (D)12 4.(20xx·南昌模擬)已知平面向量a=(3,1),b=(x,-6),設a與b的夾角的正切值等于-43,則x的值為　(　　) (A)263 (B)2 (C)-2

4、 (D)-2,263 5.在△ABC中,AC→·AB→|AB→|=1,BC→·BA→|BA→|=2,則AB邊的長度為　(　　) (A)1 (B)3 (C)5 (D)9 6.(20xx·重慶模擬)已知向量a,b滿足|a|=|b|=2, a·b=0,若向量c與a-b共線,則|a+c|的最小值為(　　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)2 7.(20xx·營口模擬)設a,b是不共線的兩個向量,其夾角是θ,若函數(shù)f(x)=(xa+b)·(a-xb)(x∈R)在(0,+∞)上有最大值,則(　　) (A

5、)| a|<|b|,且θ是鈍角 (B)| a|<|b|,且θ是銳角 (C)| a|>|b|,且θ是鈍角 (D)| a|>|b|,且θ是銳角 8.已知O是△ABC內部一點,OA→+OB→+OC→=0,AB→·AC→=23,且∠BAC=30°,則△AOB的面積為　(　　) (A)2 (B)1 (C)12 (D)13 9.已知a,b,c為△ABC的三個內角A,B,C的對邊,向量m=(3,-1),n= (cosA,sinA).若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,則角A,B的大小分別為(　　) (A)π6,π3 (B)2π3,

6、π6 (C)π3,π6 (D)π3,π3 10.(能力挑戰(zhàn)題)如圖,已知點A(1,1)和單位圓上半部分上的動點B.且OA→⊥OB→,則向量OB→的坐標為(　　) (A)(-12,12) (B)(-22,22) (C)(-13,13) (D)(-32,32) 二、填空題 11.(20xx·黃山模擬)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=52,則|b|=　　　　. 12.如圖,半圓的直徑|AB|=6,O為圓心,C為半圓上不同于A,B的任意一點,若P為半徑OC上的動點,則(PA→+PB→)·PC→的最小值是　　　　. 13.(20xx·杭州模擬)

7、以下命題:①若|a·b|=|a|·|b|,則a∥b;②a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影為15;③若△ABC中,a=5,b=8,c=7,則BC→·CA→=20;④若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|,則|2b|>|a+2b|.其中所有真命題的序號是　　　　. 14.(能力挑戰(zhàn)題)給定兩個長度為1的平面向量OA→和OB→,它們的夾角為90°.如圖所示,點C在以O為圓心的圓弧AB上運動,若OC→=xOA→+yOB→,其中x,y∈R,則xy的范圍是　　　　. 三、解答題 15.(20xx·晉中模擬)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),AB→·AD→=5,=10.

8、 (1)求D點的坐標. (2)若D點在第二象限,用AB→,AD→表示AC→. (3)設AE→=(t,2),若3AB→+AC→與AE→垂直,求AE→的坐標. 答案解析 1.【解析】選A.設a,b夾角為θ,①(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ≤|a|2·|b|2=a2·b2; ②|a+b|與|a-b|大小不確定; ③正確; ④a∥b,當a,b同向時有a·b=|a|·|b|;當a,b反向時有a·b=-|a|·|b|.故不正確. 2.【思路點撥】將所給等式兩邊平方,找到兩個向量的關系. 【解析】選B.|a+b|=|a-b|?|a+b|2=|a-b|2?a2+2a·b+

9、b2=a2-2a·b+b2?a·b=0?a⊥b. 【變式備選】已知非零向量a,b滿足向量a+b與向量a-b的夾角為π2,那么下列結論中一定成立的是　(　　) (A)a=b (B)|a|=|b| (C)a⊥b (D)a∥b 【解析】選B.由條件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|. 3.【解析】選C.∵|u|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2 =1+2t(cos 25°sin 20°+sin 25°cos 20°)+t2 =t2+2t+1=(t+22)2+12≥12, ∴|u|≥22,故選C. 4.【

10、解析】選C.∵a=(3,1),b=(x,-6),設a與b的夾角等于θ, ∴a·b=3x-6=10x2+36cosθ, ∴cosθ=3x-610x2+36. ∵tanθ=-43,∴cosθ=-35. ∴3x-610x2+36=-35, 整理得3x2-20x-52=0. 解得x1=-2,x2=263. 經檢驗x2=263是增根,x1=-2滿足要求. ∴x=-2. 5.【思路點撥】根據(jù)數(shù)量積的定義計算,并結合解三角形的知識得到結果. 【解析】選B.過點C作AB的垂線,垂足為D. 由條件得AC→·AB→|AB→|=|AC→||AB→|cosA|AB→|=|AC→|cosA=|A

11、D|=1,同理|BD|=2. 故|AB|=|AD|+|DB|=3. 6.【解析】選B.由a·b=0知a⊥b,又|a|=|b|=2,所以a與a - b所成角為π4.若| a +c|最小,則c與a - b共線反向,從而a與c的夾角為3π4. ∵(a + c)2= a 2+ c 2+2|a||c|·cos3π4= c 2-22| c |+4=(| c |-2)2+2≥2,∴|a+c|≥2, 即| a +c|的最小值為2. 7.【解析】選D.f(x)=- a·b x2+(a2- b 2)x+a·b,若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有最大值,則可知函數(shù)為二次函數(shù),且圖像的開口向下,且對稱軸在y軸

12、右側,即-a·b<0,a2-b22a·b>0, 所以a, b的夾角為銳角,且|a|>| b |. 8.【解析】選D.由OA→+OB→+OC→=0得O為△ABC的重心,∴S△AOB=13S△ABC. 又AB→·AC→=|AB→||AC→|cos30°=23, 得|AB→||AC→|=4,∴S△ABC=12|AB→||AC→|sin30°=1. ∴S△AOB=13. 9.【解析】選C.由m⊥n可得m·n=0, 即3cosA-sinA=0,所以A=π3. 又acosB+bcosA=csinC知c=csinC,則sinC=1, 所以C=π2,由B=2π3-C可得B=π6. 10.

13、【解析】選B.依題意設B(cosθ,sinθ),0≤θ≤π. 則OA→=(1,1),OB→=(cosθ,sinθ). 因為OA→⊥OB→,所以OA→·OB→=0, 即cosθ+sinθ=0, 解得θ=3π4, 所以OB→=(-22,22). 【方法技巧】解題時引入恰當?shù)膮?shù)θ是解題的關鍵,進而可利用三角函數(shù)的定義求得點B的坐標,可將問題轉化為向量的坐標運算問題來解決. 11.【解析】∵50=|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=5+20+|b|2,∴|b|=5. 答案:5 12.【思路點撥】設|PO|=x(0≤x≤3),運用向量的數(shù)量積轉化為函數(shù)知識求解. 【解析】設

14、|PO|=x,則|PC|=3-x(0≤x≤3), 則(PA→+PB→)·PC→=2PO→·PC→=2·x·(3-x)·cosπ=2x(x-3)=2(x-32)2-92. ∵0≤x≤3, ∴當x=32時,(PA→+PB→)·PC→有最小值-92. 答案:-92 13.【解析】設a,b的夾角為θ,①中,由|a·b|=|a||b||cosθ|=|a||b|,知 cosθ=±1,故θ=0或θ=π,所以a∥b,故正確;②中a在b方向上的投影為|a|·cosθ=|a|·==15,故正確;③中,由余弦定理得cosC=52+82-722×5×8=12,故BC→·CA→=-CB→·CA→=-5×8

15、×12=-20,故錯誤.④中,由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,∴|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故錯誤. 答案:①② 14.【解析】由OC→=xOA→+yOB→,得 =x2+y2+2xyOA→·OB→. 又|OC→|=|OA→|=|OB→|=1,OA→·OB→=0, ∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤12, 而點C在以O為圓心的圓弧AB上運動, 得x,y∈[0,1],于是0≤xy≤12. 答案:[0,12] 15.【解析】(1)設D(x,y),AB→=(1,2),AD→=(x+1,y). 由題得 x+2y=4,(x+1

16、)2+y2=10, ∴x=-2,y=3或x=2,y=1. ∴D點的坐標為(-2,3)或(2,1). (2)∵D點在第二象限,∴D(-2,3). ∴AD→=(-1,3).∵AC→=(-2,1), 設AC→=mAB→+nAD→, 則(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3), ∴-2=m-n,1=2m+3n,∴m=-1,n=1, ∴AC→=-AB→+AD→. (3)∵3AB→+AC→=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),AE→=(t,2), ∵3AB→+AC→與AE→垂直,∴(3AB→+AC→)·AE→=0, ∴t+14=0,∴t=-14,∴AE→=(-14,2).

17、【變式備選】在平面直角坐標系中,已知向量a=(-1,2),又點A(8,0),B(n,t), C(ksinθ,t)(0≤θ≤π2). (1)若AB→⊥a,且|AB→|=5|OA→|(O為坐標原點),求向量OB→. (2)若向量AC→與向量a共線,當k>4,且tsinθ取最大值4時,求OA→·OC→. 【解析】(1)可得AB→=(n-8,t), ∵AB→⊥a, ∴AB→·a=(n-8,t)·(-1,2)=0, 得n=2t+8, 則AB→=(2t,t). 又|AB→|=5|OA→|,|OA→|=8. ∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8, 當t=8時,n=24;當t=-8時,n=-8. ∴OB→=(24,8)或OB→=(-8,-8). (2)∵向量AC→與向量a共線, ∴t=-2ksinθ+16, tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ =-2k(sinθ-4k)2+32k. ∵k>4,∴0<4k<1,故當sinθ=4k時,tsinθ取最大值32k,有32k=4,得k=8. 這時,sinθ=12,k=8,tsinθ=4,得t=8, 則OC→=(4,8), ∴OA→·OC→=(8,0)·(4,8)=32.