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2、 1 課時(shí)規(guī)范練59　幾何概型 一、選擇題 1.一數(shù)學(xué)興趣小組利用幾何概型的相關(guān)知識(shí)做實(shí)驗(yàn)計(jì)算圓周率,他們向一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形區(qū)域均勻撒豆,測(cè)得正方形區(qū)域有豆5 120顆,正方形的內(nèi)切圓區(qū)域有豆4 009顆,則他們所測(cè)得的圓周率為(保留三位有效數(shù)字)(　　) A.3.13 B.3.14 C.3.15 D.3.16 答案:A 解析:根據(jù)幾何概型的定義有,得π≈3.13.

3、 2.在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)M,并以線段AM為邊作正方形,則這個(gè)正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為(　　) A. B. C. D. 答案:A 解析:面積為36 cm2時(shí),邊長(zhǎng)AM=6 cm;面積為81 cm2時(shí),邊長(zhǎng)AM=9 cm.∴P=. 3.在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P,則△PBC的面積大于的概率是(　　) A. B. C. D. 答案:C 解析:如圖,在AB邊上取點(diǎn)P',[來(lái)源:] 使,則P只能在AP'上(不包括P'點(diǎn))運(yùn)動(dòng),則所求概率為. 4.若在區(qū)間[-5,5]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)a,則使直線x+y+a=0與圓(x-1)

4、2+(y+2)2=2有公共點(diǎn)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案:B 解析:若直線與圓有公共點(diǎn),則圓心到直線的距離d=,解得-1≤a≤3. 又a∈[-5,5],故所求概率為. 5.如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(　　) A. B. C.1- D. 答案:C[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] 解析:設(shè)OA=OB=2R,連接AB,如圖所示,由對(duì)稱性可得,陰影的面積就等于直角扇形拱形的面積,S陰影=π(2R)2-×(2R)2=(π-2)R2,S扇=πR2,故所求的概率是=1-. 6.一只

5、蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為(　　) A. B. C. D. 答案:C 解析:由已知條件可知,蜜蜂只能在一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi)飛行,結(jié)合幾何概型可得蜜蜂“安全飛行”的概率為P=. 二、填空題 7.在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈[0,1]的概率為　　　　　.? 答案: 解析:[-1,2]的區(qū)間長(zhǎng)度為3,[0,1]的區(qū)間長(zhǎng)度為1,根據(jù)幾何概型知所求概率為. 8.在區(qū)域M=內(nèi)隨機(jī)撒一把黃豆,落在區(qū)域N=內(nèi)的概率是　　　　　.? 答案: 解析:畫(huà)出區(qū)域

6、M,N,如圖,區(qū)域M為矩形OABC,區(qū)域N為圖中陰影部分. S陰影=×4×2=4, 故所求概率P=. 9.點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn),若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B,則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為　　　　.?[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)][來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] 答案: 解析:圓周上使弧的長(zhǎng)度為1的點(diǎn)M有兩個(gè),設(shè)為M1,M2,則過(guò)A的圓弧的長(zhǎng)度為2,B點(diǎn)落在優(yōu)弧上就能使劣弧的長(zhǎng)度小于1,所以劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為. 10.在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,AD⊥BC,AD=,自點(diǎn)A在∠BAC內(nèi)任作一條射線AM交BC于點(diǎn)M,則“BM<1”的概率是　　　　　.? 答案: 解析:當(dāng)BM=1時(shí),

7、點(diǎn)M與點(diǎn)D重合,即“事件BM<1”要發(fā)生,則射線AM所在區(qū)域?yàn)椤螧AD內(nèi)部任一位置,易得∠BAC=75°,∠BAD=30°,故所求概率為P=. 11.在區(qū)間[-π,π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a,b,則使得函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+π有零點(diǎn)的概率為　　　　　.? 解:∵a,b使得函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+π有零點(diǎn),∴Δ≥0.∴a2+b2≥π,試驗(yàn)發(fā)生時(shí)包含的所有事件是Ω={(a,b)|-π≤a≤π,-π≤b≤π}.∴S=(2π)2=4π2,而滿足條件的事件是{(a,b)|a2+b2≥π},∴S=4π2-π2=3π2,由幾何概型公式得到P=. 三、解答題 12.在區(qū)間上隨機(jī)

8、取一個(gè)數(shù)x,求cos x的值介于0到之間的概率. 解:如圖,在上任取x,0

9、”的事件為A,第一槍有4個(gè)基本事件,則P(A)=. (2)法一:前三槍出現(xiàn)“空彈”的事件為B,則第四槍出現(xiàn)“空彈”的事件為,那么P()=P(A),P(B)=1-P()=1-P(A)=1-. 法二:前三槍共有4個(gè)基本事件{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},滿足條件的有三個(gè),則P(B)=. (3)Rt△PQR的面積為6,分別以P,Q,R為圓心、1為半徑的三個(gè)扇形的面積和為, 設(shè)第四個(gè)彈孔與前三個(gè)彈孔的距離都超過(guò)1的事件為C,P(C)==1-. 14.已知函數(shù)f(x)=ax+b,x∈[-1,1],a,b∈R,且是常數(shù). (1)若a是從-2,-1,0,1,2五個(gè)

10、數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)的概率; (2)若a是從區(qū)間[-2,2]中任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]中任取的一個(gè)數(shù),求函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)的概率. 解:(1)函數(shù)f(x)=ax+b,x∈[-1,1]為奇函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)?x∈[-1,1],f(-x)=-f(x),即b=0,基本事件共15個(gè):(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值,第二個(gè)數(shù)表示b的取值. 設(shè)事

11、件A為“函數(shù)f(x)=ax+b,x∈[-1,1]為奇函數(shù)”,包含的基本事件有5個(gè):(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0),事件A發(fā)生的概率為P(A)=. (2)設(shè)事件B為“函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)”,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|-2≤a≤2,0≤b≤2},區(qū)域面積為4×2=8.構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|a=b=0}∪{(a,b)|-2≤a≤2,0≤b≤2,a≠0且(a+b)(b-a)<0}, 即{(a,b)|a=b=0}∪(a,b)|-2≤a≤2,0≤b≤2,a≠0且-1<<1,區(qū)域面積為×4×2=4,事件B發(fā)生的概率為P(B)=. 15.一只螞

12、蟻在邊長(zhǎng)分別為5,6,的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行,試求其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于1的地方的概率. 解:由題意,畫(huà)出示意圖(如圖所示). 在△ABC中,由余弦定理, 得cos B=. 于是sin B=. 所以S△ABC=×5×6×=9. 又圖中陰影部分的面積為△ABC的面積減去半徑為1的半圓的面積,即為S陰影=9-, 所以螞蟻恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于1的地方的概率為P==1-. 四、選做題 1.如圖,三行三列的方陣中有九個(gè)數(shù)aij(i=1,2,3;j=1,2,3),從中任取三個(gè)數(shù),則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是(　　) A. B. C. D. 答案:D 解析:從

13、九個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)的不同取法共有=84(種),因?yàn)槿〕龅娜齻€(gè)數(shù)分別位于不同的行與列的取法共有··=6,所以至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率為1-. 2.在長(zhǎng)度為3的線段上隨機(jī)分成兩段,則其中一段的長(zhǎng)度大于2的概率為　　　　　.? 答案: 解析:在長(zhǎng)度為3的線段上隨機(jī)分成兩段,所以設(shè)其中一段長(zhǎng)度為x,則0

14、增函數(shù)的概率; (2)設(shè)點(diǎn)(a,b)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn),求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率. 解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2-4bx+1的圖象的對(duì)稱軸為x=,要使f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a>0且≤1,即2b≤a.若a=1,則b=-1;若a=2,則b=-1,1;若a=3,則b=-1,1. 所以事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1+2+2=5,即所求事件的概率為. (2)由(1),知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a>0時(shí), 函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù), 依條件,可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? 構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)? 由得交點(diǎn)坐標(biāo)為, 所以所求事件的概率為P=.