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1、 高考理科數(shù)學考點分類自測：橢圓 一、選擇題 1．已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點． 在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為 (　　) A．6　　　　　　　　　　　 B．5 C．4 D．3 2．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點個數(shù)為 (　　) A．至多一個 B．2個 C．1個

2、 D．0個 3．已知橢圓C1：＋＝1 (a>b>0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點．若C1恰好將線段AB三等分，則 (　　) A．a(chǎn)2＝ B．a(chǎn)2＝13 C．b2＝ D．b2＝2 4．已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點M在該橢圓上，且 · ＝0，則點M到y(tǒng)軸的距離為(　　) A. B. C. D. 5．方程為＋＝1(a>b

3、>0)的橢圓的左頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，D是它短軸上的一個端點，若3 ＝ ＋2 ，則該橢圓的離心率為 (　　) A. B. C. D. 6．已知橢圓E：＋＝1，對于任意實數(shù)k，下列直線被橢圓E截得的弦長與l：y＝kx＋1被橢圓E截得的弦長不可能相等的是 (　　) A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0 C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0 二、填空題 7．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，左焦點為F，

4、上頂點為B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，則橢圓的離心率是________． 8．設F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________． 9．設F1，F(xiàn)2分別為橢圓＋y2＝1的左、右焦點，點A，B在橢圓上，若 ＝5 ，則點A的坐標是________． 三、解答題10．設橢圓C∶＋＝1(a>b>0)過點(0,4)，離心率為. (1)求C的方程； (2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標． 11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓＋＝1的頂點，

5、過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C.連接AC，并延長交橢圓于點B.設直線PA的斜率為k. (1)當直線PA平分線段MN時，求k的值； (2)當k＝2時，求點P到直線AB的距離d； (3)對任意的k>0，求證：PA⊥PB. 12．已知橢圓G∶＋y2＝1.過點(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點． (1)求橢圓G的焦點坐標和離心率； (2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值． 詳解答案 一、選擇題 1．解析：根據(jù)橢圓定義，知△AF1B的周長為4a

6、＝16，故所求的第三邊的長度為16－10＝6. 答案：A 2．解析：∵直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點， ∴>2，∴m2＋n2<4，∴＋<＋＝1－m2<1，∴點(m，n)在橢圓＋＝1的內部， ∴過點(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點個數(shù)為2個． 答案：B 3．解析：如圖所示 設直線AB與橢圓C1的一個交點為C(靠近A的交點)，則|OC|＝，因tan∠COx＝2， ∴sin∠COx＝，cos∠COx＝， 則C的坐標為(，)，代入橢圓方程得＋＝1，∵5＝a2－b2，∴b2＝. 答案：C 4．解析：由題意，得F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．設M(x，y)，則 ·

7、＝ (－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3 ①.又因為點M在橢圓上，故＋y2＝1，即y2＝1－ ②.將②代入 ①，得x2＝2，解得x＝±.故點M到y(tǒng)軸的距離為. 答案：B 5．解析：設點D(0，b), 則 ＝(－c，－b)， ＝(－a，－b)， ＝(c，－b)，由3 ＝ ＋2 得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝. 答案：D 6．解析：A選項中，當k＝－1時，兩直線關于y軸對稱，兩直線被橢圓E截得的弦長相等；B選項中，當k＝1時，兩直線平行，兩直線被橢圓E截得的弦長相等；C選項中，當k＝1時，兩直線關于y軸對稱，兩直線被橢圓E截得的弦長相等． 答案：D 二

8、、填空題 7．解析：∵∠BAO＋∠BFO＝90°， ∴∠BAO＝∠FBO. ∴＝. 即OB2＝OA·OF， ∴b2＝ac. ∴a2－c2－ac＝0. ∴e2＋e－1＝0. ∴e＝＝. 又∵0

9、 ＝5 ，∴c＝，d＝.∵點A、B都在橢圓上，∴＋n2＝1，＋()2＝1.解得m＝0，n＝±1，故點A坐標為(0，±1)． 答案：(0，±1) 三、解答題 10．解：(1)將(0, 4)代入C的方程得＝1，∴b＝4， 由e＝＝得＝， 即1－＝，∴a＝5， ∴C的方程為＋＝1. (2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為 y ＝(x－3)，設直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得 x1＝，x2＝， ∴AB的中點坐標＝＝， ＝＝(x1＋x2－6)＝－， 即中點坐標為(，－)． 11．解：由

10、題設知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以線段MN中點的坐標為(－1，－)． 由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過坐標原點，所以k＝＝. (2)直線PA的方程為y＝2x，代入橢圓方程得＋＝1，解得x＝±，因此P(，)，A(－，－)．于是C(，0)，直線AC的斜率為＝1，故直線AB的方程為x－y－＝0. 因此，d＝＝. (3)證明：法一：將直線PA的方程y＝kx代入＋＝1，解得x＝±記μ＝，則P(μ，μk)，A(－μ，－μk)．于是C(μ，0)． 故直線AB的斜率為＝， 其方程為y＝(x－μ), 代入橢圓方程并由μ＝得(2＋k2)x2－2

11、μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，解得x＝或x＝－μ.因此B (，)． 于是直線PB的斜率k1＝＝＝－. 因此k1k＝－1，所以PA⊥PB. 法二：設P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．設直線PB，AB的斜率分別為k1，k2.因為C在直線AB上，所以k2＝＝＝. 從而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1＝＋1＝＝＝0. 因此k1k＝－1，所以PA⊥PB. 12．解：(1)由已知得a＝2，b＝1， 所以c＝＝. 所以橢圓G的焦點坐標為(－，0)，(，0)， 離心率為e＝＝. (2)由題意知，|m|≥1.

12、 當m＝1時，切線l的方程為x＝1，點A，B的坐標分別為(1，)，(1，－)，此時|AB|＝. 當m＝－1時，同理可得|AB|＝. 當|m|＞1時，設切線l的方程為y＝k(x－m)．由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則 x1＋x2＝，x1x2＝. 又由l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1， 即m2k2＝k2＋1. 所以|AB|＝ ＝ ＝＝. 由于當m＝±1時，|AB|＝， 所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因為|AB|＝＝≤2， 且當m＝±時，|AB|＝2， 所以|AB|的最大值為2.