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2、 1 第六節(jié)　雙 曲 線 【考綱下載】 1．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質． 2．了解圓錐曲線的簡單應用、了解雙曲線的實際背景、了解雙曲線在刻畫現實世界或解決實際問題中的作用． 3．理解數形結合的思想． 1．雙曲線的定義 滿足以下三個條件的點的軌跡是雙曲線： (1)在平面內；(2)與兩定點F1，F2的距離的差的絕

3、對值等于常數；(3)常數小于|F1F2|. 2．雙曲線的標準方程和幾何性質 標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 圖形 性 質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 對稱性 對稱軸：坐標軸 對稱中心：原點 頂點 頂點坐標： A1(－a,0)，A2(a,0) 頂點坐標： A1(0，－a)，A2 (0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的關系 c2＝a2＋b2 實 虛 軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；

4、線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b； a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長 1．與兩定點F1，F2的距離之差的絕對值大于、等于或小于常數2a的動點的軌跡各是什么？ 提示：當2a<|F1F2|且2a≠0時，軌跡是雙曲線；若2a＝|F1F2|，則軌跡是以F1，F2為端點的兩條射線；若2a>|F1F2|，則軌跡不存在． 2．雙曲線的離心率的大小與雙曲線“開口”大小有怎樣的關系？ 提示：離心率越大，雙曲線的“開口”越大． 1．雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：

5、選C　由題意知，a＝2，故實軸長為2a＝4. 2．雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的左焦點的坐標為(　　) A. B. C. D．(－，0) 解析：選C　雙曲線方程x2－2y2＝1可化為x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，c2＝a2＋b2＝，c＝.因此，左焦點坐標為. 3．設P是雙曲線－＝1上一點，F1，F2分別是雙曲線左右兩個焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|等于(　　) A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不對 解析：選B　由題意知|PF1|＝9

6、，則有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17. 4．雙曲線方程：＋＝1，那么k的取值范圍是(　　) A．(5，＋∞) B．(2,5) C．(－2,2) D．(－2,2)或(5，＋∞) 解析：選D　由題意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－25. 5．已知雙曲線－＝1的右焦點的坐標為(，0)，則該雙曲線的漸近線方程為____________________． 解析：依題意知()2＝9＋a，所以a＝4，故雙曲線方程為－＝1， 則漸近線方程為±＝0.即2x±3y＝0. 答案：2x＋3y＝0或2x－3y＝0

7、 數學思想(十) 方程思想在求解離心率(范圍)中的應用 [典例]　已知點F是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(1,1＋) D．(2,1＋) [解題指導]　根據△ABE的特征，得出邊的關系，列出關于a，c的不等式求解即可． [解析]　由AB⊥x軸，可知△ABE為等腰三角形，又△ABE是銳角三角形，所以∠AEB為銳角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，

8、＋c，于是c2－a21，從而10，b>0)的左焦點、右頂點，點B(0，b)滿足·＝0，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　依題意得F(－c,0)，A(a,0)，又B(0，b)，則＝(c，b)，＝(－a，b)．由·＝0，得b2＝ac，所以c2－a2＝ac，＝1，即e－＝1，e2－e－1＝0，解得e＝.又e>1，所以e＝，即雙曲線的離心率等于.