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1、新編高考數(shù)學復習資料 三、分類與整合思想 　　分類與整合思想是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略．對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度；分類研究后還要對討論結果進行整合. 方法一　公式、定理分類整合法 模型解法 公式、定理分類整合法即利用數(shù)學中的基本公式、定理對研究對象進行分類，然后分別對每類問題進行解決的方法．此方法多適用于公式、定理自身需要分類討論的情況．破解此類題的關鍵點： ①分類轉化，結合已

2、知所涉及的知識點，找到合理的分類標準． ②依次求解，對每個分類所對應的問題，逐次求解． ③匯總結論，匯總分類結果，得結論． 典例1　設等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和Sn>0 (n＝1,2,3，…)，則q的取值范圍是________． 解析　由{an}是等比數(shù)列，Sn>0， 可得a1＝S1>0，q≠0，當q＝1時，Sn＝na1>0. 當q≠1時，Sn＝>0， 即>0(n＝1,2,3，…)， 則有 ① 或 ② 由①得－11. 故q的取值范圍是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案　(－1,0)∪(0，＋∞) 思維升華　公式、定理的分類整合法的分類

3、一般比較固定，由定理、公式的限制引起的分類整合法往往是因為有的數(shù)學定理、公式是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等． 跟蹤演練1　Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若S4，S3，S5成等差數(shù)列，則{an}的公比為(　　) A. B．2 C．－ D．－2 答案　D 解析　設{an}的公比為q(q≠0)，由等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4，S3，S5成等差數(shù)列，得2S3＝S4＋S5. 當q＝1時，S4＝4a1，S3＝3a1，S5＝5a1， 此時2S3≠S4＋S5，不滿足題意； 當q≠1時，有＝＋，即q2＋q－2＝0， 解得q

4、＝－2或q＝1(舍去)． 方法二　位置關系的分類整合法 模型解法 對于幾何中位置關系的分類討論問題常采用分類整合法，這種方法適用于解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關系，以及幾何圖形中點、線、面的位置關系的研究．破解此類題的關鍵點： ①確定特征，一般在確立初步特征時將能確定的所有位置先確定． ②分類，根據(jù)初步特征對可能出現(xiàn)的位置關系進行分類． ③得出結論，將“所有關系”下的目標問題進行匯總處理． 典例2　在約束條件下，當3≤s≤5時，z＝3x＋2y的最大值的變化范圍是(　　) A．[6,15] B．[7,15]C．[6,8] D．[7,8] 解析　由可得 由圖，可得A(2,

5、0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)． ①當3≤s<4時，不等式組所表示的可行域是四邊形OABC及其內(nèi)部，此時，z＝3x＋2y在點B處取得最大值，且zmax＝3(4－s)＋2(2s－4)＝s＋4，由3≤s<4，得7≤zmax<8. ②當4≤s≤5時，不等式組所表示的可行域是△OAC′及其內(nèi)部，此時z＝3x＋2y在點C′處取得最大值，且zmax＝8. 綜上可知，z＝3x＋2y的最大值的變化范圍是[7,8]，故選D. 答案　D 思維升華　(1)在解析幾何位置關系的研究中，不能僅僅關注直線與圓錐曲線的位置關系中的相交、相離和相切三種情況，還要注意焦點在不同位置時的

6、關系的探究． (2)在幾何圖形的相關問題中，要充分發(fā)揮空間想象能力，將所有可能出現(xiàn)的關系“一網(wǎng)打盡”．如本題隨著s取值的變化，目標函數(shù)值是會隨著變化的，如果考慮不全，就會得出錯誤結論． 跟蹤演練2　拋物線y2＝4px(p>0)的焦點為F，P為其上的一點，O為坐標原點，若△OPF為等腰三角形，則這樣的點P的個數(shù)為________． 答案　4 解析　當|PO|＝|PF|時，點P在線段OF的中垂線上，此時，點P的位置有兩個；當|OP|＝|OF|時，點P的位置也有兩個；對|FO|＝|FP|的情形，點P不存在．事實上，F(xiàn)(p，0)，若設P(x，y)，則|FO|＝p，|FP|＝， 若＝p，則有x

7、2－2px＋y2＝0， 又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p， 當x＝0時，不構成三角形．當x＝－2p(p>0)時，與點P在拋物線上矛盾．∴符合要求的點P有4個． 方法三　含參問題的分類整合法 模型解法 含參問題的分類整合法是分類討論問題中最重要、最常見也是最復雜的一種方法，在解決問題中一般根據(jù)參數(shù)的取值范圍進行分類．此模型適用于某些含有參數(shù)的問題，如含參的方程、不等式等，由于參數(shù)的取值不同會導致所得的結果不同，或對于不同的參數(shù)值要運用不同的方法進行求解或證明，因此要分類討論．破解此類題的關鍵點： ①確定范圍，確定需要分類問題中參數(shù)的取值范圍． ②確定分類

8、標準，這些分類標準都是在解題過程中根據(jù)解決問題的需要確定的，注意有些參數(shù)可能出現(xiàn)多級分類，要做到不重不漏． ③分類解決問題，對分類出來的各相應問題分別進行求解． ④得出結論，將所得到的結論進行匯總，得出正確結論． 典例3　函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 解析　方法一　當a＝0時，f(x)＝4x－3在[0,2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意． 當a≠0時，函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3＝a2－3－，其對稱軸為x＝－. 當a>

9、0時，f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意． 當a<0時，只有當－≥2，即－1≤a<0時，f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意． 綜上，當a≥－1時，函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)． 故選B. 方法二　由f(x)＝ax2＋4x－3，得f′(x)＝2ax＋4， 要使函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)， 需使f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，則f′(x)＝2ax＋4≥0在[0,2]上恒成立， 當x＝0時成立，當x≠0

10、時，由x∈(0,2]，得a≥－， 因為－在(0,2]上的最大值為－1，所以a≥－1. 綜上，當a≥－1時，函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)．故選B. 答案　B 思維升華　對于含參問題的分類討論主要有以下三種類型：(1)概念型，即問題所涉及的數(shù)學概念是分類進行定義的，如|a|的定義分a>0，a＝0，a<0三種情況． (2)性質(zhì)型，即問題中涉及的數(shù)學定理、公式和運算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制、或者是分類給出的，如等比數(shù)列的前n項和公式，分q＝1和q≠1兩種情況． (3)含參型，求解含有參數(shù)的問題時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論．另外，某些不確定的數(shù)量

11、、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都需要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性． 跟蹤演練3　已知橢圓C的兩個焦點分別為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且F2到直線x－y－9＝0的距離等于橢圓的短軸長． (1)求橢圓C的方程； (2)若圓P的圓心為P(0，t)(t>0)，且經(jīng)過F1，F(xiàn)2兩點，Q是橢圓C上的動點且在圓P外，過Q作圓P的切線，切點為M，當|QM|的最大值為時，求t的值． 解　(1)設橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)， 依題意可得2b＝＝4， 所以b＝2，又c＝1，所以a2＝b2＋c2＝5， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設Q(x，y)， 圓P的方程為x2＋(y－t)2＝t2＋1， 連接PM，因為QM為圓P的切線， 所以PM⊥QM， 所以|QM|＝ ＝ ＝. ①若－4t≤－2，即t≥時， 當y＝－2時，|QM|取得最大值， 且|QM|max＝＝， 解得t＝<(舍去)． ②若－4t>－2，即0