《新編【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學理一輪突破熱點題型：第5章 第3節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新編【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學理一輪突破熱點題型：第5章 第3節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和 考點一 等比數(shù)列的判定與證明 　 [例1]　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn， a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列． [自主解答]　an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an. ＝＝＝＝2， ∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5.∴b1＝a2－2a1＝3. ∴數(shù)列{bn}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列． 【互動探究】 保持本例條件不變，若cn＝，證明：{cn}是等比數(shù)列． 證明：由例題知，bn＝3·2n

2、－1＝an＋1－2an，∴－＝3. ∴數(shù)列是首項為2，公差為3的等差數(shù)列． ∴＝2＋(n－1)×3＝3n－1，∴an＝(3n－1)·2n－2，∴cn＝2n－2. ∴＝＝2.∴數(shù)列{cn}為等比數(shù)列．　　　　 【方法規(guī)律】 等比數(shù)列的判定方法 證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可． 已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*

3、)，則以下結論一定正確的是(　　) A．數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qm B．數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q2m C．數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2 D．數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qmm 解析：選C　bn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2＋…＋qm－1)，＝＝qm，故數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為qm，選項A、B均錯誤；cn＝a·q1＋2＋…＋(m－1)，＝＝m＝(qm)m＝qm2，故數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2，D錯誤，故選C. 高頻考點 考點二 等比數(shù)列的基本運算　　 1．等比數(shù)列的基本運算是高考的?？純热?，題型既有選擇、填空題，

4、也有解答題，難度適中，屬中低檔題． 2．高考對等比數(shù)列的基本運算的考查常有以下幾個命題角度：(1)化基本量求通項；(2)化基本量求特定項；(3)化基本量求公比；(4)化基本量求和． [例2]　(1)(20xx·新課標全國卷Ⅱ)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝(　　) A. B．－ C. D．－ (2)(20xx·浙江高考)設公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝________. (3)(20xx·湖北高考)已知等比數(shù)列{an}滿足：|a

5、2－a3|＝10，a1a2a3＝125. ①求數(shù)列{an}的通項公式； ②是否存在正整數(shù)m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由． [自主解答]　(1)由已知條件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，設數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝9.所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝. (2)由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2作差，可得a3＋a4＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，所以2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍)． (3)①設等比數(shù)列{an}的公比為q， 則由已知可得解得或 故an＝×3n－1，或an＝－5×(－1)n－1.

6、②若an＝×3n－1，則＝×n－1，故是首項為，公比為的等比數(shù)列， 從而. 若an＝(－5)×(－1)n－1，則＝－(－1)n－1，故是首項為－，公比為－1的等比數(shù)列， 從而故<1. 綜上，對任何正整數(shù)m，總有<1. 故不存在正整數(shù)m，使得＋＋…＋≥1成立． [答案]　(1)C　(2) 等比數(shù)列基本量運算問題的常見類型及解題策略 (1)化基本量求通項．求等比數(shù)列的兩個基本元素a1和q，通項便可求出，或利用知三求二，用方程求解． (2)化基本量求特定項．利用通項公式或者等比數(shù)列的性質求解． (3)化基本量求公比．利用等比數(shù)列的定義和性質，建立方程組求解． (4)化基本量

7、求和．直接將基本量代入前n項和公式求解或利用等比數(shù)列的性質求解． 1．(20xx·新課標全國卷Ⅰ)設首項為1，公比的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則(　　) A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an 解析：選D　因為a1＝1，公比q＝，所以an＝n－1， Sn＝＝3＝3－2n－1＝3－2an. 2．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 解析：設數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，

8、 ∵a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1， ∴ ①得a1＝q，由由②知q＝2或q＝，又數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，∴a1＝q＝2，從而an＝2n. 答案：2n 3．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 解：(1)∵S1，S3，S2成等差數(shù)列，∴a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)． 由于a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，從而q＝－. (2)由已知可得a1－a12＝3，故a1＝4，從而Sn＝＝. 考點三 等比數(shù)列的性質 　 　 [例3]　(1)已知等比數(shù)列

9、{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，則前9項之和等于(　　) A．50 B．70 C．80 D．90 (2)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7 [自主解答]　(1)∵S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，∴S3·(S9－S6)＝(S6－S3)2， 又S3＝40，S6＝40＋20＝60，∴40(S9－60)＝202，故S9＝70. (2)由已知得解得或 當a4＝4，a7＝－2時，易得a1＝－8，

10、a10＝1，從而a1＋a10＝－7； 當a4＝－2，a7＝4時，易得a10＝－8， a1＝1，從而a1＋a10＝－7. [答案]　(1)B　(2)D 【方法規(guī)律】 等比數(shù)列常見性質的應用 等比數(shù)列性質的應用可以分為三類：(1)通項公式的變形；(2)等比中項的變形；(3)前n項和公式的變形．根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口． 1．記等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m的值為(　　) A．4 B．7 C．10 D．12 解析：選A

11、　因為{an}是等比數(shù)列，所以am－1am＋1＝a， 又由am－1am＋1－2am＝0，可知am＝2. 由等比數(shù)列的性質可知前(2m－1)項積T2m－1＝a，即22m－1＝128，故m＝4. 2．在等比數(shù)列{an}中，若a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8，則a41·a42·a43·a44＝________. 解析：法一：a1·a2·a3·a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝1，① a13·a14·a15·a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8，② 由②÷①，得＝q48＝8?q16＝2， 又a41·a42·a

12、43·a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)·(q16)10＝1×210＝1 024. 法二：由性質可知，依次4項的積為等比數(shù)列， 設公比為q， T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a16＝8， ∴T4＝T1·q3＝1·q3＝8，即q＝2. ∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·q10＝210＝1 024. 答案：1 024 ———————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 2個注意點——應用等比數(shù)列的公比應注意的問題 (1)由an＋1＝qan(q

13、≠0)，并不能斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0. (2)在應用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1和q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情況而導致錯誤． 4種方法——等比數(shù)列的判定方法 (1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù))或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2)，則{an}是等比數(shù)列； (2)等比中項法：在數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列； (4)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列． 注意：前兩種方法也可用來證明一個數(shù)列為等比數(shù)列．