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1、 1

2、 1 專題9.7 拋物線 考 點 考綱內容 5年統(tǒng)計 分析預測 拋物線 (1)了解圓錐曲線的實際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用. (2)了解拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質. （4）了解圓錐曲線的簡單應用. (5)理解數(shù)形結合的思想. 20xx?新課標II. 10; 20xx?新課標I. 10；II.10; 20xx

3、?新課標I. 5； 20xx?新課標I.20;II.5; 20xx?新課標I.20;II.12. 1.考查拋物線的定義； 2.考查拋物線的標準方程，結合拋物線的基本量之間的關系，利用待定系數(shù)法求解； 3.考查拋物線的幾何性質； 4.考查拋物線與雙曲線、橢圓的綜合問題. 5.備考重點： (1)掌握拋物線的定義、標準方程、幾何性質； （2）熟練運用方程思想及待定系數(shù)法； （3）利用數(shù)形結合思想，靈活處理綜合問題. 【知識清單】 1. 拋物線的標準方程及幾何性質 圖形 標準方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0

4、） x2=－2py（p＞0） 頂點 O（0，0） 范圍 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 對稱軸 x軸 y軸 焦點 離心率 e=1 準線方程 焦半徑 對點練習： 【20xx高考新課標1卷】以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點,交C的準線于D、E兩點.已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點到準線的距離為（ ） (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B 2. 拋物線的定義及應用 平面內與一個定點和一條定直線（不經過點）的距離相等的點的軌跡叫做

5、拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線． 對點練習： 【20xx山東，文15】在平面直角坐標系xOy中,雙曲線 的右支與焦點為F的拋物線交于A,B兩點,若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為 . 【答案】 【解析】 3. 直線和拋物線的位置關系 （1）將直線的方程與拋物線的方程y2=2px（p＞0）聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ. 若，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點； 若 ①Δ＞0 直線和拋物線相交，有兩個交點； ②Δ＝0直線和拋物線相切，有一個公共點； ③Δ＜

6、0直線和拋物線相離，無公共點． （2）直線與拋物線的相交弦 設直線交拋物線于點兩點，則 == 同理可得 這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形： 對點練習： 【20xx高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線，拋物線 （1）若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程； （2）已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q. ①求證：線段PQ的中點坐標為； ②求p的取值范圍. 【答案】（1）（2）①詳見解析，② 【解析】（1）拋物線的焦點為 由點在直線上，得，即 所以拋物線C的方程為 （2）設，線段PQ的中點 因為

7、點P和Q關于直線對稱，所以直線垂直平分線段PQ, 于是直線PQ的斜率為，則可設其方程為 ①由消去得 因為P 和Q是拋物線C上的相異兩點，所以 從而，化簡得. 方程（*）的兩根為，從而 因為在直線上，所以 因此，線段PQ的中點坐標為 ②因為在直線上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范圍為 【考點深度剖析】 縱觀近幾年的高考試題，高考對拋物線的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查拋物線的標準方程，結合拋物線的定義及拋物線的焦點，利用待定系數(shù)法求解；二是考查拋物線的幾何性質，較多地涉及準線、焦點、焦準距等；三是考查直線與拋物線的位置關系問題，綜合性較強，往往與向量結

8、合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關系、弦長問題等，其中，過焦點的直線較多. 選擇題或填空題與橢圓、雙曲線綜合趨勢較強，解答題增多. 【重點難點突破】 考點1 拋物線的標準方程及幾何性質 【1-1】已知是拋物線上任意一點，則當點到直線的距離最小時，點與該拋物線的準線的距離是( ) A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】當直線與拋物線相切于點時，到直線的距離最小，把代入 得，由于相切得，因此，此點到準線的距離為. 【1-2】已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸

9、上，若拋物線的準線與雙曲線5x2－y2= 20的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于，則拋物線的方程為( ) A．y2=4x B．y2=8x C．x2=4y D．x2=8y 【答案】B 【1-3】已知拋物線的準線與圓相切，則的值為( ). A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】圓化為，與圓相切，，即. 【綜合點評】1. 在求拋物線方程時，由于標準方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標準方程，應寫出四種形式的標準方程來，不

10、要遺漏某一種情況；2. 標準方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點到準線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點F不在準線上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應找到相當于p的值，才易于確定焦點坐標和準線方程. 【領悟技法】 1．涉及拋物線幾何性質的問題常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想解題的直觀性． 2．求拋物線方程應注意的問題 (1)當坐標系已建立時，應根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種； (2)要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應關系； (3)要注意參數(shù)p的幾

11、何意義是焦點到準線的距離，利用它的幾何意義來解決問題． 【觸類旁通】 【變式一】如圖，過拋物線y2＝2px (p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線方程為(　　) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 【答案】C 【變式二】【廣西欽州市高三上第一次檢測】拋物線的焦點為，點為該拋物線上的動點，點是拋物線的準線與坐標軸的交點，則的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意可知，拋物線

12、的準線方程為x=﹣1，A（﹣1，0）， 過P作PN垂直直線x=﹣1于N， 由拋物線的定義可知PF=PN，連結PA，當PA是拋物線的切線時，有最小值，則∠APN最大，即∠PAF最大，就是直線PA的斜率最大， 設在PA的方程為：y=k（x+1），所以， 解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0， 所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1， 所以∠NPA=45°， =cos∠NPA=． 故選B． 【綜合點評】1、拋物線的定義與方程的形式是解決拋物線幾何性質問題時必須要考慮的兩個重要因素． 2、求動點的軌跡方程時，可用定義法列等量關系，化簡求解；也可判斷后，用類似于公式

13、法的待定系數(shù)法求解，但要判斷準確，注意挖掘題目中的隱含條件，防止重、漏解. 考點2 拋物線的定義及應用 【2-1】過拋物線y 2=4x的焦點作直線，交拋物線于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)兩點，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】A 【解析】由于，因此，根據(jù)焦點弦公式. 【2-2】【浙江省溫州市高三第二次模擬】過拋物線的焦點的直線交該拋物線于，兩點．若（為坐標原點），則_______. 【答案】 【解析】設，則由拋物線的定義可得，則，故，故直線的方程為代入拋物線方程整理

14、可得，則，則，所以，應填答案。 【2-3】【20xx課標II，文12】已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點。若為的中點，則 。 【答案】6 【解析】如圖所示，不妨設點M位于第一象限，設拋物線的準線與軸交于點，做與點，與點， 點評：拋物線的定義是聯(lián)系拋物線上的點到焦點距離和到準線距離的橋梁，解題時要注意合理轉化． 【綜合點評】 1．已知漸近線方程y＝mx，若焦點位置不明確要分m＝或m＝討論，求離心率值，需要尋求的等式，求離心率取值范圍，需尋求關于的不等式關系，并結合求． 2．注意數(shù)形結合思想在處理漸近線夾角，離心率范圍求法中的應用． 【領悟技法

15、】 1．拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離，注意轉化思想的運用． 2.利用拋物線定義可以解決距離的最大和最小問題，該類問題一般情況下都與拋物線的定義有關．實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉化． (1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解． (2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決． 【觸類旁通】 【變式1】【湖北省部分重點中學高三起點】拋物線的焦點為，過焦點傾斜角為的直線與拋物線相交于兩點兩點，若，則拋物線的方程為 （ ） A. B.

16、 C. D. 【答案】C 【變式2】【20xx高考浙江理數(shù)】若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_______． 【答案】 【解析】 【綜合點評】利用拋物線定義進行距離轉化的同時，要注意平面幾何知識在其中的重大運用． 考點3 直線和拋物線的位置關系 【3-1】20xx課標II，文12】過拋物線的焦點，且斜率為的直線交于點（在軸上方）， 為的準線，點在上且,則到直線的距離為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【3-2】【浙江省溫州市高三8月模擬】過拋物線的焦點的直線分別交拋物線于兩點，交直線于

17、點，若，則______________． 【答案】0 【解析】直線是拋物線的準線，如圖設在直線上的射影分別是，，，，，因為，所以，，又，所以． 【3-3】【20xx課標1，文20】設A，B為曲線C：y=上兩點，A與B的橫坐標之和為4． （1）求直線AB的斜率； （2）設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程． 【答案】（1）1； （2）． 【解析】 將代入得． 當，即時，． 從而． 由題設知，即，解得． 所以直線AB的方程為． 【綜合點評】在解決直線與拋物線位置關系的問題時，其方法類似于直線與橢圓的位置關系．在解決此類問題

18、時，除考慮代數(shù)法外，還應借助平面幾何的知識，利用數(shù)形結合的思想求解． 【領悟技法】 .已知過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點。 設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則： ①焦點弦長 ② ③，其中|AF|叫做焦半徑， ④焦點弦長最小值為2p。根據(jù)時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最短，最短值為2p。 【觸類旁通】 【變式一】【20xx北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過點P（1，1）.過點（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點. （Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程； （Ⅱ

19、）求證：A為線段BM的中點. 【答案】（Ⅰ）方程為，拋物線C的焦點坐標為（，0），準線方程為.（Ⅱ）詳見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）代入點求得拋物線的方程，根據(jù)方程表示焦點坐標和準線方程；（Ⅱ）設直線l的方程為（），與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關系，直線ON的方程為，聯(lián)立求得點 的坐標，證明. 【變式2】【20xx課標3，文20】在直角坐標系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為.當m變化時，解答下列問題： （1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由； （2）證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 【答案】（1）不會；（2）詳見解析 【解析】試

20、題分析：（1）設，由AC⊥BC得；由韋達定理得，矛盾，所以不存在（2）可設圓方程為,因為過，所以 ，令 得，即弦長為3. 令得，所以過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為，所以 所以過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值 解法2：設過A，B，C三點的圓與y軸的另一個交點為D， 由可知原點O在圓內，由相交弦定理可得， 又，所以， 所以過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為，為定值. 【綜合點評】拋物線弦的中點坐標和方程的兩根之和的密切聯(lián)系是解決中點弦問題的關鍵，方程的思想也是解析幾何的核心思想. 【易錯試題常警惕】 易錯典例：求過點的直線，使它與拋物線僅有一個交點

21、。 易錯分析：對直線和拋物線有一個交點理解有誤以及． 正確解析：1.當所求直線斜率不存在時，即直線垂直軸，因為過點，所以即軸，它正好與拋物線相切。 2.當所求直線斜率為零時，直線為y = 1平行軸，它正好與拋物線只有一個交點。 3.一般地，設所求的過點的直線為,則， 令解得k = ,∴ 所求直線為 綜上，滿足條件的直線為： 溫馨提示：直線和拋物線有一個交點有兩種情況：相切以及平行于對稱軸． 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結合思想 我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:"數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們

22、認為，數(shù)形結合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系。數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 數(shù)形結合的思想，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍. 【典例】【20xx浙江，21】如圖，已知拋物線，點A，，拋物線上的點．過點B作直線AP的垂線，垂足為Q． （Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍； （Ⅱ）求的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 （Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程 解得點Q的橫坐標是，因為|PA|== |PQ|= ，所以|PA||PQ|= 令，因為，所以 f(k)在區(qū)間上單調遞增，上單調遞減，因此當k=時，取得最大值．