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1、 第55練 空間角與距離 訓練目標 (1)會求線面角、二面角；(2)會解決簡單的距離問題． 訓練題型 (1)求直線與平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距離． 解題策略 利用定義、性質(zhì)去“找”所求角，通過解三角形求角的三角函數(shù)值，盡量利用特殊三角形求解. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1.如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的投影D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 2．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的體積為，底面是邊長為的正三

2、角形．若P為△A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為(　　) A. B. C. D.π 3.如圖所示，在三棱錐S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，則點A到平面SBC的距離為(　　) A. B. C. D. 二、填空題 4.如圖，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，且等腰直角三角形ABD與等邊三角形BCD所在平面垂直，E為BC的中點，則AE與平面BCD所成角的大小為________． 5.如圖所示，在三棱錐S－ABC中，△SBC，△ABC都是等邊三角形，且BC＝1，SA＝，則二面角

3、S－BC－A的大小為________． 6．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，給出以下命題： ①異面直線C1P與B1C所成的角為定值； ②二面角P－BC1－D的大小為定值； ③三棱錐D－BPC1的體積為定值； ④異面直線A1P與BC1間的距離為定值． 其中真命題的個數(shù)為________． 三、解答題 7.(20xx·濰坊模擬)如圖所示，底面ABC為正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA＝AB＝2DC＝2a，設F為EB的中點． (1)求證：DF∥平面ABC； (2)求直線AD與平面AEB所成角的正弦值．

4、 8.(20xx·遼寧沈陽二中月考)如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點O在AB上，且OB＝OC＝AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝PO. (1)求證：PB∥平面COD； (2)求二面角O－CD－A的余弦值． 9.如圖，正四棱錐S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為BC，SC，CD的中點．設P為線段FG上任意一點． (1)求證：EP⊥AC； (2)當P為線段FG的中點時，求直線BP與平面EFG所成角的余弦值．  答案精析 1． D　[連接A1B，易知

5、∠A1AB為異面直線AB與CC1所成的角， 2． 設AB＝a，易求得AD＝a，A1D＝， 則A1B＝＝a，故cos∠A1AB＝＝.] 2．B　[因為AA1⊥底面A1B1C1，所以∠APA1為PA與平面A1B1C1所成的角．因為平面ABC∥平面A1B1C1，所以∠APA1為PA與平面ABC所成角．因為正三棱柱ABC－A1B1C1的體積為，底面三角形的邊長為，所以S△ABC·AA1＝，可得AA1＝. 又易知A1P＝1，所以tan∠APA1＝＝， 又直線與平面所成的角屬于[0，]，所以∠APA1＝.] 3．A　[作AD⊥CB交CB的延長線于點D，連接SD，如圖所示． ∵SA⊥平

6、面ABC，BC?平面ABC， ∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA?平面SAD，AD?平面SAD， ∴BC⊥平面SAD，又BC?平面SBC， ∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.在平面SAD內(nèi)，過點A作AH⊥SD于點H，則AH⊥平面SBC，AH的長即為點A到平面SBC的距離． 在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝AB·sin 60°＝a.由＝， 得AH＝＝＝，即點A到平面SBC的距離為.] 4．45° 解析　取BD的中點F，連接EF，AF(圖略)，易得AF⊥BD，AF⊥平面BCD，則∠AEF就是AE與平面BCD所成的角，由題意知EF＝CD＝BD＝

7、AF，所以∠AEF＝45°，即AE與平面BCD所成的角為45°. 5．60° 6．4 解析　對于①，因為在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動， 在正方體中有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P?平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P， 所以這兩個異面直線所成的角為定值90°，故①正確； 對于②，因為二面角P－BC1－D為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角， 而這兩個平面為固定不變的平面， 所以夾角也為定值，故②正確； 對于③，三棱錐D－BPC1的體積還等于三棱錐P－DBC1的體積， 而△DBC1面積一定， 又因為P∈AD1，而AD1∥

8、平面BDC1， 所以點A到平面BDC1的距離即為點P到該平面的距離， 所以三棱錐的體積為定值，故③正確； 對于④，因為直線A1P和BC1分別位于平面ADD1A1， 平面BCC1B1中，且這兩個平面平行， 由異面直線間的距離定義及求法， 知這兩個平面間的距離即為所求的異面直線間的距離， 所以這兩個異面直線間的距離為定值，故④正確． 綜上知，真命題的個數(shù)為4. 7．(1)證明　如圖，過點F作FH∥EA交AB于點H，連接HC. ∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC， ∴EA∥DC. 又FH∥EA， ∴FH∥DC. ∵F是EB的中點， ∴FH＝AE＝DC. ∴四邊形

9、CDFH是平行四邊形， ∴DF∥CH. 又CH?平面ABC，DF?平面ABC， ∴DF∥平面ABC. (2)解　∵△ABC為正三角形，H為AB的中點，∴CH⊥AB. ∵EA⊥平面ABC，CH?平面ABC， ∴CH⊥EA. 又EA∩AB＝A，EA?平面AEB， AB?平面AEB， ∴CH⊥平面AEB. ∵DF∥CH， ∴DF⊥平面AEB， ∴AF為DA在平面AEB上的投影， ∴∠DAF為直線AD與平面AEB所成的角． 在Rt△AFD中，AD＝a，DF＝a，sin∠DAF＝＝， ∴直線AD與平面AEB所成角的正弦值為. 8．(1)證明　因為PO⊥平面ABC，DA∥P

10、O，AB?平面ABC， 所以PO⊥AB，DA⊥AB. 又DA＝AO＝PO，所以∠AOD＝45°. 因為OB＝AB， 所以OA＝AB，所以OA＝OB， 又AO＝PO，所以OB＝OP， 所以∠OBP＝45°，即OD∥PB. 又PB?平面COD，OD?平面COD， 所以PB∥平面COD. (2)解　如圖，過A作AM⊥DO，垂足為M， 過M作MN⊥CD于N，連接AN， 則∠ANM為二面角O－CD－A的平面角．設AD＝a， 在等腰直角三角形AOD中，得AM＝a， 在直角三角形COD中，得MN＝a， 在直角三角形AMN中，得AN＝a， 所以cos∠ANM＝. 9．(1)

11、證明　設AC交BD于O點， ∵S－ABCD為正四棱錐， ∴SO⊥底面ABCD，BD⊥AC， 又AC?平面ABCD， ∴SO⊥AC，∵BD∩SO＝O， BD?平面SBD，SO?平面SBD， ∴AC⊥平面SBD， ∵E，F(xiàn)，G分別為BC，SC，CD的中點， ∴FG∥SD，BD∥EG. 又FG∩EG＝G，SD∩BD＝D， FG?平面EFG，EG?平面EFG， SD?BSD，BD?平面BSD， ∴平面EFG∥平面BSD， ∴AC⊥平面GEF. 又∵PE?平面GEF，∴PE⊥AC. (2)解　過B作BH⊥GE于H，連接PH， ∵BD⊥AC，BD∥GH， ∴BH∥AC， 由(1)知AC⊥平面GEF， 則BH⊥平面GEF. ∴∠BPH就是直線BP與平面EFG所成的角． 在Rt△BHP中，BH＝，PH＝，PB＝， 故cos∠BPH＝＝.