《新編江蘇高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書：第2部分 八大難點突破 難點1　與三角變換、平面向量綜合的三角形問題 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編江蘇高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書：第2部分 八大難點突破 難點1　與三角變換、平面向量綜合的三角形問題 Word版含答案（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 12分 難點一　 與三角變換、平面向量綜合的三角形問題 (對應(yīng)學(xué)生用書第62頁) 高考數(shù)學(xué)命題注重知識的整體性和綜合性，重視在知識的交匯處考察，對三角形問題的考察重點在于三角變換、向量綜合，它們之間互相聯(lián)系、互相交叉，不僅考察三角變換，同時深化了向量的運算，體現(xiàn)了向量的工具作用，試題綜合性較高，所以要求學(xué)生有綜合處理問題的能力，縱觀最近幾年高考，試題難度不大，但是如果某一知識點掌握不到位，必會影響到整個解題過程 ，本文從以下幾個方面闡述解題思路，以達到拋磚引玉的目的． 1．向量運算與三角形問題的綜合運用 解答這類題，首先向量的基本概念和運算必須熟練，要很

2、好的掌握正弦定理、余弦定理的應(yīng)用條件，其次要注意把題目中的向量用三角中邊和角表示，體現(xiàn)向量的工具作用． 【例1】　(鎮(zhèn)江市高三上學(xué)期期末)已知向量m＝(cos α，－1)， n＝(2，sin α)，其中α∈，且m⊥n. (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝，且β∈，求角β的值． [解]　法一(1)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α， 代入cos2α＋sin2α＝1，得5cos2α＝1， 且α∈， 則cos α＝，sin α＝， 則cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－. (2)由α∈，β∈得，α－β∈. 因

3、sin(α－β)＝，則cos(α－β)＝. 則sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝， 因β∈，則β＝. 法二(1)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2， 故cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－. (2)由(1)知，2cos α－sin α＝0， 且cos2α＋sin2α＝1，α∈，β∈， 則sin α＝，cos α＝， 由α∈，β∈得，α－β∈. 因sin(α－β)＝，則cos(α－β)＝. 則sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsi

4、n(α－β) ＝×－×＝， 因β∈，則β＝. 2．三角函數(shù)與三角形問題的結(jié)合 三角函數(shù)的起源是三角形，所以經(jīng)常會聯(lián)系到三角形，這類型題是在三角形這個載體上的三角變換，第一：既然是三角形問題，就會用到三角形內(nèi)角和定理和正、余弦定理以及相關(guān)三角形理論，及時邊角轉(zhuǎn)換，可以幫助發(fā)現(xiàn)問題解決思路；第二：它也是一種三角變換，只不過角的范圍縮小了，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的． 【例2】　(20xx·江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊．若acos B＝3，bcos A＝1，且A－B＝. (1)求邊c的長； (2)求角B的大小. 【導(dǎo)學(xué)號：5

5、6394089】 [解]　(1)∵acos B＝3，bcos A＝1，∴a×＝3，b×＝1， 化為：a2＋c2－b2＝6c，b2＋c2－a2＝2c. 相加可得：2c2＝8c，解得c＝4. (2)由(1)可得：a2－b2＝8. 由正弦定理可得：＝＝， 又A－B＝，∴A＝B＋，C＝π－(A＋B)＝π－，可得sin C＝sin. ∴a＝，b＝. ∴16sin2－16sin2B＝8sin2， ∴1－cos－(1－cos 2B)＝sin2，即cos 2B－cos＝sin2， ∴－2sinsin＝sin2， ∴sin＝0或sin＝1，B∈. 解得：B＝. 3.三角變換、向量、三角

6、形問題的綜合 高考會將幾方面結(jié)合起來命題，三角函數(shù)主要考察它的圖象、常見性質(zhì)；三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有關(guān)的三角形性質(zhì)；向量主要考察向量的運算、向量的模、向量的夾角、向量的垂直以及向量的共線，體現(xiàn)向量的工具作用，三角變換主要考察求值、化簡、變形． 【例3】　(揚州市高三上學(xué)期期中)在△ABC中，AB＝6，AC＝3，·＝－18. (1)求BC的長； (2)求tan 2B的值． [解]　(1)因為·＝AB×AC×cos A＝－18，且AB＝6，AC＝3， BC＝ ＝＝3. (2)法一：在△ABC中，AB＝6，AC＝3，BC＝3， cos B＝＝＝， 又B∈(0，π)

7、，所以sin B＝＝， 所以tan B＝＝， 所以tan 2B＝＝＝. 法二：由AB＝6，AC＝3，·＝AB×AC×cos A＝－18可得cos A＝－， 又A∈(0，π)，所以A＝. 在△ABC中，＝，所以sin B＝＝＝， 又B∈，所以cos B＝＝，所以tan B＝＝， 所以tan 2B＝＝＝. 4．實際應(yīng)用中的三角形問題 在實際生活中往往會遇到關(guān)于距離、角度、高度的測量問題，可以借助平面圖形，將上述量放在一個三角形中，借助解三角形知識達到解決問題的目的． 【例4】　(20xx·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l(一條南北方向的直線)3.8海里的A

8、處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30°方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊，已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行． 圖1 (1)若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功；(參考數(shù)據(jù)：sin 17°≈，≈5.744 6) (2)問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截？并說明理由． [解]　(1)設(shè)緝私艇在C處與走私船相遇(如圖)，則AC＝3BC. △ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC＝＝， ∴∠BAC＝17°， ∴緝私艇應(yīng)向北偏東47°方向追擊， △ABC

9、中，由余弦定理可得cos 120°＝，∴BC≈1.686 15. B到邊界線l的距離為3.8－4sin 30°＝1.8， ∵1.686 15＜1.8， ∴能用最短時間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功． (2)以A為原點，建立如圖所示的坐標系，則B(2,2)，設(shè)緝私艇在P(x，y)處與走私船相遇，則PA＝3PB， 即x2＋y2＝9[(x－2)2＋(y－2)2]，即2＋2＝， ∴P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓， ∵圓心到邊界線l：x＝3.8的距離為1.55，大于圓的半徑， ∴無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截． 5．綜合上述幾個方面的闡述，解三角形問題不是孤立的，而是跟其他相

10、關(guān)知識緊密聯(lián)系在一起，通過向量的工具作用，將條件集中到三角形中，然后利用三角恒等變換、正弦定理和余弦定理及其相關(guān)知識解題，是常見的解題思路，為此，熟練掌握向量的基本概念和向量的運算，熟練進行三角變換和熟練運用正弦定理以及余弦定理是解題的關(guān)鍵． 6．向量與三角形問題的結(jié)合 向量具有“雙重身份”，既可以像數(shù)一樣滿足“運算性質(zhì)”進行代數(shù)形式的運算，又可以利用它的幾何意義進行幾何形式的變換，同時向量加、減法的幾何運算遵循三角形法則和平行四邊形法則，這為向量和三角形問題的結(jié)合，提供了很好的幾何背景． 6．1　向量與三角形談“心” 內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓圓心 )：三角形三條內(nèi)角平分線的交點； 外心(

11、三角形外接圓的圓心)：三角形各邊中垂線的交點； 垂心：三角形各邊上高的交點； 重心：三角形各邊中線的交點， 用向量形式可表示為如下形式： 若P是△ABC內(nèi)的一點， ?P是△ABC的內(nèi)心； 若D、E兩點分別是△ABC的邊BC、CA上的中點，且 ?P是△ABC的外心； 若＋＋＝0，則G是△ABC的重心； 若P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且·＝·＝·，則P是△ABC的垂心． 【例5】　(20xx·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)在△ABC中，若·＋2·＝·，則的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：56394090】 [解析]　在△ABC中，設(shè)三條邊分別為a、b、c，三角分別為A、B

12、、C， 由·＋2·＝·， 得ac·cos B＋2bc·cos A＝ba·cos C， 由余弦定理得：(a2＋c2－b2)＋(b2＋c2－a2)＝(b2＋a2－c2)， 化簡得＝2，∴＝，由正弦定理得＝＝. 故答案為：. [答案]　 6．2　判斷三角形形狀 三角形的邊可以看做向量的模長，三角形的內(nèi)角可以看做向量的夾角，所以可利用向量的數(shù)量積和夾角公式或者其他線性運算，結(jié)合平面幾何知識來判斷三角形的形狀 【例6】　△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，(＋)·＝0，則△ABC一定是________三角形． [解析]　△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，則有2B＝A＋C，所以B＝，設(shè)D是AC邊的中點， 則＋＝2，所以2·＝0，⊥，所以△ABC一定是等邊三角形． [答案]　等邊