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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 回扣7　立體幾何 1．概念理解 (1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長(zhǎng)方體之間的關(guān)系． (2)三視圖 ①三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從幾何的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．畫三視圖的基本要求：正俯一樣長(zhǎng)，俯側(cè)一樣寬，正側(cè)一樣高． ②三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正(主)視圖的下面，長(zhǎng)度與正(主)視圖一樣；側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度和正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣． 2．柱、錐、臺(tái)、球體的表面積和體積 側(cè)面展開圖 表面積 體積 直棱柱 長(zhǎng)方形 S＝2S底＋S

2、側(cè) V＝S底·h 圓柱 長(zhǎng)方形 S＝2πr2＋2πrl V＝πr2·l 棱錐 由若干三角形構(gòu)成 S＝S底＋S側(cè) V＝S底·h 圓錐 扇形 S＝πr2＋πrl V＝πr2·h 棱臺(tái) 由若干個(gè)梯形構(gòu)成 S＝S上底＋S下底＋S側(cè) V＝(S＋＋S′)·h 圓臺(tái) 扇環(huán) S＝πr′2＋π(r＋r′)l＋πr2 V＝π(r2＋rr′＋r′2)·h 球 S＝4πr2 S＝πr3 3.平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖 (1) (2)兩個(gè)結(jié)論 ①?a∥b，②?b⊥α. 4．用空間向量證明平行垂直 設(shè)直線l的方向向量為a＝

3、(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分別為μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．則有： (1)線面平行 l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)線面垂直 l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行 α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 5．用向量求空間角 (1)直線l1，l2的夾角θ有cosθ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l(wèi)1，l2分別是直線l1，l2的方向向量)． (2

4、)直線l與平面α的夾角θ有sin θ＝|cos〈l，n〉|(其中l(wèi)是直線l的方向向量，n是平面α的法向量)． (3)平面α，β的夾角θ有cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，則α—l—β二面角的平面角為θ或π－θ(其中n1，n2分別是平面α，β的法向量)． 1．混淆“點(diǎn)A在直線a上”與“直線a在平面α內(nèi)”的數(shù)學(xué)符號(hào)關(guān)系，應(yīng)表示為A∈a， a?α. 2．在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線為虛線．在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)一般是以正(主)視圖和俯視圖為主． 3．易混淆幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別，幾何體的表面積

5、是幾何體的側(cè)面積與所有底面面積之和，不能漏掉幾何體的底面積；求錐體體積時(shí)，易漏掉體積公式中的系數(shù). 4．不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件，導(dǎo)致判斷出錯(cuò)．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結(jié)論，就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m?α的限制條件． 5．注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系．對(duì)照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系． 6．幾種角的范圍 兩條異面直線所成的角0°<α≤90°； 直線與平面所成的角0°≤α≤90°； 二面角0

6、°≤α≤180°； 兩條相交直線所成的角(夾角)0°<α≤90°； 直線的傾斜角0°≤α<180°； 兩個(gè)向量的夾角0°≤α≤180°； 銳角0°<α<90°. 7．空間向量求角時(shí)易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系，如求解二面角時(shí)，不能根據(jù)幾何體判斷二面角的范圍，忽視向量的方向，誤以為兩個(gè)法向量的夾角就是所求的二面角，導(dǎo)致出錯(cuò)． 1．(2017·重慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是(　　) A. B. C. D．π 答案　D 解析　由三視圖可知，該幾何體為球的，其半徑為1，則體積V＝××π×13＝π. 2．直三棱柱ABC—A1B1C

7、1的直觀圖及三視圖如圖所示，D為AC的中點(diǎn)，則下列命題是假命題的是(　　) A．AB1∥平面BDC1 B．A1C⊥平面BDC1 C．直三棱柱的體積V＝4 D．直三棱柱的外接球的表面積為4π 答案　D 解析　由三視圖可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面B1C1CB是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2. 連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD. 在△CAB1中，O，D分別是B1C，AC的中點(diǎn)， ∴OD∥AB1， 又OD?平面BDC1，AB1?平面BDC1， ∴AB1∥平面BDC1.故A正確； 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A

8、A1⊥平面ABC， ∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D為AC的中點(diǎn)， ∴BD⊥AC， 又AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面AA1C1C， ∴BD⊥平面AA1C1C. ∴BD⊥A1C. 又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B， ∴A1B1⊥平面B1C1CB， ∴A1B1⊥BC1. ∵BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1， ∴BC1⊥平面A1B1C. ∴BC1⊥A1C， 又BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BDC1， ∴A1C⊥平面BDC1.故B正確； V＝S△ABC×C1C＝×2×2×2＝4，故C正確； 此直三棱柱的外接球的半徑為，其表面積為12π，D錯(cuò)．

9、故選D. 3．已知直線l，m和平面α，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．若l∥m，m?α，則l∥α B．若l⊥α，m?α，則l⊥m C．若l⊥m，l⊥α，則m∥α D．若l∥α，m?α，則l∥m 答案　B 解析　若l∥m，m?α，則l∥α或l?α，故A錯(cuò)誤；若l⊥α，m?α，則l⊥m，B正確；若l⊥m，l⊥α，則m?α或m∥α，故C錯(cuò)誤；若l∥α，m?α，則l∥m或l，m異面，故選B. 4．已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案　C 解析　由題意知，α∩β＝l，∴l(xiāng)?β，∵n⊥β

10、，∴n⊥l. 故選C. 5．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(　　) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α與β相交，且交線垂直于l D．α與β相交，且交線平行于l 答案　D 解析　假設(shè)α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，得m∥n，這與已知m，n為異面直線矛盾，那么α與β相交，設(shè)交線為l1，則l1⊥m，l1⊥n，在直線m上任取一點(diǎn)作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直線m與n1所確定的平面，所以l1∥l. 6.如圖，正方體AC1的棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，以下四個(gè)命題：①點(diǎn)H是△A1B

11、D的垂心；②AH垂直于平面CB1D1；③直線AH和BB1所成角為45°；④AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1，其中假命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　∵AB＝AA1＝AD，BA1＝BD＝A1D， ∴三棱錐A－BA1D為正三棱錐， ∴點(diǎn)H是△A1BD的垂心，故①正確； ∵平面A1BD與平面B1CD1平行，AH⊥平面A1BD， ∴AH⊥平面CB1D1，故②正確； ∵AA1∥BB1， ∴∠A1AH就是直線AH和BB1所成的角， 在直角三角形AHA1中， ∵AA1＝1，A1H＝××＝， ∴sin∠A1AH＝≠，故③錯(cuò)誤； 根據(jù)正方體的對(duì)稱性得

12、到AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)C1， 故④正確，故選B. 7．將正方體的紙盒展開如圖，直線AB，CD在原正方體的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交成60°角 D．異面且成60°角 答案　D 解析　如圖，直線AB，CD異面．因?yàn)镃E∥AB，所以∠ECD即為直線AB，CD所成的角，因?yàn)椤鰿DE為等邊三角形，故∠ECD＝60°. 8．長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，其同一頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)分別為3,4,5，則該球面的表面積為(　　) A．25π B．50π C．75π D.π 答案　B 解析　設(shè)球的半徑為R，由題意可得(2R)2＝32＋42＋52＝50，∴4R2＝5

13、0，球的表面積為S＝4πR2＝50π. 9．如圖，三棱錐A－BCD的棱長(zhǎng)全相等，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，則直線CE與BD所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　方法一　取AB中點(diǎn)G，連接EG，CG. ∵E為AD中點(diǎn)，∴EG∥BD. ∴∠GEC為CE與BD所成的角．設(shè)AB＝1， 則EG＝BD＝， CE＝CG＝， ∴cos∠GEC＝ ＝ ＝. 方法二　設(shè)AB＝1，則·＝(－)·(－)＝·(－) ＝2－·－·＋· ＝－cos 60°－cos 60°＋cos 60°＝. ∴cos〈，〉＝＝＝，故選A. 10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)

14、棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1,0)，B1(，0,2)，則1＝(，1,2)，則＝(－，0,0)為側(cè)面ACC1A1的法向量， 故sin θ＝＝. 11．如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)M∈AB，點(diǎn)N∈AD，若＝，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是________． 答案　平行 解析　由＝，得MN∥BD. 而BD?平面BDC，MN?平面BDC， 所以MN∥平面BDC. 12．已知長(zhǎng)方體ABCD

15、—A′B′C′D′，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)確定的直線中，與平面AB′D′平行的有________條． 答案　6 解析　如圖，連接EG，EH，F(xiàn)G，∵EH綊FG， ∴EFGH四點(diǎn)共面，由EG∥AB′，EH∥AD′， EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A， 可得平面EFGH與平面AB′D′平行， ∴符合條件的共有6條． 13．點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，則PB與AC所成角的大小是________． 答案　 解析　以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間

16、直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1,0)，因此 cos〈，〉＝＝， 因此PB和AC所成的角為60°，即. 14．設(shè)m，n是不同的直線，α，β，γ是不同的平面，有以下四個(gè)命題： ①?β∥γ；②?m⊥β； ③?α⊥β；④?m∥α. 其中，正確的命題是________．(填序號(hào)) 答案　①③ 解析?、僦衅叫杏谕黄矫娴膬善矫嫫叫惺钦_的；②中m，β可能平行，相交或直線在平面內(nèi)；③中由面面垂直的判定定理可知結(jié)論正確；④中m，α可能平行或線在面內(nèi)． 15．如圖(1)，在邊長(zhǎng)為4

17、的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點(diǎn)，AC∩EF＝O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖(2)所示的五棱錐P－ABFED，且PB＝. (1)求證：BD⊥PA； (2)求四棱錐P－BFED的體積． (1)證明　∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點(diǎn)， ∴BD∥EF. ∵菱形ABCD的對(duì)角線互相垂直， ∴BD⊥AC. ∴EF⊥AC. ∴EF⊥AO，EF⊥PO. ∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO＝O， ∴EF⊥平面POA， ∴BD⊥平面POA， 又PA?平面POA， ∴BD⊥PA. (2)解　設(shè)A

18、O∩BD＝H. 連接BO， ∵∠DAB＝60°， ∴△ABD為等邊三角形， ∴BD＝4，BH＝2， HA＝2，HO＝PO＝， 在Rt△BHO中，BO＝＝， 在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2， ∴PO⊥BO. ∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF?平面BFED， BO?平面BFED， ∴OP⊥平面BFED， 梯形BFED的面積S＝(EF＋BD)·HO＝3， ∴四棱錐P－BFED的體積 V＝S·PO＝×3×＝3. 16.如圖，四棱錐S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DE＝λa(0＜λ≤1)． (1)求證：對(duì)任

19、意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE； (2)若二面角C－AE－D的大小為60°，求λ的值． (1)證明　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，E(0,0，λa)． ∴＝(－a，a,0)，＝(－a，－a，λa)， ∴·＝0對(duì)任意λ∈(0,1]都成立，即對(duì)任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE. (2)解　顯然n＝(0,1,0)是平面ADE的一個(gè)法向量，設(shè)平面ACE的法向量為m＝(x，y，z)， ∵＝(－a，a,0)，＝(－a,0，λa)，∴ 即 ∴ 取z＝1，則x＝y(tǒng)＝λ， ∴m＝(λ，λ，1)， ∵二面角C－AE－D的大小為60°， ∴cos〈n，m〉＝＝＝， ∵λ∈(0,1]，∴λ＝.