5、單位：m)，則力F所做的功W＝__________________________.
自我檢測(cè)
1．計(jì)算定積分?3xdx的值為 ( )
A. B．75
C. D．25
2．定積分?[－x]dx等于 ( )
A. B.－1
C. D.
3．如右圖所示，陰影部分的面積是 (
6、)
A．2 B．2－
C. D.
4．(2010·湖南)?dx等于 ( )
A．－2ln 2 B．2ln 2
C．－ln 2 D．ln 2
5．若由曲線y＝x2＋k2與直線y＝2kx及y軸所圍成的平面圖形的面積S＝9，則k＝________.
探究點(diǎn)一 求定積分的值
例1 計(jì)算下列定積分：
(1)；
(2)；
(3)?(2sin x－3ex＋2)dx；
(4)?|x2－1|dx.
變式遷移1 計(jì)算下
7、列定積分：
(1)?|sin x|dx；(2)?sin2xdx.
探究點(diǎn)二 求曲線圍成的面積
例2 計(jì)算由拋物線y＝x2和y＝3－(x－1)2所圍成的平面圖形的面積S.
變式遷移2 計(jì)算曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍圖形的面積．
探究點(diǎn)三 定積分在物理中的應(yīng)用
例3 一輛汽車的速度－時(shí)間曲線如圖所示，求此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程．
變式遷移3 A、B兩站相距7.2 km，一輛電車從A站開往B站，電車開出t s后到達(dá)途中C點(diǎn)，這一段速度為1.2t m/s，到C點(diǎn)時(shí)速度達(dá)24 m/s，從C點(diǎn)到
8、B點(diǎn)前的D點(diǎn)以勻速行駛，從D點(diǎn)開始剎車，經(jīng)t s后，速度為(24－1.2t)m/s，在B點(diǎn)恰好停車，試求：
(1)A、C間的距離；
(2)B、D間的距離；
(3)電車從A站到B站所需的時(shí)間．
函數(shù)思想的應(yīng)用
例 (12分)在區(qū)間[0,1]上給定曲線y＝x2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值．
【答題模板】
解 S1面積等于邊長(zhǎng)為t與t2的矩形面積去掉曲線y＝x2與x軸、直線x＝t所圍成的面積，即S1＝t·t2－?x2dx＝t3.[2分]
S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，
9、矩形邊長(zhǎng)分別為t2,1－t，即S2＝?x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.[4分]
所以陰影部分面積S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．[6分]
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0時(shí)，得t＝0或t＝.[8分]
t＝0時(shí)，S＝；t＝時(shí)，S＝；t＝1時(shí)，S＝.[10分]
所以當(dāng)t＝時(shí)，S最小，且最小值為.[12分]
【突破思維障礙】
本題既不是直接求曲邊梯形面積問題，也不是直接求函數(shù)的最小值問題，而是先利用定積分求出面積的和，然后利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求面積和的最小值，難點(diǎn)在于把用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值的問題置于先求定積分的題境中，突出考查學(xué)生知識(shí)的遷移能力和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識(shí)．
1
10、．定積分?f(x)dx的幾何意義就是表示由直線x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)圍成的曲邊梯形的面積；反過來，如果知道一個(gè)這樣的曲邊梯形的面積也就知道了相應(yīng)定積分的值，如?dx＝π (半徑為2的個(gè)圓的面積)，?dx＝2π.
2．運(yùn)用定積分的性質(zhì)可以化簡(jiǎn)定積分計(jì)算，也可以把一個(gè)函數(shù)的定積分化成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)定積分的和或差．
3．計(jì)算一些簡(jiǎn)單的定積分問題，解題步驟是：第一步，把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)積的和或差；第二步，把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；第三步，分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的使F′(x)＝f(x)的F(x)；第
11、四步，再分別用牛頓—萊布尼茨公式求各個(gè)定積分的值后計(jì)算原定積分的值．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．下列值等于1的積分是 ( )
A．?xdx B．?(x＋1)dx
C．?dx D．?1dx
2．(2011·汕頭模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝則?f(x)dx等于 ( )
A. B.
C．6 D．17
3．已知f(x)為偶函數(shù)且?f(x)dx＝8，則?f(x)dx等于
12、 ( )
A．0 B．4 C．8 D．16
4．(2011·深圳模擬)曲線y＝sin x，y＝cos x與直線x＝0，x＝所圍成的平面區(qū)域的面積為 ( )
A．?0(sin x－cos x)dx
B．2?0(sin x－cos x)dx
C．?0(cos x－sin x)dx
D．2?0(cos x－sin x)dx
5．(2011·臨渭區(qū)高三調(diào)研)函數(shù)f(x)＝?t(t－4)dt在[－
13、1,5]上 ( )
A．有最大值0，無最小值
B．有最大值0，最小值－
C．有最小值－，無最大值
D．既無最大值也無最小值
題號(hào)
1
2
3
4
5
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．若1 N的力使彈簧伸長(zhǎng)2 cm，則使彈簧伸長(zhǎng)12 cm時(shí)克服彈力做的功為__________J.
7．?(2xk＋1)dx＝2，則k＝________.
8．(2010·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三三診)若f(x)在R上可導(dǎo)，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，則?f(x)dx＝________.
三、解答題(共38分)
14、
9．(12分)計(jì)算以下定積分：
(1)?dx； (2)?2dx；
(3)?0(sin x－sin 2x)dx； (4)?|3－2x|dx.
10．(12分)設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f′(x)＝2x－2.
(1)求y＝f(x)的表達(dá)式；
(2)求y＝f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積．
11．(14分)求曲線y＝ex－1與直線x＝－ln 2，y＝e－1所圍成的平面圖形的面積．
答案 自主梳理
1．x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x) 面積
2．(1)k?f(x)dx (
15、2)?f1(x)dx±?f2(x)dx (3)?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a0時(shí)，S＝?(x2＋k2－2kx)dx
＝?(x－k)2dx＝(x－k)3|＝0－(－k)3＝，
由題意知＝9，∴k＝3.
由圖象的對(duì)稱性可知k＝－3也滿足題意，故
16、k＝±3.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 (1)與絕對(duì)值有關(guān)的函數(shù)均可化為分段函數(shù)．
①分段函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的積分可分成幾段積分的和的形式．
②分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定，按照原函數(shù)分段的情況分即可，無需分得過細(xì)．
(2)f(x)是偶函數(shù)，且在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則?f(x)dx＝2?f(x)dx.
解 (1)?dx
＝?xdx＋?dx＋?dx
＝x2|＋ln x|－|
＝(e2－1)＋(ln e－ln 1)－
＝e2－＋.
(2)?0(sin x－2cos x)dx
＝?0sin xdx－2?0cos xdx
＝(－cos x)|0
17、－2sin x|0
＝－cos －(－cos 0)－2
＝－1.
(3)?(2sin x－3ex＋2)dx
＝2?sin xdx－3?exdx＋?2dx
＝2(－cos x)|－3ex|＋2x|
＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(eπ－e0)＋2(π－0)
＝7－3eπ＋2π.
(4)∵0≤x≤2，
于是|x2－1|＝
∴?|x2－1|dx＝?(1－x2)dx＋?(x2－1)dx
＝|＋|＝2.
變式遷移1 解 (1)∵(－cos x)′＝sin x，
∴?|sin x|dx＝?|sin x|dx＋?|sin x|dx
＝?sin xdx－?sin x
18、dx
＝－cos x|＋cos x|
＝－(cos π－cos 0)＋(cos 2π－cos π)＝4.
(2)?sin2xdx＝?dx
＝?dx－?cos 2xdx
＝x|－|
＝－
＝.
例2 解題導(dǎo)引 求曲線圍成的面積的一般步驟為：(1)作出曲線的圖象，確定所要求的面積；(2)聯(lián)立方程解出交點(diǎn)坐標(biāo)；(3)用定積分表示所求的面積；(4)求出定積分的值．
解 作出函數(shù)y＝x2和y＝3－(x－1)2的圖象(如圖所示)，則所求平面圖形的面積S為圖中陰影部分的面積．
解方程組得或
所以兩曲線交點(diǎn)為A，B(2,2)．
所以S＝?2－[3－(x－1)2]dx－?2－x2dx
19、
＝?2－(－x2＋2x＋2)dx－?2－x2dx
＝2－－2－
＝－－×
＝4.
變式遷移2 解
如圖，
設(shè)f(x)＝x＋3，
g(x)＝x2－2x＋3，
兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為A，B，
由
得或
∴曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍圖形的面積
S＝?[f(x)－g(x)]dx
＝?[(x＋3)－(x2－2x＋3)dx]
＝?(－x2＋3x)dx
＝|＝.
故曲線與直線所圍圖形的面積為.
例3 解題導(dǎo)引 用定積分解決變速運(yùn)動(dòng)的位置與路程問題時(shí)，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵．變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)往往是分段函數(shù)，故求積分時(shí)要利用積分的性質(zhì)將其分成
20、幾段積分，然后求出積分的和，即可得到答案．s(t)求導(dǎo)后得到速度，對(duì)速度積分則得到路程．
解 方法一 由速度—時(shí)間曲線易知．
v(t)＝
由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式可得
s＝?3tdt＋?30dt＋?(－1.5t＋90)dt
＝t2|＋30t|＋|＝1 350 (m)．
答 此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 350 m.
方法二 由定積分的物理意義知，汽車1 min內(nèi)所行駛的路程就是速度函數(shù)在[0,60]上的積分，也就是其速度曲線與x軸圍成梯形的面積，
∴s＝(AB＋OC)×30＝×(30＋60)×30＝1 350 (m)．
答 此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 3
21、50 m.
變式遷移3 解 (1)設(shè)v(t)＝1.2t，令v(t)＝24，∴t＝20.
∴A、C間距離|AC|＝?1.2tdt
＝(0.6t2)|＝0.6×202＝240 (m)．
(2)由D到B時(shí)段的速度公式為
v(t)＝(24－1.2t) m/s，可知|BD|＝|AC|＝240 (m)．
(3)∵|AC|＝|BD|＝240 (m)，
∴|CD|＝7 200－240×2＝6 720 (m)．
∴C、D段用時(shí)＝280 (s)．
又A、C段與B、D段用時(shí)均為20 s，
∴共用時(shí)280＋20＋20＝320 (s)．
課后練習(xí)區(qū)
1．D 2.B 3.D 4.D 5.B
6．
22、0.36
解析 設(shè)力F與彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度x的關(guān)系式為F＝kx，
則1＝k×0.02，∴k＝50，
∴F＝50x，伸長(zhǎng)12 cm時(shí)克服彈力做的功
W＝?50xdx＝x2|＝×0.122＝0.36(J)．
7．1
解析 ∵?(2xk＋1)dx＝
＝＋1＝2，∴k＝1.
8．－18
解析 ∵f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)，
即f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3，
∴?f(x)dx＝×33－4×32＋3×3＝－18.
9．解 (1)函數(shù)y＝2x2－的一個(gè)原函數(shù)是y＝x3－ln x，
所以?dx＝
＝－ln 2－＝－ln 2.……………
23、…………………………………………………(3分)
(2)?2dx＝?dx
＝
＝－(2＋ln 2＋4)
＝ln ＋.…………………………………………………………………………………(6分)
(3)函數(shù)y＝sin x－sin 2x的一個(gè)原函數(shù)為
y＝－cos x＋cos 2x，所以?0(sin x－sin 2x)dx
＝0
＝－＝－.……………………………………………………………(9分)
＝(3x－x2)|1＋(x2－3x)|2＝.…………………………………………………………(12分)
10．解 (1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
則f′(x)＝2ax＋b.又
24、f′(x)＝2x－2，
所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.………………………………………………(4分)
又方程f(x)＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2－2x＋1.………………………………………………………………………(8分)
(2)依題意，所求面積S＝?(x2－2x＋1)dx
＝|＝.……………………………………………………………………(12分)
11．解 畫出直線x＝－ln 2，y＝e－1及曲線y＝ex－1如圖所示，則所求面積為圖中陰影部分的面積．
由解得B(1，e－1)．
由解得A.…………………………………………………(4分)
此時(shí)，C(－ln 2，e－1)，D(－ln 2,0)．
所以S＝S曲邊梯形BCDO＋S曲邊三角形OAD
＝?(e－1)dx－?(ex－1)dx＋………………………………………(7分)
＝(e－1)x|－(ex－x)|＋|(ex－x)|| ………………………………………………(10分)
＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－1－e0)＋|e0－(e－ln 2＋ln 2)|
＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－2)＋ln 2－
＝eln 2＋.……………………………………………………………………………(14分)
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