3、2＋4y2＝4k表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，即方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，可得0b>0)，由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為＋＝1，故選A.
答案：A
4．橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若|AF1|，|F1F
4、2|，|F1B|成等差數(shù)列，則此橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.－2
解析：由題意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝＝.
答案：A
5．已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2＝，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為( )
A. B.
C．1 D.
解析：如圖，假設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓和雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的點(diǎn)，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴
5、|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.設(shè)|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，則在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，化簡(jiǎn)得，(2－)a＋(2＋)a＝4c2，設(shè)橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，∴＋＝4，又＋≥2 ＝，
∴≤4，即e1·e2≥，即橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為.故選B.
答案：B
6．若x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．
解析：將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得＋＝1，因?yàn)閤2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以>2
6、，解得0b>0)的離心率等于，其焦點(diǎn)分別為A，B.C為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則在△ABC中，的值等于 ．
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以由橢圓定義知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝
7、＝3.
答案：3
9．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，過F2作垂直于x軸的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，滿足|AF2|＝c.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)M，N是橢圓C短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)(異于橢圓C的頂點(diǎn))，直線MP，NP分別和x軸相交于R，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若||·||＝4，求橢圓C的方程．
解析：(1)∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為c，
代入橢圓，得＋＝1.
解得|y|＝＝|AF2|，即＝c，
∴a2－c2＝ac.
∴e2＋e－1＝0，解得e＝.
(2)設(shè)M(0，b)，N(0，－b)，P(x0，y0)，
則
8、直線MP的方程為y＝x＋b.
令y＝0，得點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為.
直線NP的方程為y＝x－b.
令y＝0，得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為.
∴||·||＝＝＝a2＝4，
∴c2＝3，b2＝1，
∴橢圓C的方程為＋y2＝1.
10．(20xx·沈陽模擬)橢圓C：＋＝1(a>b>0)，其中e＝，焦距為2，過點(diǎn)M(4,0)的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在A，M之間．又線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且＝λ.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)求實(shí)數(shù)λ的值．
解析：(1)由條件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)由題意可知A，B，M三點(diǎn)共線，
設(shè)點(diǎn)A(x1，
9、y1)，點(diǎn)B(x2，y2)．
若直線AB⊥x軸，則x1＝x2＝4，不合題意．
則AB所在直線l的斜率存在，設(shè)為k，
則直線l的方程為y＝k(x－4)．
由
消去y得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0.①
由①的判別式Δ＝322k4－4(4k2＋3)·(64k2－12)＝144(1－4k2)>0，
解得k2<，且
由＝＝，可得k2＝，
將k2＝代入方程①，得7x2－8x－8＝0.
則x1＝，x2＝.
又因?yàn)椋?4－x1，－y1)，＝(x2－4，y2)，
＝λ，所以λ＝，所以λ＝.
B組——能力提升練
1．(20xx·合肥市質(zhì)檢)已知橢圓M：＋y2＝1，
10、圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點(diǎn)P，設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為k1，橢圓M在點(diǎn)P處的切線斜率為k2，則的取值范圍為( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(3,6) D．(3,5)
解析：由于橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點(diǎn)P，所以解得3b>0)的左、右焦
11、點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得＝，則該橢圓離心率的取值范圍為
( )
A．(0，－1) B．(，1)
C．(0，) D．(－1,1)
解析：在△MF1F2中，＝，
而＝，
∴＝＝.①
又M是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，
F1，F(xiàn)2是該橢圓的焦點(diǎn)，
∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②
由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝.
顯然，|MF2|>|MF1|，
∴a－c<|MF2|0，∴e2＋2e－1>0，
解得e>－1，又e<1，∴－1
12、)為橢圓＋＝1內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過P引一條弦，使此弦被P點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為 ．
解析：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為k，弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，
則＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得＋＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－.
∴此弦所在的直線方程為y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
4．已知橢圓C：＋y2＝1的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(x0，y0)滿足0<＋y<1，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是 ．
解
13、析：由點(diǎn)P(x0，y0)滿足0<＋y<1，可知P(x0，y0)一定在橢圓內(nèi)(不包括原點(diǎn))，因?yàn)閍＝，b＝1，所以由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2，當(dāng)P(x0，y0)與F1或F2重合時(shí)，|PF1|＋|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范圍是[2,2)．
答案：[2,2)
5．(20xx·保定模擬)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，a＋b＝3.
(1)求橢圓C的方程．
(2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2m－k為定值．
解析：(1)因?yàn)閑＝＝，
所以a＝c，b＝c.代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.
故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明：因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為y＝k(x－2)，①
把①代入＋y2＝1，解得P.
直線AD的方程為y＝x＋1.②
①與②聯(lián)立解得M.
由D(0,1)，P，N(x,0)三點(diǎn)共線知
＝，得N.
所以MN的斜率為m＝
＝＝，
則2m－k＝－k＝(定值)．
新版理數(shù)北師大版練習(xí)：第八章 第五節(jié) 橢 圓 Word版含解析
