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1、 1

2、 1 專題10 立體幾何 一．選擇題 1. 【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷5】木星的體積約是地球體積的倍，則它的表面積約是地球表面積的（ ） A．60倍 B．60倍 C．120倍 D．120倍 2.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷8】已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題 ①若； ②若； ③若； ④若a與

3、b異面，且相交； ⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直. 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 試題分析：①③④⑤是假命題，②是真命題，選A. 3.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷6】關(guān)于直線m、n與平面與，有下列四個(gè)命題：（D） ①若且，則； ②若且，則； ③若且，則； ④若且，則； 其中真命題的序號(hào)是( ) A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【解析】 試題分析：用排除法可

4、得選D. 4.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷5】在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G=（0≤≤1），則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：因?yàn)锳1B1∥EF，G在 A1B1上，在所以G到平面D1EF的距離即是A1到面D1EF的距離，即是A1到D1E的距離，D1E=，由三角形面積可得所求距離為，故選D. 5.【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷4】用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，

5、則球的體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：易知球的半徑是，所以根據(jù)球的體積公式知，故D為正確答案． 6.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷6】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,側(cè)棱CC1的長(zhǎng)為1，則該三棱柱的高等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：過(guò)頂

6、點(diǎn)A作底面ABC的垂線，由已知條件和立體幾何線面關(guān)系易求得高的長(zhǎng). 7.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷4】用、、表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題： ①若∥，∥，則∥；②若⊥，⊥，則⊥； ③若∥，∥，則∥；④若⊥，⊥，則∥. 正確的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 8.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷7】設(shè)球的體積為，它的內(nèi)接正方體的體積為．下列說(shuō)法中最合適的是（ ） A．比大約多一半 B．比大約多兩倍半 C．比大約多一倍 D．比大

7、約多一倍半 9. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷16】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中積水深九寸，則平地降雨量是 寸. （注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸） 10.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷7】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為

8、（ ） A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 【答案】D 【解析】 試題分析：在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④與俯視圖為②，故選D. 考點(diǎn)：空間由已知條件，在空間坐標(biāo)系中作出幾何體的形狀，正視圖與俯視圖的面積，容易題. 11. 【20xx高考湖北，文5】表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則（ ） A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 C．p是

9、q的充分必要條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 二．填空題 1.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷14】圓柱形容器內(nèi)盛有高度為3cm的水，若放入三個(gè)相同的珠（球的半么與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)最上面的球（如圖所示），則球的半徑是____cm. 【答案】4 【解析】 試題分析：本題考查了求解圓柱和球的體積問(wèn)題.設(shè)球的半徑為R，則由題意可知，解得R=4cm. 2.【2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷15】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 .

10、 三．解答題 1. 【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. （Ⅰ）求BF的長(zhǎng)； （Ⅱ）求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離. 【解析】法1：（Ⅰ）過(guò)E作EH//BC交CC1于H，則CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD. 又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2. 2. 【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1

11、的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1，M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN＝2C1N. （Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值； （Ⅱ）求點(diǎn)B1到平面AMN的距離。 【解析】解法1：（Ⅰ）因?yàn)镸是底面BC邊上的中點(diǎn)，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC， （Ⅱ）設(shè)n=(x,y,z)為平面AMN的一個(gè)法向量，則由得 故可取 設(shè)與n的夾角為a，則。 所以到平面AMN的距離為。 3. 【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷17】如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC；D是AB的中點(diǎn)，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ. （Ⅰ）求證：平面V

12、AB⊥平面VCD； （Ⅱ）試確定角θ的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為. 從而，即． 解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，于是，，． 從而，即． 同理，即． 又，平面． 又平面， 平面平面． A D B C V x y z 、 A D B C V x y 4. 【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让? （Ⅰ）求證： （Ⅱ）若，直線AC與平面所成的角為，二面角 證法2：由(Ⅰ)知，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、BA、B

13、B1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 5. 【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，四棱錐S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DE＝a(0<≦1). (Ⅰ)求證：對(duì)任意的（0、1），都有AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小為600C，求的值。 6. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1 （Ⅰ）設(shè)P為AC的中點(diǎn)，Q在AB上且AB=3AQ，證明：PQ⊥O

14、A； （Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. （Ⅱ）連結(jié)PN,PO. 由OCOA，OCOB知：OC平面OAB。 又ON平面OAB， OCON. 又由ONOA知：ON平面AOC. OP是NP在平面AOC內(nèi)的射影。 在等腰Rt△COA中，P為AC的中點(diǎn)，ACOP。 根據(jù)三垂線定理，知：ACNP. 為二面角O-AC-B的平面角。 在等腰Rt△COA中，OC=OA=1, OP=。 在Rt△AON中，ON=OA=， 在Rt△PON中，PN==, cos。 7. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，已知正三棱柱的底面

15、邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在側(cè)棱上，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，． （Ⅰ）求證； （Ⅱ）求二面角的大小． （Ⅰ），，， ． 8. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)，上部是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱. （Ⅰ）證明：直線平面； （Ⅱ）現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理. 已知，，，（單位：厘米），每平方厘米的加工處理費(fèi)為0.20元，需加工處理費(fèi)多少元？ 9. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】如圖，某地質(zhì)隊(duì)自水平地面A，B，C三處

16、垂直向地下鉆探，自A點(diǎn)向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏，再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無(wú)礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為．同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為，，且. 過(guò)，的中點(diǎn)，且與直線平行的平面截多面體所得的截面為該多面體的一個(gè)中截面，其面積記為． （Ⅰ）證明：中截面是梯形； （Ⅱ）在△ABC中，記，BC邊上的高為，面積為. 在估測(cè)三角形區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲(chǔ)量（即多面體的體積）時(shí)，可用近似公式來(lái)估算. 已知，試判斷與V的大小關(guān)系，并加以證明. 第20題圖 10.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖，在正方體中，，，，，，分別是

17、棱，，， ，，的中點(diǎn). 求證： （1）直線∥平面； （2）直線⊥平面. 【解析】（1）連接，由是正方體，知， 因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以. 從而. 而平面，且平面， 故直線∥平面． （2）如圖，連接，，則. 由平面，平面，可得. 又，所以平面. 而平面，所以. 因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，從而. 同理可證. 又，所以直線⊥平面. 考點(diǎn)：正方體的性質(zhì)，空間中的線線、線面、面面平行于垂直. 11. 【20xx高考湖北，文20】《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑. 在如圖所示的陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接. （Ⅰ）證明：平面. 試判斷四面體是 否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由； （Ⅱ）記陽(yáng)馬的體積為，四面體的體積為，求的值．