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2、 1 第33練 平面向量的數(shù)量積 訓(xùn)練目標(biāo) (1)平面向量數(shù)量積的概念；(2)數(shù)量積的應(yīng)用． 訓(xùn)練題型 (1)向量數(shù)量積的運算；(2)求向量的夾角；(3)求向量的模． 解題策略 (1)數(shù)量積計算的三種方法：定義、坐標(biāo)運算、數(shù)量積的幾何意義；(2)求兩向量的夾角時，要注意夾角θ為銳角和cos θ>0的區(qū)別，不能漏解或增解；(3)求向量的模的基本思想是利用|a|2＝a·a，

3、靈活運用數(shù)量積的運算律. 一、選擇題 1．(20xx·玉溪月考)若向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 2．(20xx·淄博月考)已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，則·等于(　　) A．1 B．－1 C. D．2 3．已知平面上A，B，C三點不共線，O是不同于A，B，C的任意一點，若(－)·(＋)＝0，則△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 4．(20xx·安徽)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是

4、(　　) A．|b|＝1 B．a(chǎn)⊥b C．a(chǎn)·b＝1 D．(4a＋b)⊥ 5．已知向量a，b，c滿足|a|＝2，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·(c－b)＝0，則|b－c|的最小值是(　　) A．2－ B．2＋ C．1 D．2 6．(20xx·太原五中模擬)已知△DEF的外接圓的圓心為O，半徑R＝4，如果＋＋＝0，且||＝||，則向量在方向上的投影為(　　) A．6 B．－6 C．2 D．－2 7．(20xx·延邊期中)點O在△ABC所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：①＋＋＝0； ②·＝·＝·；③·＝·；④(＋)·＝(＋)·＝0.則點O依次為△ABC的(　　)

5、 A．內(nèi)心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心、垂心 C．重心、垂心、內(nèi)心、外心 D．外心、內(nèi)心、垂心、重心 8．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，則λ＋μ等于(　　) A. B. C. D. 二、填空題 9．(20xx·高安段考)已知向量a，b滿足a＋b＝(5，－10)，a－b＝(3,6)，則b在a方向上的投影為________． 10．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值與最小值的和為________． 11．(20xx·開封沖刺模擬

6、)若等邊△ABC的邊長為2，平面內(nèi)一點M滿足＝＋，則·＝________. 12．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，當(dāng)2x＋y＝t(t>0)時，|x＋y|≥t恒成立，則△ABC的面積為______，在上述條件下，對于△ABC內(nèi)一點P，·(＋)的最小值是________.  答案精析 1．C　[由題意，得a·(a＋b)＝0， 即a2＋a·b＝0，∴1＋cos〈a，b〉＝0， 解得cos〈a，b〉＝－. 再由〈a，b〉∈[0，π]，可得〈a，b〉＝.] 2．A　[方法一　如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(，0)，C(，1)，

7、D(0,1)，∴＝(，1)，＝(，－1)， 則·＝2－1＝1. 方法二　記＝a，＝b，則a·b＝0，∵|a|＝，|b|＝1， ∴·＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝2－1＝1.故選A.] 3．A　[(－)·(＋)＝0?·(＋)＝0?⊥(＋)，所以△ABC是等腰三角形，故選A.] 4．D　[如圖，在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2. 又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故選D.] 5．A　[由題意得，〈a，b〉＝，故如圖所示建

8、立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a＝(1，)，b＝(3,0)，c＝(x，y)，∴(c－2a)·(c－b)＝0?(x－2)2＋y(y－2)＝0?(x－2)2＋(y－)2＝3，其幾何意義為以點(2，)為圓心，為半徑的圓，故其到點(3,0)的距離的最小值是2－，故選A.] 6．B　[由＋＋＝0得，＝＋.∴DO經(jīng)過邊EF的中點， ∴DO⊥EF.連接OF，∵||＝||＝||＝4， ∴△DOF為等邊三角形， ∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin 60°×2＝4. ∴向量在方向上的投影為 ||cos〈，〉＝4cos 150°＝－6，故選B.] 7．C　[由三角形“五心”的定義，我

9、們可得：①當(dāng)＋＋＝0時，O為△ABC的重心；②當(dāng)·＝·＝·時，O為△ABC的垂心；③當(dāng)·＝· 時，O為△ABC的內(nèi)心；④當(dāng)(＋)·＝(＋)·＝0時，O為△ABC的外心．故選C.] 8．C　[建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(－1,0)，B(0，－)，C(1,0)，D(0，)．設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)．由＝λ，得(x1，y1＋)＝λ(1，)，解得 即點E(λ，(λ－1))．由＝μ，得(x2，y2－)＝μ(1，－)， 解得即點F(μ，(1－μ))． 又·＝(λ＋1，(λ－1))·(μ＋1，(1－μ))＝1，① ·＝(λ－1，(λ－1))·(μ－1，(1－μ))＝－，②

10、 由①－②，得λ＋μ＝.] 9．2 解析　根據(jù)a＋b＝(5，－10)，a－b＝(3,6)，求得a＝(4，－2)，b＝(1，－8)，根據(jù)投影公式可得b在a方向上的投影為＝＝2. 10．4 解析　由題意可得a·b＝cos θ－sin θ＝2cos， 則|2a－b|＝＝ ＝∈[0,4]， 所以|2a－b|的最大值與最小值的和為4. 11．－ 解析　由于＝－＝－＋，＝－＝－， 故·＝·＝－2－2＋· ＝－×22－×22＋×2×2×cos 60°＝－. 12．1?。? 解析　因為|x＋y|＝ ＝≥t恒成立，則由兩邊平方， 得x22＋y22＋2xy·≥t2，又t＝2x＋y， 則4x2＋y2＋4xy(2cos A－1)≥0， 則Δ＝16y2(2cos A－1)2－16y2≤0， 則cos A(cos A－1)≤0，則cos A≥0，A的最大值為. 當(dāng)cos A＝0時，|x＋y|＝≥(2x＋y)滿足題意，所以此時S△ABC＝·AB·AC＝1； 在Rt△ABC中，取BC的中點D，連接PD， 則＋＝2，即·(＋)＝2·， 當(dāng)A，P，D三點共線時，·<0，又此時AD＝BC＝， 即有2·＝－2||||≥－2×2＝－，即有最小值為－.