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專題限時集訓(十三)
圓錐曲線中的綜合問題
(對應學生用書第143頁)
[建議用時：45分鐘]
1．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，右頂點A(2,0)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點M的直線l交橢圓于B，D兩點，設直線AB的斜率為k1，直線AD的斜率為k2，求證：k1k2為定值，并求此定值．
3、 [解] (1)由題意得解得
所以C的方程為＋y2＝1. 4分
(2)證明：由題意知直線l的斜率不為0，可設直線l的方程為x＝my＋，與＋y2＝1聯立得(m2＋4)y2＋3my－＝0， 6分
由Δ＞0，設B(x1，y1)，D(x2，y2)，
則y1＋y2＝，y1y2＝， 8分
k1k2＝＝＝
＝＝－，
∴k1k2為定值，定值為－. 15分
2．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋12＝0相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設A(－4,0)，過點R(3,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P
4、，Q兩點，連接AP，AQ分別交直線x＝于M，N兩點，若直線MR，NR的斜率分別為k1，k2，試問：k1k2是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
[解] (1)由題意得
∴故橢圓C的方程為＋＝1. 4分
(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為x＝my＋3，由∴(3m2＋4)y2＋18my－21＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝. 6分
由A，P，M三點共線可知＝，∴yM＝. 8分
同理可得yN＝，∴k1k2＝×＝＝. 10分
∵(x1＋4)(x2＋4)＝(my1＋7)(my2＋7)＝m2y1y2＋7m(y1＋y2)＋49，∴k1k
5、2＝＝－. 14分
∴k1k2為定值－. 15分
3．(20xx·杭州高級中學高三最后一模)已知拋物線C1：x2＝2py(p＞0)與圓C2：x2＋y2＝8的兩個交點之間的距離為4，A，B為拋物線C1上的兩點．
(1)求p的值；
(2)若C1在點A，B處切線垂直相交于點P，且點P在圓C2內部，直線AB與C2相交于C，D兩點，求|AB|·|CD|的最小值．
圖13-6
[解] (1)由題易得拋物線與圓的兩個交點坐標為(－2,2)，(2,2)，
則代入x2＝2py得p＝1. 5分
(2)設A，B，
又x＝2y1，則PA的斜率為y′1＝x1.
同理PB的斜率為
6、y′2＝x2，所以x1·x2＝－1，
兩切線為y＝x1x－x，y＝x2x－x，
交點為P， 8分
點P在圓內得x＋x＜33，
直線AB為y＝x＋過拋物線的焦點，
|AB|＝＋＋p＝(x＋x＋2)， 10分
設d為圓心到直線AB的距離，
則|AB|·|CD|＝(x＋x＋2)·2，
d＝， 13分
t＝x＋x＋2∈[4,35)，
則|AB|·|CD|＝，
最小值為2. 15分
4．已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點.
(1)求橢圓的方程；
圖13-7
(2)設不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成
7、等比數列，求△OPQ面積的取值范圍．
【導學號：68334134】
[解] (1)由題意可設橢圓方程為
＋＝1(a＞b＞0)，
則＝(其中c2＝a2－b2，c＞0)，且＋＝1，故a＝2，b＝1.
所以橢圓的方程為＋y2＝1. 4分
(2)由題意可知，直線l的斜率存在且不為0.故可設直線l：y＝kx＋m(m≠0)，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 5分
則Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，
且x1＋x2＝－，x1x2＝. 6分
故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， 7分
因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，
所以·＝＝k2，
即－＋m2＝0. 8分
又m≠0，所以k2＝，即k＝±. 9分
由于直線OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m2＜2，且m2≠1.
設d為點O到直線l的距離，則d＝， 10分
|PQ|＝＝， 11分
所以S＝|PQ|d＝＜＝1(m2≠1)，
故△OPQ面積的取值范圍為(0,1). 15分
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