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1、 1

2、 1 第五節(jié)　橢　圓 [考綱傳真]　1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)．3.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用．(文)3.理解數(shù)形結(jié)合思想．4.理解數(shù)形結(jié)合思想．(文)4.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用． 1．橢圓的定義 (1)我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作橢

3、圓．這兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離叫作橢圓的焦距． (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0. ①當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡為橢圓； ②當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段F1F2； ③當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡不存在． 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a,0

4、)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 離心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的關(guān)系 c2＝a2－b2 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．(　　) (2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長(zhǎng)為2a＋2c(其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距)．(　　) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　) (4)橢圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形．(　　)

5、 [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 D　[橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c＝1. 又離心率為＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3， 故橢圓的方程為＋＝1.] 3．(20xx·廣東高考)已知橢圓＋＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(－4,0)，則m＝(　　) A．2　　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．9 B　[由左焦點(diǎn)為F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.] 4．(

6、20xx·全國(guó)卷Ⅰ)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為(　　) A. B． C. D． B　[如圖，|OB|為橢圓中心到l的距離，則|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.] 5．橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)x＝m與橢圓相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FAB的面積是__________． 3　[直線(xiàn)x＝m過(guò)右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，△FAB的周長(zhǎng)最大，由橢圓定義知，其周長(zhǎng)為4a＝8，即a＝2， 此時(shí)，|AB|＝2×＝＝3， ∴S△FAB＝×2×3＝3.] 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 　(

7、1)如圖8-5-1所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是(　　) 圖8-5-1 A．橢圓　　 B．雙曲線(xiàn) C．拋物線(xiàn) D．圓 (2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0

8、|OF|. ∴P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓． (2)不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，設(shè)半焦距為c， 則F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)． ∵AF2⊥x軸，則A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0|F1F2|這一條件． (2)當(dāng)涉及到焦點(diǎn)三角

9、形有關(guān)的計(jì)算或證明時(shí)，常利用勾股定理、正(余)弦定理、橢圓定義，但一定要注意|PF1|＋|PF2|與|PF1|·|PF2|的整體代換． 2．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過(guò)程是先定位，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，若焦點(diǎn)位置不確定，可把橢圓方程設(shè)為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式． [變式訓(xùn)練1]　(1)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且⊥. 若△PF1F2的面積為9，則b＝__________. (2)已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直

10、于x軸的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則C的方程為_(kāi)_________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962394】 (1)3　(2)＋＝1　[(1)由定義，|PF1|＋|PF2|＝2a，且⊥， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2. ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝9，因此b＝3. (2)依題意，設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)． 過(guò)點(diǎn)F2(1,0)且垂直于x軸的直線(xiàn)被曲線(xiàn)C截得弦長(zhǎng)|AB|＝3，

11、∴點(diǎn)A必在橢圓上， ∴＋＝1. ① 又由c＝1，得1＋b2＝a2. ② 由①②聯(lián)立，得b2＝3，a2＝4. 故所求橢圓C的方程為＋＝1.] 橢圓的幾何性質(zhì) 　(20xx·全國(guó)卷Ⅲ)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與線(xiàn)段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線(xiàn)BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為(　　) A.　　 　B.　　 　C.　　 　D. A　[法一：設(shè)點(diǎn)M(－c，y0)，OE的中點(diǎn)為N，則直線(xiàn)AM的斜率k＝，從而直線(xiàn)AM的方程為y＝(x＋a)，令x＝0，得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE＝.

12、 同理，OE的中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)yN＝. ∵2yN＝y(tǒng)E，∴＝，即2a－2c＝a＋c， ∴e＝＝. 法二：如圖，設(shè)OE的中點(diǎn)為N，由題意知 |AF|＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a. ∵PF∥y軸， ∴＝＝，＝＝. 又＝，即＝， ∴a＝3c，故e＝＝.] [規(guī)律方法]　1.與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析． 2．求橢圓離心率的主要方法有：(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解． [變式訓(xùn)練2]　(20xx·福建高

13、考)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線(xiàn)l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4，點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　) A. B． C. D． A　[根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性及橢圓的定義可得A，B兩點(diǎn)到橢圓左、右焦點(diǎn)的距離為4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b<2，所以e＝＝＝.因?yàn)?≤b<2，所以0b>0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(c,0)，(0，b)的直線(xiàn)

14、的距離為. 圖8-5-2 (1)求橢圓E的離心率； (2)如圖8-5-2，AB是圓M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程． [解]　(1)過(guò)點(diǎn)(c,0)，(0，b)的直線(xiàn)方程為bx＋cy－bc＝0，則原點(diǎn)O到該直線(xiàn)的距離d＝＝， 3分 由d＝c，得a＝2b＝2 ，解得離心率＝. 5分 (2)由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2.① 依題意，圓心M(－2,1)是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，且|AB|＝. 易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x＋2)＋1， 代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2

15、＝0. 8分 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝. 從而x1x2＝8－2b2. 10分 于是|AB|＝|x1－x2| ＝＝. 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3. 故橢圓E的方程為＋＝1. 12分 角度2　由位置關(guān)系研究直線(xiàn)的性質(zhì) 　(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上． (1)求C的方程； (2)直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線(xiàn)OM的斜率與直線(xiàn)l的斜率的乘積為定值． [解]　(1)由題意有＝

16、，＋＝1， 解得a2＝8，b2＝4. 3分 所以C的方程為＋＝1. 5分 (2)證明：設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM). 7分 將y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 9分 故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝. 于是直線(xiàn)OM的斜率kOM＝＝－， 即kOM·k＝－. 所以直線(xiàn)OM的斜率與直線(xiàn)l的斜率的乘積為定值. 12分 [規(guī)律方法]　1.解決直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程解決相關(guān)問(wèn)題．涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)

17、題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單． 2．設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝＝(k為直線(xiàn)斜率)． [思想與方法] 1．橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、掌握定義是關(guān)鍵，應(yīng)注意定義中的常數(shù)大于|F1F2|，避免了動(dòng)點(diǎn)軌跡是線(xiàn)段或不存在的情況． 2．求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法．當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無(wú)法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，設(shè)方程為＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)可以避免討論和煩瑣的計(jì)算，也可以設(shè)為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)，這種形式在解題中更簡(jiǎn)便． 3．討論橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)，離心率問(wèn)題是重點(diǎn)，常用方法： (1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得； (2)列出關(guān)于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2＝a2－c2，消去b，轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解． [易錯(cuò)與防范] 1．判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與y2的分母大?。? 2．注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)時(shí)，則|x|≤a，這往往在求與點(diǎn)P有關(guān)的最值問(wèn)題中用到，也是容易被忽視而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因． 3．橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的最大距離為a＋c，最小距離為a－c.