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1、
1
2、 1
第2節(jié) 等差數(shù)列
課時訓練 練題感 提知能
【選題明細表】
知識點、方法
題號
等差數(shù)列的基本運算
1、3、4、6
等差數(shù)列的性質(zhì)
2、8、10、14
等差數(shù)列的判定
13、15
等差數(shù)列前n項和的最值
7、9、16
綜合應(yīng)用
5、11、12、16
A組
一、選擇題
1.(20xx唐山二模)在
3、等差數(shù)列{an}中,2a4+a7=3,則數(shù)列{an}的前9項和等于( A )
(A)9 (B)6 (C)3 (D)12
解析:設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d,
∵2a4+a7=3,
∴2(a1+3d)+a1+6d=3,整理得a1+4d=1,即a5=1.
∴S9=9(a1+a9)2=9a5=9.故選A.
2.(20xx年高考福建卷)等差數(shù)列{an}中,a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:∵a1+a5=2a3=10,
∴a3=5,
又∵a4=7,
∴d=a4-a3=2,故選B.
3.(20xx云南省昆明一中
4、測試)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a3=3,S9-S6=27,則該數(shù)列的首項a1等于( D )
(A)-65 (B)-35 (C)65 (D)35
解析:由a1+2d=3,9a1+36d-(6a1+15d)=27,得a1+2d=3,a1+7d=9,解得a1=35.故選D.
4.(20xx惠州實驗中學高三適應(yīng)性考試)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S2=10,S5=55,則{an} 的公差是( A )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
解析:由S2=2a1+d=10,S5=5a1+5×42d=5a1+10d=55,得d=4.故選A.
5.(20xx韶關(guān)調(diào)研)設(shè)
5、{an}(n∈N*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項的和,且S5S8,則下列結(jié)論錯誤的是( C )
(A)d<0 (B)a7=0
(C)S9>S5 (D)S6與S7均為Sn的最大值
解析:由S6=S7>S8得a7=0,a8<0,所以公差d=a8-a7<0,故A,B,D正確;因為S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0,所以S9
6、D)[209,52）
解析:由題意知數(shù)列{an}滿足a10>0,a9≤0,即-20+9d>0,-20+8d≤0,所以d>209,d≤52.
即209
7、+a6)= .?
解析:由題意知3a5=π4,a5=π12,則tan(a4+a6)=tan 2a5=tan π6=33.
答案:33
9.(20xx黑龍江省哈師大附中高考模擬)等差數(shù)列{an}滿足a3=3,a6=-3,則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為 .?
解析:法一 由a3=3,a6=-3得,
a1+2d=3,a1+5d=-3,
解得a1=7,d=-2.
∴Sn=na1+n(n-1)2d=-n2+8n=-(n-4)2+16.
∴當n=4時Sn有最大值16.
法二 由a3=3,a6=-3得a1+2d=3,a1+5d=-3,
解得a1=7,d=-2,
所以
8、an=9-2n.
則n≤4時,an>0,當n≥5時,an<0,
故前4項和最大且S4=4×7+4×32×(-2)=16.
答案:16
10.由正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,且anbn=2n-13n-1,則S5T5= .?
解析:由S5=5(a1+a5)2=5a3,
T5=5(b1+b5)2=5b3,
得S5T5=a3b3=2×3-13×3-1=58.
答案:58
11.(20xx天津市新華中學高三月考)等差數(shù)列{an}前n項和為Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m= .?
解析:在等差數(shù)列中,由am-
9、1+am+1-am2=0得2am-am2=0,解得:am=2或am=0(舍去).
又S2m-1=(2m-1)(a1+a2m-1)2
=2(2m-1)am2
=(2m-1)am,
即(2m-1)am=2(2m-1)=38,
解得m=10.
答案:10
三、解答題
12.(20xx湛江市高考測試(二))已知函數(shù)f(x)=x2-2x+4,數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,若a1=f(d-1),a3=f(d+1).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)Sn為{an}的前n項和,求證:1S1+1S2+…+1Sn≥13.
解:(1)a1=f(d-1)=d2-4d+7,a3=f(d
10、+1)=d2+3,
又由a3=a1+2d,可得d=2.所以,a1=3,an=2n+1.
(2)Sn=n(3+2n+1)2=n(n+2),
1Sn=1n(n+2)=121n-1n+2.
所以,1S1+1S2+…+1Sn=12（1-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2）=12（32-1n+1-1n+2）≥12（32-11+1-11+2）=13.
13.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),前n項和為Sn,且滿足2Sn=an2+n-4(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
(1)證明:當n=1時,有2a1=a12+1-4,
即a
11、12-2a1-3=0,
解得a1=3(a1=-1舍去).
當n≥2時,有2Sn-1=an-12+n-5,
又2Sn=an2+n-4,
兩式相減得2an=an2-an-12+1,
即an2-2an+1=an-12,
也就是(an-1)2=an-12,
因此an-1=an-1或an-1=-an-1.
若an-1=-an-1,
則an+an-1=1.
而a1=3,
所以a2=-2,
這與數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)相矛盾,
所以an-1=an-1,
即an-an-1=1,
因此數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
(2)解:由(1)知a1=3,d=1,
所以數(shù)列{an}的通項公式
12、an=3+(n-1)×1=n+2,
即an=n+2.
B組
14.(20xx黑龍江省哈九中第四次模擬)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若S4S8=13,則S8S16=( D )
(A)19 (B)18 (C)13 (D)310
解析:∵S4S8=13,∴S8=3S4,
由等差數(shù)列前n項和性質(zhì)知,
S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12也成等差數(shù)列.
其首項為S4,公差為(S8-S4)-S4=S4.
∴S12-S8=3S4,∴S12=S8+3S4=6S4.
∴S16-S12=4S4,∴S16=S12+4S4=10S4.
∴S8S16=310.故選D.
15.(
13、20xx浙江模擬)數(shù)列{an}中,a1=5,an=2an-1+2n-1(n∈N*,n≥2),若數(shù)列{an+λ2n}為等差數(shù)列,則λ= .?
解析:n≥2時,an+λ2n-an-1+λ2n-1=an-2an-1-λ2n,
∵an=2an-1+2n-1,
∴an+λ2n-an-1+λ2n-1=2n-1-λ2n=1-1+λ2n.
又∵數(shù)列{an+λ2n}為等差數(shù)列.
∴1-1+λ2n為常數(shù).
∴λ=-1.
答案:-1
16.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求通項an;
(2)求Sn的最小值;
(3)若數(shù)
14、列{bn}是等差數(shù)列,且bn=Snn+c,求非零常數(shù)c.
解:(1)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,
∴a3+a4=a2+a5=22.
又a3·a4=117,
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩實根,
又公差d>0,
∴a3
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