《高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第5章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第5章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例 Word版含解析（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例 [最新考綱]　1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題． 1．向量的夾角 已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：[0，π]． 2．平面向量的數(shù)量積 定義 設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cos

2、 θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 幾何 意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積 3．平面向量數(shù)量積的運算律 (1)交換律：a·b＝b·a； (2)數(shù)乘結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．平面向量數(shù)量積的性質及其坐標表示 設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 結論 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 a·b

3、＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與 |a||b|的關系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤· 1．平面向量數(shù)量積運算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線； 兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的數(shù)乘運算的

4、運算結果是向量．(　　) (2)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量．(　　) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|為(　　) A．12　　　　　　 B．6 C．3 D．3 B　[a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.] 2．已知|a|＝5，|b|＝4，a與b 的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為________． －2　[由數(shù)量積的定義

5、知，b在a方向上的投影為|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 3．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，則a與b的夾角θ＝________. 　[cos θ＝＝＝－. 又因為0≤θ≤π，所以θ＝.] 4．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝________. 8　[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)， ∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得 (a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.] 考點1　平面向量數(shù)量積的運算 　平面向量數(shù)量積的3種運算方法 (1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a

6、·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用數(shù)量積的幾何意義求解． 　(1)(2019·全國卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，則·＝(　　) A．－3　　　 B．－2　　　 C．2　　　 D．3 (2)[一題多解]如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，則·＝________. (1)C　(2)12　[(1)∵＝－＝(1，t－3)， ∴||＝＝1， ∴t＝3， ∴·＝(2,3)·(1,0)＝2. (2)

7、法一：(定義法)因為·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·. 因為AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||·||cos ，化簡得||＝2.故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos ＝12. 法二：(坐標法)如圖，建立平面直角坐標系xAy. 依題意，可設點D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m＞0，n＞0，則由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化簡得m＝2.故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.] [逆向問題]　已知菱形ABCD的邊長為6，∠ABD＝30°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC

8、上，BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，則λ的值為(　　) A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．5 B　[依題意得＝＋＝－，＝＋，因此·＝·＝2－2＋·，于是有×62＋×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，故選B.] 　解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運算常有兩種思路：一是定義法，二是坐標法，定義法可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡后再運算，但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關系是相等還是互補；坐標法要建立合適的坐標系． 　1.(2019·昆明模擬)在?ABCD中，||＝8，||＝6，N為DC的中點，＝2，則·＝________. 24　

9、[法一：(定義法)·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24. 法二：(特例圖形)：若?ABCD為矩形，建立如圖所示坐標系， 則N(4,6)，M(8,4)． 所以＝(8,4)，＝(4，－2) 所以·＝(8,4)·(4，－2)＝32－8＝24.] 2．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中點，E在BC上，且AE⊥BD，則·＝(　　) A．16 B．12 C．8 D．－4 A　[建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)．設E(0，b)，因為AE⊥BD，所以·＝0，即(－4，b)·(2,3)＝0，所以b＝，

10、 所以E，＝， 所以·＝16，故選A.] 考點2　平面向量數(shù)量積的應用 　平面向量的模 　求向量模的方法 利用數(shù)量積求模是數(shù)量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法： (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝； (2)|a±b|＝＝； (3)若a＝(x，y)，則|a|＝. 　(1)[一題多解](2019·昆明調研)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，則|2a－b|＝(　　) A． B．2 C． D．10 (2)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D為BC中點，則||等于(　　) A．2 B．4 C．6

11、D．8 (3)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|＋3|的最小值為_______． (1)C　(2)A　(3)5　[(1)法一：因為a＝(－1,2)，所以2a＝(－2,4)，因為b＝(1,3)，所以2a－b＝(－3,1)，所以|2a－b|＝，故選C. 法二：在直角坐標系xOy中作出平面向量a,2a，b,2a－b，如圖所示，由圖易得|2a－b|＝，故選C. (2)因為＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b， 所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，則||＝2. (3)建立平面直角坐

12、標系如圖所示，則A(2,0)，設P(0，y)，C(0，b)，則B(1，b)，則＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)． 所以|＋3| ＝(0≤y≤b)． 當y＝b時，|＋3|min＝5.] 　在求解與向量的模有關的問題時，往往會涉及“平方”技巧，注意對結論(a±b)2＝|a|2＋|b|2±2a·b，(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋a·c)的靈活運用．另外，向量作為工具性的知識，具備代數(shù)和幾何兩種特征，求解此類問題時可以使用數(shù)形結合的思想，從而加快解題速度． 　平面向量的夾角 　求向量夾角問題的方法 (1)定義法：當a，b是

13、非坐標形式時，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關系，由cos θ＝求得． (2)坐標法：若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]． (3)解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進行求解． 　(1)[一題多解](2019·全國卷Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. (2)[一題多解](2019·全國卷Ⅲ)已知a，b為單位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，則cos〈a，c〉＝________. (1)B　(2)　[(1)

14、法一：因為(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因為|a|＝2|b|，所以2|b|2cos〈a，b〉－|b|2＝0，即cos〈a，b〉＝，又知〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，故選B. 法二：如圖，令＝a，＝b，則＝－＝a－b，因為(a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°， 又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝，即〈a，b〉＝.故選B. (2)法一：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0， ∴a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2， |c|＝|2a－b|＝ ＝＝3. ∴cos〈a，c〉＝＝. 法二：不妨設a＝(1,0)，b＝(0,1)， 則c＝2(1,

15、0)－(0,1)＝(2，－)， ∴cos〈a，c〉＝＝.] [逆向問題]　若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________． ∪　[因為2a－3b與c的夾角為鈍角， 所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0， 所以4k－6－6＜0，所以k＜3.若2a－3b與c反向共線，則＝－6，解得k＝－，此時夾角不是鈍角，綜上所述，k的取值范圍是∪.] 　(1)研究向量的夾角應注意“共起點”；兩個非零共線向量的夾角可能是0°或180°；求角時，注意向量夾角的取值范圍是[0°，180°]． (2)數(shù)量積

16、大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0說明不共線的兩向量的夾角為鈍角．如本例的[逆向問題]． 　兩向量垂直問題 　a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 　已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為________． 　[因為⊥，所以·＝0. 又＝λ＋，＝－， 所以(λ＋)·(－)＝0， 即(λ－1)·－λ2＋2＝0， 所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0. 所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.] 　1.利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題 若證

17、明兩個向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可． 2．已知兩個向量的垂直關系，求解相關參數(shù)的值 根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數(shù)． 　1.(2019·南寧模擬)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝1，|b|＝，則a＋2b與b的夾角是(　　) A. B. C. D. A　[因為|a ＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos ＝3，所以|a＋2b|＝. 又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos ＋2×＝＋＝， 所以cos〈a＋2b，b〉

18、＝＝＝， 所以a＋2b與b的夾角為.故選A.] 2．(2019·青島模擬)已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若與的夾角為60°，且⊥，則實數(shù)的值為(　　) A. B. C.6 D.4 A　[因為向量||＝3，||＝2，＝m＋n，與夾角為60°，所以·＝3×2×cos 60°＝3， 所以·＝(－)·(m＋n) ＝(m－n)·－m||2＋n||2 ＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以＝，故選A.] 3．設向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，則|a＋2b|＝________. 4　[因為|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3， 所以(a＋b)2＝|a

19、|2＋2a·b＋|b|2＝4＋9＋2a·b＝9， 所以a·b＝－2， 所以|a＋2b|＝＝＝＝4.] 考點3　平面向量的應用 　平面向量是有“數(shù)”與“形”的雙重身份，溝通了代數(shù)與幾何的關系，所以平面向量的應用非常廣泛，主要體現(xiàn)在平面向量與平面幾何、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等方面，解決此類問題的關鍵是將其轉化為向量的數(shù)量積、模、夾角等問題，進而利用向量方法求解． 　(1)在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，則△ABC的面積為(　　) A．4 B．5 C．2 D．3 (2)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則·(＋)的最小值是(

20、　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 (1)C　(2)B　　[(1)∵＝(2,2)，∴||＝2， ∴·＝||||cos A ＝2×2cos A＝－4， ∴cos A＝－， 又A∈(0，π)， ∴sin A＝， ∴S△ABC＝||||sin A＝2，故選C. (2)建立坐標系如圖所示，則A，B，C三點的坐標分別為A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)． 設P點的坐標為(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)， ∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y) ＝2(x2＋y2－y)＝2 ≥2×＝－. 當且僅當x＝0，y＝時，·(

21、＋)取得最小值，最小值為－.故選B.] 　用向量法解決平面(解析)幾何問題的2種方法 (1)幾何法：選取適當?shù)幕?基底中的向量盡量已知，?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質計算； (2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現(xiàn)向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉化為代數(shù)運算． 一般地，存在坐標系或易建坐標系的題目適合用坐標法． 　1.平行四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝2，·＝4，點P在邊CD上，則·的取值范圍是(　　) A．[－1,8]　　　　　 B．[－1，＋∞) C．[0,8] D．[－1,0] A　[由題意得·＝||·||

22、·cos∠BAD＝4，解得∠BAD＝.以A為原點，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0,0)，B(4,0)，C(5，)，D(1，)，因為點P在邊CD上，所以不妨設點P的坐標為(a，)(1≤a≤5)，則·＝(－a，－)·(4－a，－)＝a2－4a＋3＝(a－2)2－1，則當a＝2時，·取得最小值－1；當a＝5時，·取得最大值8，故選A.] 2．已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝a·b＝2且(a－c)·(b－c)＝0，則|2b－c|的最大值為________． ＋1　[∵|a|＝|b|＝a·b＝2， ∴cos〈a，b〉＝＝， ∴〈a，b〉＝60°. 設＝a＝(2,0)，＝b＝(1，)，＝c， ∵(a－c)·(b－c)＝0， ∴⊥， ∴點C在以AB為直徑的圓M上，其中M，半徑r＝1. 延長OB到D，使得＝2b(圖略)，則D(2,2)． ∵2b－c＝－＝， ∴|2b－c|的最大值為CD的最大值． ∵DM＝＝， ∴CD的最大值為DM＋r＝＋1.]