《第二章 平面向量§2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概忥》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第二章 平面向量§2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概忥（30頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二章 平面向量 §2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念 教學(xué)目標(biāo)： 1. 了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量. 2. 通過對向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步理解現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別. 3. 通過學(xué)生對向量與數(shù)量的識別水平的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生理解客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的水平. 教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量. 教學(xué)難點(diǎn)：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系. 理概念來學(xué)習(xí)向量的概念，結(jié)合圖形實(shí)物區(qū)分平

2、行向量、相等向量、共線向量等概念. 教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī) 授課類型：新授課 教學(xué)思路： 一、情景設(shè)置： A B C D 如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，設(shè)問：貓能否追到老鼠？（畫圖） 結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因?yàn)榉较蝈e了. 分析：老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實(shí)際上都是有方向、有長短的量. 引言：請同學(xué)指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？ 二、新課學(xué)習(xí)： （一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量 （二）請同學(xué)閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片） 1、數(shù)量與向量有何區(qū)別？ 2、如何表示向量？ 3、

3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別能夠表示向量的什么？ 4、長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？ 5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？ 6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？ 7、如果把一組平行向量的起點(diǎn)全部移到一點(diǎn)O，這是它們是不是平行向量？這時各向量的終點(diǎn)之間有什么關(guān)系？ （三）探究學(xué)習(xí) 1、數(shù)量與向量的區(qū)別： 數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，能夠?qū)嵭写鷶?shù)運(yùn)算、比較大??； 向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小. A(起點(diǎn)) B （終點(diǎn)） a 2.向量的表示方法： ①用有向線段表示； ②用字母ａ

4、、ｂ （黑體，印刷用）等表示； ③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：； ④向量的大小――長度稱為向量的模，記作||. 3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點(diǎn)、方向、長度. 向量與有向線段的區(qū)別： （1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量； （2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個要素，起點(diǎn)不同，即使大小和方向相同，也是不同的有向線段. 4、零向量、單位向量概念： ①長度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的. 注意0與0的含義與書寫區(qū)別. ②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量. 說明：零向量、單位

5、向量的定義都僅僅限制了大小. 5、平行向量定義： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行. 說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定義： 長度相等且方向相同的向量叫相等向量. 說明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等； （3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān). 7、共線向量與平行向量關(guān)系： 平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)）. 說明：（1）平行向量能夠在同一直線上，要

6、區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量能夠相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系. （四）理解和鞏固： 例1 書本86頁例1. 例2判斷： （1）平行向量是否一定方向相同？（不一定） （2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） （3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量） （4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量） （5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（平行向量） （6）兩個非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長度相等且方向相同） （7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定） 例3下列命題準(zhǔn)確的是（ ） A.ａ與

7、ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線 B.任意兩個相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn) C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量 D.有相同起點(diǎn)的兩個非零向量不平行 解：因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量都共線，所以A不準(zhǔn)確；因?yàn)閿?shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量能夠在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點(diǎn)，所以B不準(zhǔn)確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以Ｄ不準(zhǔn)確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ

8、與ｂ共線，不符合已知條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應(yīng)選C. 例4 如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量、、相等的向量. 變式一：與向量長度相等的向量有多少個？（11個） 變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在） 變式三：與向量共線的向量有哪些？（） 課堂練習(xí)： 1．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由. ①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上； ②單位向量都相等； ③任一向量與它的相反向量不相等； ④四邊形ABCD是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)＝ ⑤一個向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0； ⑥共線的向量，若起

9、點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同. 解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上. ②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定. ③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的. ④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相同. 三、小結(jié) ： 1、 描述向量的兩個指標(biāo)：模和方向. 2、 平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡單類比. 3、 向量的圖示，要標(biāo)上箭頭和始點(diǎn)、終點(diǎn). 四、課后作業(yè)： §2.2.1 向量的加法運(yùn)算及其幾何意義 教學(xué)目標(biāo)： 1、 掌握向量的加法運(yùn)算，并理解其幾何意義；

10、2、 會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問題的能力； 3、 通過將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律，并會用它們進(jìn)行向量計算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法； 教學(xué)重點(diǎn)：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量. 教學(xué)難點(diǎn)：理解向量加法的定義. 學(xué) 法： 數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學(xué)生順理成章接受向量的加法定義.結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則

11、.聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算律理解和掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律. 教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī) 授課類型：新授課 教學(xué)思路： 一、設(shè)置情景： 1、 復(fù)習(xí)：向量的定義以及有關(guān)概念 強(qiáng)調(diào)：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點(diǎn)無關(guān)的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置 A B C 2、 情景設(shè)置： （1）某人從A到B，再從B按原方向到C， C A B 則兩次的位移和： （2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到C， A B

12、 C 則兩次的位移和： （3）某車從A到B，再從B改變方向到C， A B C 則兩次的位移和： （4）船速為，水速為，則兩速度和： 二、探索研究： １、向量的加法：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法. ２、三角形法則（“首尾相接，首尾連”） 如圖，已知向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即 a＋ｂ，規(guī)定： a + 0-= 0 +a a a A B C a+b a+b a a b b a ｂ ｂ ａ＋ｂ a 探究：（1）兩相向量的和仍

13、是一個向量； （2）當(dāng)向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|<||+||； O A B a a a b b b （3）當(dāng)與同向時，則+、、同向，且|+|=||+||，當(dāng)與反向時，若||>||，則+的方向與相同，且|+|=||-||；若||<||，則+的方向與相同，且|+b|=||-||. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點(diǎn)為后一個向量的起點(diǎn)，可以推廣到n個向量連加 ３．例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作 ，則. ４．加法的交換律和平行四邊形法則 問題：上題中+的結(jié)果與+是否相同？ 驗(yàn)證結(jié)果相同 從而得到：１）向

14、量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應(yīng)） ２）向量加法的交換律：+=+ ５．向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+) 證：如圖：使， ， 則(+) +=，+ (+) = ∴(+) +=+ (+) 從而，多個向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行. 三、應(yīng)用舉例： 例二（P94—95）略 練習(xí)：P95 四、小結(jié) 1、向量加法的幾何意義； ２、交換律和結(jié)合律； ３、注意：|+| ≤ || + ||，當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時取等號. 五、課后作業(yè)： §2.2.2 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義 教學(xué)目標(biāo)： 1. 了解相反向量的概念；

15、 2. 掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義； 3. 通過闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想. 教學(xué)重點(diǎn)：向量減法的概念和向量減法的作圖法. 教學(xué)難點(diǎn)：減法運(yùn)算時方向的確定. 學(xué) 法：減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運(yùn)算掌握向量的減法運(yùn)算；并利用三角形做出減向量. 教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī) 授課類型：新授課 教學(xué)思路： 一、 復(fù)習(xí)：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則 A B D C 向

16、量加法的運(yùn)算定律： 例：在四邊形中， . 解： 二、 提出課題：向量的減法 1． 用“相反向量”定義向量的減法 （1） “相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作 -a （2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0 （3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差. 即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法. 2．

17、用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算： O a b B a b a-b 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b 3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 ∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O， 作= a， = b 則= a - b 即a - b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量. 注意：1°表示a -

18、b.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù) O A B a B’ b -b b B a+ (-b) a b 2°用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b) 顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一. 4． 探究： １） 如果從向量a的終點(diǎn)指向向量b的終點(diǎn)作向量，那么所得向量是b - a. a-b A A B B B’ O a-b a a b b O A O B a-b a-b B A O -b ２）若a

19、∥b， 如何作出a - b??？ 三、 例題： 例一、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d. 解：在平面上取一點(diǎn)O，作= a， = b， = c， = d， A B C b a d c D O 作， ， 則= a-b， = c-d A B D C 例二、平行四邊形中，a，b， 用a、b表示向量、. 解：由平行四邊形法則得： = a + b， = = a-b 變式一：當(dāng)a， b滿足什么條件時，a+b與a

20、-b垂直？（|a| = |b|） 變式二：當(dāng)a， b滿足什么條件時，|a+b| = |a-b|？（a， b互相垂直） 變式三：a+b與a-b可能是相當(dāng)向量嗎？（不可能，∵ 對角線方向不同） 練習(xí)：Ｐ98 四、 小結(jié)：向量減法的定義、作圖法| 2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 §2.3.1 平面向量基本定理 教學(xué)目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法； （3）能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá). 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理. 教學(xué)難

21、點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用. 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程： 一、 復(fù)習(xí)引入： 1．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ （1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0時λ與方向相同；λ<0時λ與方向相反；λ=0時λ= 2．運(yùn)算定律 結(jié)合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ 3. 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實(shí)數(shù)λ，使=λ. 二、講解新課： 平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ

22、1，λ2使=λ1+λ2. 探究： (1) 我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底； (2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線； (3) 由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解； (4) 基底給定時，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量 三、講解范例： 例1 已知向量， 求作向量-2.5+3. 例2 如圖 ABCD的兩條對角線交于點(diǎn)M，且=，=，用，表示，，和 例3已知 ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點(diǎn)，求證：

23、+++=4 例4（1）如圖，，不共線，=t (t?R)用，表示. （2）設(shè)不共線，點(diǎn)P在O、A、B所在的平面內(nèi)，且.求證：A、B、P三點(diǎn)共線. 例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共線，向量c=2e1-9e2，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)與c共線. 五、 課堂練習(xí)： §2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算 教學(xué)目的： （1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念； （2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算； （3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線. 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表

24、示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性. 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2 (1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底； (2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線； (3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解； (4)基底給定時，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量 二、講解新課： 1．平面向量的坐標(biāo)表示 如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個

25、單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使得 ………… 我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作 ………… 其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為. 特別地，，，. 如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作，則點(diǎn)的位置由唯一確定. 設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示. 2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 （1） 若，，則， 兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差. 設(shè)基底為、，則 即，同理可得

26、（2） 若，，則 一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo). =-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1) （3）若和實(shí)數(shù)，則. 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo). 設(shè)基底為、，則，即 三、講解范例： 例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐標(biāo). 例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐標(biāo). 例3 已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個頂點(diǎn). 解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時，由得D1

27、=(2， 2) 當(dāng)平行四邊形為ACDB時，得D2=(4， 6)，當(dāng)平行四邊形為DACB時，得D3=(-6， 0) 例4已知三個力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力++=，求的坐標(biāo). 解：由題設(shè)++= 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x， y)=(0， 0) 即： ∴ ∴(-5，1) 四、課堂練習(xí)： 五、小結(jié)（略） §2.3.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示 教學(xué)目的： （1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念； （2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算； （3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線. 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 教學(xué)難點(diǎn)：

28、向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使得 把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作 其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)， 特別地，，，. 2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 若，， 則，，. 若，，則 二、講解新課： ∥ (1)的充要條件是x1y2-x2y1=0 設(shè)=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中1. 由=λ得， (x1， y1) =λ(x2， y2)

29、 消去λ，x1y2-x2y1=0 探究：（1）消去λ時不能兩式相除，∵y1， y2有可能為0， ∵1 ∴x2， y2中至少有一個不為0 （2）充要條件不能寫成 ∵x1， x2有可能為0 (3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：∥ (1) 三、講解范例： 例1已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y. 例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系. 例3設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)， P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2). (1) 當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2) 當(dāng)點(diǎn)P

30、是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo). 例4若向量=(-1，x)與=(-x， 2)共線且方向相同，求x 解：∵=(-1，x)與=(-x， 2) 共線 ∴(-1)×2- x?(-x)=0 ∴x=± ∵與方向相同 ∴x= 例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？ 解：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥ 又 ∵ =(1-(-1)， 5-(-

31、1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×610 ∴與不平行 ∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD 四、課堂練習(xí)： 五、小結(jié) （略） §2.4平面向量的數(shù)量積 一、 平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義 教學(xué)目的： 1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義； 2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律； 3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題； 4.掌握向量垂直的條件. 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義 教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 授課類型：新授

32、課 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析： ?? 本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識.主要知識點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1． 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實(shí)數(shù)λ，使=λ. 2．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2 3．平面向量的坐標(biāo)表示 分別

33、取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使得 把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作 4．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 若，，則，，. 若，，則 5．∥ (1)的充要條件是x1y2-x2y1=0 6．線段的定比分點(diǎn)及λ P1， P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1， P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)λ， 使 =λ，λ叫做點(diǎn)P分所成的比，有三種情況： λ>0(內(nèi)分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 7. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式： 若點(diǎn)P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ為實(shí)數(shù)，且

34、＝λ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），我們稱λ為點(diǎn)P分所成的比. 8. 點(diǎn)P的位置與λ的范圍的關(guān)系： ①當(dāng)λ＞０時，與同向共線，這時稱點(diǎn)P為的內(nèi)分點(diǎn). ②當(dāng)λ＜０()時，與反向共線，這時稱點(diǎn)P為的外分點(diǎn). 9.線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式： 在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，設(shè)＝ａ，＝ｂ， 可得=. 10．力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F與s的夾角. 二、講解新課： 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. 說明：（1）當(dāng)θ＝０時，ａ與ｂ同向； （2）當(dāng)θ＝π時，ａ與ｂ反向； （3）當(dāng)θ＝時，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥

35、ｂ； （4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0°≤q≤180° C 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a||b|cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. ×探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別 （1）兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定. （2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a×b；今后要學(xué)到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“· ”在向量運(yùn)算中不是

36、乘號，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在實(shí)數(shù)中，若a10，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a10，且a×b=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏osq有可能為0. （4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b10)，則ab=bc T a=c.但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a||b|cosb = |b||OA|，b×c = |b||c|cosa = |b||OA| T a×b = b×c 但a 1 c (5)在實(shí)數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c 1 a(b×c) 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的

37、向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線. 3．“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0°時投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時投影為 -|b|. 4．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量. 1° e×a = a×e =|a|cosq 2° a^b

38、? a×b = 0 3° 當(dāng)a與b同向時，a×b = |a||b|；當(dāng)a與b反向時，a×b = -|a||b|. 特別的a×a = |a|2或 4° cosq = 5° |a×b| ≤ |a||b| 三、講解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a與b的夾角θ=120o，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直. 例4 判斷正誤，并簡要說明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜

39、｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，則對任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，則ａ與ｂ中至少有一個為0；⑦對任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ與ｂ是兩個單位向量，則ａ２＝ｂ２. 解：上述8個命題中只有③⑧正確； 對于①：兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，應(yīng)有0·ａ＝０；對于②：應(yīng)有０·ａ＝0； 對于④：由數(shù)量積定義有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜c(diǎn)osθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，這里θ是ａ與ｂ的夾角，只有θ＝０或θ＝π時，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜； 對于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 對于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 對于⑦：若ａ與с共線，記ａ＝λс. 則ａ·ｂ＝

40、（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ與с不共線，則(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ. 評述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律. 例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，當(dāng)①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ與ｂ的夾角是60°時，分別求ａ·ｂ. 解：①當(dāng)ａ∥ｂ時，若ａ與ｂ同向，則它們的夾角θ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜c(diǎn)os0°＝3×6×1＝18； 若ａ與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜c(diǎn)os180°＝3×6×（-1）＝－18； ②當(dāng)ａ⊥ｂ時，它們的夾角θ＝90°， ∴

41、ａ·ｂ＝０； ③當(dāng)ａ與ｂ的夾角是60°時，有 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜c(diǎn)os60°＝3×6×＝9 評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是［0°，180°］，因此，當(dāng)ａ∥ｂ時，有0°或180°兩種可能. 四、課堂練習(xí)： 五、小結(jié)（略） 二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 教學(xué)目的： 1.掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律； 2.能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題； 3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題. 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律. 教學(xué)難

42、點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析： ? 啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì).? 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a||b|cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量

43、積為0. 3．“投影”的概念：作圖 C 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0°時投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時投影為 -|b|. 4．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量. 1° e×a = a×e =|a|cosq； 2° a^b ? a×b = 0 3°

44、 當(dāng)a與b同向時，a×b = |a||b|；當(dāng)a與b反向時，a×b = -|a||b|. 特別的a×a = |a|2或 4°cosq = ；5°|a×b| ≤ |a||b| 二、講解新課： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1．交換律：a × b = b × a 證：設(shè)a，b夾角為q，則a × b = |a||b|cosq，b × a = |b||a|cosq ∴a × b = b × a 2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b) 證：若> 0，(a)×b =|a||b|cosq， (a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cosq， 若< 0，

45、(a)×b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，(a×b) =|a||b|cosq， a×(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq. 3．分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 ∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b

46、| cosq2， ∴c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c 說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с） （2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ （3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２ 三、講解范例： 例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角. 解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 T 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 ①

47、 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 T 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 ② 兩式相減：2a×b = b2 代入①或②得：a2 = b2 設(shè)a、b的夾角為q，則cosq = ∴q = 60° 例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和. 解：如圖：平行四邊形ABCD中，，，= ∴||2= 而= ， ∴||2= ∴||2 + ||2 = 2= 例3 四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，試問四邊形ABCD是什么圖形? 分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角

48、量. 解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)椋? 一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２ 即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２ 由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２② 由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對邊分別相等. ∴四邊形ABCD是平行四邊形 另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC. 綜上所述，四邊形AB

49、CD是矩形. 評述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用； (2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系. 四、課堂練習(xí)： 五、小結(jié)（略） 三、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角 教學(xué)目的： ⑴要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 ⑵掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件，及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式. ⑶能用所學(xué)知識解決有關(guān)綜合問題. 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用 授課類型：新授課 教 具：多媒體

50、、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. C 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a||b|cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 4．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量. 1° e×a = a×

51、e =|a|cosq； 2° a^b ? a×b = 0 3° 當(dāng)a與b同向時，a×b = |a||b|；當(dāng)a與b反向時，a×b = -|a||b|. 特別的a×a = |a|2或 4° cosq = ；5°|a×b| ≤ |a||b| 5．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 交換律：a × b = b × a 數(shù)乘結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b) 分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 二、講解新課： ⒈ 平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 已知兩個非零向量，，試用和的坐標(biāo)表示. 設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么， 所以 又，，，所以 這

52、就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即 2. 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 六、 設(shè)，則或. （2）如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式) 七、 向量垂直的判定 設(shè)，，則 八、 兩向量夾角的余弦（） cosq = 九、 講解范例： 十、 設(shè)a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a·b及a、b間的夾角θ(精確到1o) 例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，試判斷△ABC的形狀，并給出證明. 例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求滿足x×a = 9與x×b =

53、-4的向量x. 解：設(shè)x = (t， s)， 由 ∴x = (2， -3) 例4 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），則a與b的夾角是多少? 分析：為求a與b夾角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再結(jié)合夾角θ的范圍確定其值. 解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１） 有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２． 記a與b的夾角為θ，則ｃｏｓθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應(yīng)注重角的范圍的確定. 例5 如圖，以原點(diǎn)和A(5， 2)為頂點(diǎn)作等腰直角△OAB，使DB = 90°，求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo). 解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)(x， y)，則

54、= (x， y)，= (x-5， y-2) ∵^ ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29 由 ∴B點(diǎn)坐標(biāo)或；=或 例6 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一個內(nèi)角為直角， 求k值. 解：當(dāng)A = 90°時，×= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 當(dāng)B = 90°時，×= 0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3) ∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k =

55、 當(dāng)C = 90°時，×= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k = 復(fù)習(xí)課 一、教學(xué)目標(biāo) 1. 理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。 2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四邊形法則（共起點(diǎn)）和三角形法則（首尾相接）。 4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(試問：取等號的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(||+||)=|－|+|+|. 5. 了解實(shí)數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）： 6. 向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法 7. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算（加.減.實(shí)數(shù)和向

56、量的乘法.數(shù)量積） 8. 數(shù)量積（點(diǎn)乘或內(nèi)積）的概念，·=||||cos=xx+yy注意區(qū)別“實(shí)數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法” 二、知識與方法 向量知識，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視. 數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長；②求夾角；③判垂直 三、典型例題 例1.對于任意非零向量與，求證：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜ 證明：(1)兩個非零向量與不共線時，+的方向與，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜ (3)

57、兩個非零向量與共線時，①與同向，則+的方向與.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②與異向時，則+的方向與模較大的向量方向相同，設(shè)||＞||，則|+|=||-||.同理可證另一種情況也成立。 例2 已知O為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠AOB=150°，∠BOC=90°，設(shè)=，=，=， 且||=2，||=1，| |=3，用與表示 解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系xoy，其中, 是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（-3，0），設(shè)A（x，y），則條件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3 例3.下面5個命題：①|(zhì)·|=||·||②(·)=·③⊥(－)，則·=· ④·=0，則|+|=|－|⑤·=0，則=或=，其中真命題是（ ） A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤