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1、 1

2、 1 學(xué)案16　定積分及其簡單的應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.以求曲邊梯形的面積和汽車變速行駛的路程為背景準(zhǔn)確理解定積分的概念.2.理解定積分的簡單性質(zhì)并會簡單應(yīng)用.3.會說出定積分的幾何意義，能根據(jù)幾何意義解釋定積分.4.會用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則，反方向求使F′(x)＝f(x)的F(x)，并運用牛頓—萊布尼茨公式求f(x)的定積分.5.會通過求定積分的方法求由已知曲線圍成的平面圖形的

3、面積.6.能熟練運用定積分求變速直線運動的路程.7.會用定積分求變力所做的功． 自主梳理 1．定積分的幾何意義：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分的幾何意義是直線________________________所圍成的曲邊梯形的________． 2．定積分的性質(zhì) (1)?kf(x)dx＝__________________ (k為常數(shù))； (2)?[f1(x)±f2(x)]dx＝_____________________________________； (3)?f(x)dx＝_________________

4、______________________. 3．微積分基本定理 一般地，如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a)，這個結(jié)論叫做__________________，為了方便，我們常把F(b)－F(a)記成__________________，即?f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)． 4．定積分在幾何中的應(yīng)用 (1)當(dāng)x∈[a，b]且f(x)>0時，由直線x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)圍成的曲邊梯形的面積S＝__________________. (2)當(dāng)x∈[a，b]且f(x)<0時

5、，由直線x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)圍成的曲邊梯形的面積S＝__________________. (3)當(dāng)x∈[a，b]且f(x)>g(x)>0時，由直線x＝a，x＝b (a≠b)和曲線y＝f(x)，y＝g(x)圍成的平面圖形的面積S＝______________________. (4)若f(x)是偶函數(shù)，則?f(x)dx＝2?f(x)dx；若f(x)是奇函數(shù)，則?f(x)dx＝0. 5．定積分在物理中的應(yīng)用 (1)勻變速運動的路程公式 做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)[v(t)≥0]在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即____

6、____________________． (2)變力做功公式 一物體在變力F(x)(單位：N)的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向從x＝a移動到x＝b (a

7、 A. B.－1 C. D. 3．如右圖所示，陰影部分的面積是 (　　) A．2 B．2－ C. D. 4．(20xx·湖南)?dx等于 (　　) A．－2ln 2 B．2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 5．若由曲線y＝x2＋k2與直線y＝2kx及y軸所圍成的平面圖形的面積S＝9，則k＝________. 探究點

8、一　求定積分的值 例1　計算下列定積分： (1)； (2)； (3)?(2sin x－3ex＋2)dx； (4)?|x2－1|dx. 變式遷移1　計算下列定積分： (1)?|sin x|dx；(2)?sin2xdx. 探究點二　求曲線圍成的面積 例2　計算由拋物線y＝x2和y＝3－(x－1)2所圍成的平面圖形的面積S. 變式遷移2　計算曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍圖形的面積． 探究點三　定積分在物理中的應(yīng)用 例3　一輛汽車的速度－時間曲線如圖所示，求此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程．

9、 變式遷移3　A、B兩站相距7.2 km，一輛電車從A站開往B站，電車開出t s后到達(dá)途中C點，這一段速度為1.2t m/s，到C點時速度達(dá)24 m/s，從C點到B點前的D點以勻速行駛，從D點開始剎車，經(jīng)t s后，速度為(24－1.2t)m/s，在B點恰好停車，試求： (1)A、C間的距離； (2)B、D間的距離； (3)電車從A站到B站所需的時間． 函數(shù)思想的應(yīng)用 例　(12分)在區(qū)間[0,1]上給定曲線y＝x2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值． 【答題模板】 解　S1面積等于邊長為t與t

10、2的矩形面積去掉曲線y＝x2與x軸、直線x＝t所圍成的面積，即S1＝t·t2－?x2dx＝t3.[2分] S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2,1－t，即S2＝?x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.[4分] 所以陰影部分面積S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．[6分] 令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0時，得t＝0或t＝.[8分] t＝0時，S＝；t＝時，S＝；t＝1時，S＝.[10分] 所以當(dāng)t＝時，S最小，且最小值為.[12分] 【突破思維障礙】 本題既不是直接求曲邊梯形面積問題，也不是直接求函數(shù)的最小值問題

11、，而是先利用定積分求出面積的和，然后利用導(dǎo)數(shù)的知識求面積和的最小值，難點在于把用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值的問題置于先求定積分的題境中，突出考查學(xué)生知識的遷移能力和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識． 1．定積分?f(x)dx的幾何意義就是表示由直線x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)圍成的曲邊梯形的面積；反過來，如果知道一個這樣的曲邊梯形的面積也就知道了相應(yīng)定積分的值，如?dx＝π (半徑為2的個圓的面積)，?dx＝2π. 2．運用定積分的性質(zhì)可以化簡定積分計算，也可以把一個函數(shù)的定積分化成幾個簡單函數(shù)定積分的和或差． 3．計算一些簡單的定積分問題，解題步驟是：第一步，把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正

12、弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)積的和或差；第二步，把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；第三步，分別用求導(dǎo)公式找到一個相應(yīng)的使F′(x)＝f(x)的F(x)；第四步，再分別用牛頓—萊布尼茨公式求各個定積分的值后計算原定積分的值． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．下列值等于1的積分是 (　　) A．?xdx B．?(x＋1)dx C．?dx D．?1dx 2．(20xx·汕頭模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝則?f(x)dx等

13、于 (　　) A. B. C．6 D．17 3．已知f(x)為偶函數(shù)且?f(x)dx＝8，則?f(x)dx等于 (　　) A．0 B．4 C．8 D．16 4．(20xx·深圳模擬)曲線y＝sin x，y＝cos x與直線x＝0，x＝所圍成的平面區(qū)域的面積為 (　　) A．?0(sin x－cos x)dx B．2?0(sin

14、x－cos x)dx C．?0(cos x－sin x)dx D．2?0(cos x－sin x)dx 5．(20xx·臨渭區(qū)高三調(diào)研)函數(shù)f(x)＝?t(t－4)dt在[－1,5]上 (　　) A．有最大值0，無最小值 B．有最大值0，最小值－ C．有最小值－，無最大值 D．既無最大值也無最小值 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．若1 N的力使彈簧伸長2 cm，則使彈簧伸長12 cm時克服彈力做的功為__________J. 7．?(2xk＋1)dx＝2，則k＝_

15、_______. 8．(20xx·山東實驗中學(xué)高三三診)若f(x)在R上可導(dǎo)，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，則?f(x)dx＝________. 三、解答題(共38分) 9．(12分)計算以下定積分： (1)?dx；　(2)?2dx； (3)?0(sin x－sin 2x)dx；　(4)?|3－2x|dx. 10．(12分)設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等的實根，且f′(x)＝2x－2. (1)求y＝f(x)的表達(dá)式； (2)求y＝f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積． 11．(14分)求曲線y＝ex－1與直線x＝

16、－ln 2，y＝e－1所圍成的平面圖形的面積． 答案 自主梳理 1．x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)　面積 2．(1)k?f(x)dx　(2)?f1(x)dx±?f2(x)dx (3)?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a

17、 當(dāng)k>0時，S＝?(x2＋k2－2kx)dx ＝?(x－k)2dx＝(x－k)3|＝0－(－k)3＝， 由題意知＝9，∴k＝3. 由圖象的對稱性可知k＝－3也滿足題意，故k＝±3. 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)與絕對值有關(guān)的函數(shù)均可化為分段函數(shù)． ①分段函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的積分可分成幾段積分的和的形式． ②分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定，按照原函數(shù)分段的情況分即可，無需分得過細(xì)． (2)f(x)是偶函數(shù)，且在關(guān)于原點對稱的區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則?f(x)dx＝2?f(x)dx. 解　(1)?dx ＝?xdx＋?dx＋?dx ＝x2|＋ln x|－

18、| ＝(e2－1)＋(ln e－ln 1)－ ＝e2－＋. (2)?0(sin x－2cos x)dx ＝?0sin xdx－2?0cos xdx ＝(－cos x)|0－2sin x|0 ＝－cos －(－cos 0)－2 ＝－1. (3)?(2sin x－3ex＋2)dx ＝2?sin xdx－3?exdx＋?2dx ＝2(－cos x)|－3ex|＋2x| ＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(eπ－e0)＋2(π－0) ＝7－3eπ＋2π. (4)∵0≤x≤2， 于是|x2－1|＝ ∴?|x2－1|dx＝?(1－x2)dx＋?(x2－1)dx

19、＝|＋|＝2. 變式遷移1　解　(1)∵(－cos x)′＝sin x， ∴?|sin x|dx＝?|sin x|dx＋?|sin x|dx ＝?sin xdx－?sin xdx ＝－cos x|＋cos x| ＝－(cos π－cos 0)＋(cos 2π－cos π)＝4. (2)?sin2xdx＝?dx ＝?dx－?cos 2xdx ＝x|－| ＝－ ＝. 例2　解題導(dǎo)引　求曲線圍成的面積的一般步驟為：(1)作出曲線的圖象，確定所要求的面積；(2)聯(lián)立方程解出交點坐標(biāo)；(3)用定積分表示所求的面積；(4)求出定積分的值． 解　作出函數(shù)y＝x2和y＝3－(x－1)2

20、的圖象(如圖所示)，則所求平面圖形的面積S為圖中陰影部分的面積． 解方程組得或 所以兩曲線交點為A，B(2,2)． 所以S＝?2－[3－(x－1)2]dx－?2－x2dx ＝?2－(－x2＋2x＋2)dx－?2－x2dx ＝2－－2－ ＝－－× ＝4. 變式遷移2　解　 如圖， 設(shè)f(x)＝x＋3， g(x)＝x2－2x＋3， 兩函數(shù)圖象的交點為A，B， 由 得或 ∴曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍圖形的面積 S＝?[f(x)－g(x)]dx ＝?[(x＋3)－(x2－2x＋3)dx] ＝?(－x2＋3x)dx ＝|＝. 故曲線與直線所

21、圍圖形的面積為. 例3　解題導(dǎo)引　用定積分解決變速運動的位置與路程問題時，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵．變速直線運動的速度函數(shù)往往是分段函數(shù)，故求積分時要利用積分的性質(zhì)將其分成幾段積分，然后求出積分的和，即可得到答案．s(t)求導(dǎo)后得到速度，對速度積分則得到路程． 解　方法一　由速度—時間曲線易知． v(t)＝ 由變速直線運動的路程公式可得 s＝?3tdt＋?30dt＋?(－1.5t＋90)dt ＝t2|＋30t|＋|＝1 350 (m)． 答　此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 350 m. 方法二　由定積分的物理意義知，汽車1 min內(nèi)所行駛的路程就是速度函數(shù)在[0,

22、60]上的積分，也就是其速度曲線與x軸圍成梯形的面積， ∴s＝(AB＋OC)×30＝×(30＋60)×30＝1 350 (m)． 答　此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 350 m. 變式遷移3　解　(1)設(shè)v(t)＝1.2t，令v(t)＝24，∴t＝20. ∴A、C間距離|AC|＝?1.2tdt ＝(0.6t2)|＝0.6×202＝240 (m)． (2)由D到B時段的速度公式為 v(t)＝(24－1.2t) m/s，可知|BD|＝|AC|＝240 (m)． (3)∵|AC|＝|BD|＝240 (m)， ∴|CD|＝7 200－240×2＝6 720 (m)． ∴C、

23、D段用時＝280 (s)． 又A、C段與B、D段用時均為20 s， ∴共用時280＋20＋20＝320 (s)． 課后練習(xí)區(qū) 1．D　2.B　3.D　4.D　5.B 6．0.36 解析　設(shè)力F與彈簧伸長的長度x的關(guān)系式為F＝kx， 則1＝k×0.02，∴k＝50， ∴F＝50x，伸長12 cm時克服彈力做的功 W＝?50xdx＝x2|＝×0.122＝0.36(J)． 7．1 解析　∵?(2xk＋1)dx＝ ＝＋1＝2，∴k＝1. 8．－18 解析　∵f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)， 即f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3，

24、 ∴?f(x)dx＝×33－4×32＋3×3＝－18. 9．解　(1)函數(shù)y＝2x2－的一個原函數(shù)是y＝x3－ln x， 所以?dx＝ ＝－ln 2－＝－ln 2.………………………………………………………………(3分) (2)?2dx＝?dx ＝ ＝－(2＋ln 2＋4) ＝ln ＋.…………………………………………………………………………………(6分) (3)函數(shù)y＝sin x－sin 2x的一個原函數(shù)為 y＝－cos x＋cos 2x，所以?0(sin x－sin 2x)dx ＝0 ＝－＝－.……………………………………………………………(9分) ＝(3x－x

25、2)|1＋(x2－3x)|2＝.…………………………………………………………(12分) 10．解　(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2， 所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.………………………………………………(4分) 又方程f(x)＝0有兩個相等實根， 所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1. 故f(x)＝x2－2x＋1.………………………………………………………………………(8分) (2)依題意，所求面積S＝?(x2－2x＋1)dx ＝|＝.……………………………………………………………………(12分)

26、11．解　畫出直線x＝－ln 2，y＝e－1及曲線y＝ex－1如圖所示，則所求面積為圖中陰影部分的面積． 由解得B(1，e－1)． 由解得A.…………………………………………………(4分) 此時，C(－ln 2，e－1)，D(－ln 2,0)． 所以S＝S曲邊梯形BCDO＋S曲邊三角形OAD ＝?(e－1)dx－?(ex－1)dx＋………………………………………(7分) ＝(e－1)x|－(ex－x)|＋|(ex－x)|| ………………………………………………(10分) ＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－1－e0)＋|e0－(e－ln 2＋ln 2)| ＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－2)＋ln 2－ ＝eln 2＋.……………………………………………………………………………(14分)