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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 第六章 邊緣檢測 邊緣(edge)是指圖像局部強(qiáng)度變化最顯著的部分．邊緣主要存在于目標(biāo)與目標(biāo)、目標(biāo)與背景、區(qū)域與區(qū)域(包括不同色彩)之間，是圖像分割、紋理特征和形狀特征等圖像分析的重要基礎(chǔ)．圖像分析和理解的第一步常常是邊緣檢測(edge detection)．由于邊緣檢測十分重要，因此成為機(jī)器視覺研究領(lǐng)域最活躍的課題之一．本章主要討論邊緣檢測和定位的基本概念，并使用幾種常用的邊緣檢測器來說明邊緣檢測的基本問題． 圖像中的邊緣通常與圖像強(qiáng)度或圖像強(qiáng)度的一階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)性有關(guān)．圖像強(qiáng)度的不連續(xù)可分為：(1) 階躍不連續(xù)，即圖像強(qiáng)度在不連續(xù)處的兩邊的

2、像素灰度值有著顯著的差異；(2) 線條不連續(xù)，即圖像強(qiáng)度突然從一個(gè)值變化到另一個(gè)值，保持一個(gè)較小的行程后又返回到原來的值．在實(shí)際中，階躍和線條邊緣圖像是很少見的，由于大多數(shù)傳感元件具有低頻特性，使得階躍邊緣變成斜坡型邊緣，線條邊緣變成屋頂形邊緣，其中的強(qiáng)度變化不是瞬間的，而是跨越一定的距離，這些邊緣如圖6．1所示． （a） (b) 圖6．1 兩種常見的邊緣，(a) 階躍函數(shù)，(b) 線條函數(shù)． 其中第一排為理想信號，第二排對應(yīng)實(shí)際信號 對一個(gè)邊緣來說，有可能同時(shí)具有階躍和線條邊緣特性．

3、例如在一個(gè)表面上，由一個(gè)平面變化到法線方向不同的另一個(gè)平面就會產(chǎn)生階躍邊緣；如果這一表面具有鏡面反射特性且兩平面形成的棱角比較圓滑，則當(dāng)棱角圓滑表面的法線經(jīng)過鏡面反射角時(shí)，由于鏡面反射分量，在棱角圓滑表面上會產(chǎn)生明亮光條，這樣的邊緣看起來象在階躍邊緣上疊加了一個(gè)線條邊緣．由于邊緣可能與場景中物體的重要特征對應(yīng)，所以它是很重要的圖像特征。比如，一個(gè)物體的輪廓通常產(chǎn)生階躍邊緣，因?yàn)槲矬w的圖像強(qiáng)度不同于背景的圖像強(qiáng)度． 在討論邊緣算子之前，首先給出一些術(shù)語的定義： 邊緣點(diǎn)：圖像中具有坐標(biāo)且處在強(qiáng)度顯著變化的位置上的點(diǎn)． 邊緣段：對應(yīng)于邊緣點(diǎn)坐標(biāo)及其方位，邊緣的方位可能是梯度角．

4、 邊緣檢測器：從圖像中抽取邊緣(邊緣點(diǎn)和邊緣段)集合的算法． 輪廓：邊緣列表，或是一條表示邊緣列表的擬合曲線． 邊緣連接：從無序邊緣表形成有序邊緣表的過程．習(xí)慣上邊緣的表示采用順時(shí)針方向來排序． 邊緣跟蹤：一個(gè)用來確定輪廊的圖像（指濾波后的圖像）搜索過程． 邊緣點(diǎn)的坐標(biāo)可以是邊緣位置像素點(diǎn)的行、列整數(shù)標(biāo)號，也可以在子像素分辨率水平上表示．邊緣坐標(biāo)可以在原始圖像坐標(biāo)系上表示，但大多數(shù)情況下是在邊緣檢測濾波器的輸出圖像的坐標(biāo)系上表示，因?yàn)闉V波過程可能導(dǎo)致圖像坐標(biāo)平移或縮放．邊緣段可以用像素點(diǎn)尺寸大小的小線段定義，或用具有方位屬性的一個(gè)點(diǎn)定義．請注意，在實(shí)際

5、中，邊緣點(diǎn)和邊緣段都被稱為邊緣． 由邊緣檢測器生成的邊緣集可以分成兩個(gè)子集：真邊緣集和假邊緣集．真邊緣集對應(yīng)場景中的邊緣，假邊緣集不是場景中的邊緣．還有一個(gè)邊緣子集，即場景中漏檢的邊緣集．假邊緣集稱之為假陽性（false Positive），而漏掉的邊緣集則稱之為假陰性（false Negative）． 邊緣連接和邊緣跟蹤之間的區(qū)別在于：邊緣連接是把邊緣檢測器產(chǎn)生的無序邊緣集作為輸入，輸出一個(gè)有序邊緣集；邊緣跟蹤則是將一幅圖像作為輸入，輸出一個(gè)有序邊緣集．另外，邊緣檢測使用局部信息來決定邊緣，而邊緣跟蹤使用整個(gè)圖像信息來決定一個(gè)像素點(diǎn)是不是邊緣． 6.1 梯度

6、 邊緣檢測是檢測圖像局部顯著變化的最基本運(yùn)算．在一維情況下，階躍邊緣同圖像的一階導(dǎo)數(shù)局部峰值有關(guān)．梯度是函數(shù)變化的一種度量，而一幅圖像可以看作是圖像強(qiáng)度連續(xù)函數(shù)的取樣點(diǎn)陣列．因此，同一維情況類似，圖像灰度值的顯著變化可用梯度的離散逼近函數(shù)來檢測．梯度是一階導(dǎo)數(shù)的二維等效式，定義為向量 (6．1) 有兩個(gè)重要的性質(zhì)與梯度有關(guān)：(1) 向量的方向就是函數(shù)增大時(shí)的最大變化率方向；(2) 梯度的幅值由下式給出： (6．2) 　　在實(shí)際應(yīng)用中，通常用絕

7、對值來近似梯度幅值： 　 (6．3) 或 　 (6．4) 　　由向量分析可知，梯度的方向定義為 (6．5) 其中角是相對軸的角度． 注意梯度的幅值實(shí)際上與邊緣的方向無關(guān)，這樣的算子稱為各向同性算子(isotropic operators)． 對于數(shù)字圖像，方程6．1的導(dǎo)數(shù)可用差分來近似．最簡單的梯度近似表達(dá)式為 (6．6) 請注意對應(yīng)于軸

8、方向，而對應(yīng)于負(fù)軸方向．這些計(jì)算可用下面的簡單卷積模板來完成 (6．7) 在計(jì)算梯度時(shí)，計(jì)算空間同一位置和處的真實(shí)偏導(dǎo)數(shù)是至關(guān)重要的．然而采用上面公式計(jì)算的梯度近似值和并不位于同一位置，實(shí)際上是內(nèi)插點(diǎn) 處的梯度近似值，是內(nèi)插點(diǎn)處的梯度近似值．由于這個(gè)緣故，人們常常使用一階差分模板（而不用或 模板）來求和的偏導(dǎo)數(shù)： (6．8) 用上式計(jì)算 和方向梯度的位置是相同的，這一點(diǎn)位于內(nèi)插點(diǎn) 處，即在鄰域的所有四個(gè)像素點(diǎn)之間．不過這種計(jì)算可能會導(dǎo)致一些混淆，所以，通常用鄰域

9、計(jì)算梯度值．這一方法將在下一節(jié)討論． 6．2 邊緣檢測算法 邊緣檢測算法有如下四個(gè)步驟： 濾波：邊緣檢測算法主要是基于圖像強(qiáng)度的一階和二階導(dǎo)數(shù)，但導(dǎo)數(shù)的計(jì)算對噪聲很敏感，因此必須使用濾波器來改善與噪聲有關(guān)的邊緣檢測器的性能．需要指出，大多數(shù)濾波器在降低噪聲的同時(shí)也導(dǎo)致了邊緣強(qiáng)度的損失，因此，增強(qiáng)邊緣和降低噪聲之間需要折衷． 增強(qiáng)：增強(qiáng)邊緣的基礎(chǔ)是確定圖像各點(diǎn)鄰域強(qiáng)度的變化值．增強(qiáng)算法可以將鄰域（或局部）強(qiáng)度值有顯著變化的點(diǎn)突顯出來．邊緣增強(qiáng)一般是通過計(jì)算梯度幅值來完成的． 檢測：在圖像中有許多點(diǎn)的梯度幅值比較大，而這些點(diǎn)在特定的應(yīng)用領(lǐng)域中并不都是邊緣，所以應(yīng)該用某種方法來確定

10、哪些點(diǎn)是邊緣點(diǎn)．最簡單的邊緣檢測判據(jù)是梯度幅值閾值判據(jù)． 定位：如果某一應(yīng)用場合要求確定邊緣位置，則邊緣的位置可在子像素分辨率上來估計(jì)，邊緣的方位也可以被估計(jì)出來． 在邊緣檢測算法中，前三個(gè)步驟用得十分普遍。這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)場合下，僅僅需要邊緣檢測器指出邊緣出現(xiàn)在圖像某一像素點(diǎn)的附近，而沒有必要指出邊緣的精確位置或方向．邊緣檢測誤差通常是指邊緣誤分類誤差，即把假邊緣判別成邊緣而保留，而把真邊緣判別成假邊緣而去掉．邊緣估計(jì)誤差是用概率統(tǒng)計(jì)模型來描述邊緣的位置和方向誤差的．我們將邊緣檢測誤差和邊緣估計(jì)誤差區(qū)分開，是因?yàn)樗鼈兊挠?jì)算方法完全不同，其誤差模型也完全不同． 最近的二十年里發(fā)展了

11、許多邊緣檢測器，這里僅討論常用的幾種邊緣檢測器． 6．2．1 Roberts算子 Roberts交叉算子為梯度幅值計(jì)算提供了一種簡單的近似方法： (6．9) 用卷積模板，上式變成： (6．10) 其中和由下面的模板計(jì)算： (6．11) 同前面的梯度算子一樣，差分值將在內(nèi)插點(diǎn)處計(jì)算．Roberts算子是該點(diǎn)連續(xù)梯度的近似值，而不是所預(yù)期的點(diǎn)處的近似值．Roberts邊緣檢測器的試驗(yàn)結(jié)果見圖6.3． 6．2．2 So

12、bel算子 正如前面所講，采用鄰域可以避免在像素之間內(nèi)插點(diǎn)上計(jì)算梯度．考慮一下圖6．2中所示的點(diǎn)周圍點(diǎn)的排列．Sobel算子也是一種梯度幅值， (6．12) 其中的偏導(dǎo)數(shù)用下式計(jì)算： (6．13) 其中常數(shù) 和其他的梯度算子一樣，和可用卷積模板來實(shí)現(xiàn)： (6．14) 請注意這一算子把重點(diǎn)放在接近于模板中心的像素點(diǎn)．圖6.3和圖6.4表明了這一算子的作用．Sobel算子是邊緣檢測器

13、中最常用的算子之一． 圖6．2 用于說明Sobel算子和Prewitt算子的鄰域像素點(diǎn)標(biāo)記 6．2．3 Prewitt算子 Prewitt算子與Sobel算子的方程完全一樣，只是常量c=1．所以 (6．15) 　　請注意，與Sobel算子不同，這一算子沒有把重點(diǎn)放在接近模板中心的像素點(diǎn)．這種邊緣檢測器的性能也示意在圖6.3和圖6.4中． 6．2．4 各種算法比較 現(xiàn)在來比較一下上面討論過的邊緣檢測器．我們將按照本節(jié)開頭所提出的濾波、增強(qiáng)和檢測這三個(gè)步驟，來比較各種方法．第四步定位將不討論．首先給出在忽略濾波步驟情況下R

14、oberts、Sobel和Prewitt邊緣檢測方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖6.3所示．對濾波后的圖象進(jìn)行邊緣檢測的結(jié)果見圖6.4，其中濾波器為前一章介紹的高斯濾波器，梯度幅值的計(jì)算見方程6.3．比較圖6.3和圖6.4可以發(fā)現(xiàn)，由于噪聲影響，一些假邊緣也被檢測出來了． 圖6.2用于邊緣檢測的測試圖像 (a)原始圖像 (b)7x7高斯濾波的圖像 圖6．3 各種邊緣檢測器對未經(jīng)濾波的圖像（a）進(jìn)行邊緣檢測的比較． (c) Roberts交叉算子．（d）Sobel算子．(e) Prewitt算子． 圖6．4 各種邊緣檢測器對濾波后的圖像（圖6.3 (b

15、)）進(jìn)行邊緣檢測的結(jié)果． (a) Roberts交叉算子．（b）Sobel算子．(c) Prewitt算子 6．3 二階微分算子 前面討論了計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)的邊緣檢測器，如果所求的一階導(dǎo)數(shù)高于某一閾值，則確定該點(diǎn)為邊緣點(diǎn)．這樣做會導(dǎo)致檢測的邊緣點(diǎn)太多(注意一下圖6．3和圖6．4中閾值化后的粗線)．一種更好的方法就是求梯度局部最大值對應(yīng)的點(diǎn)，并認(rèn)定它們是邊緣點(diǎn)，如圖6．5所示．在圖6.5中，若用閾值來進(jìn)行邊緣檢測，則在a和b之間的所有點(diǎn)都被記為邊緣點(diǎn)．但通過去除一階導(dǎo)數(shù)中的非局部最大值，可以檢測出更精確的邊緣．一階導(dǎo)數(shù)的局部最大值對應(yīng)著二階導(dǎo)數(shù)的零交點(diǎn)這意味著在邊緣點(diǎn)處有一階導(dǎo)數(shù)的峰值，同樣地

16、，有二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)．這樣，通過找圖像強(qiáng)度的二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)就能找到邊緣點(diǎn)． 在二維空間，對應(yīng)二階導(dǎo)數(shù)有兩種算子：拉普拉斯算子和二階方向?qū)?shù)． 圖6．5用閾值進(jìn)行邊緣檢測和用二階導(dǎo)數(shù)的零交點(diǎn)進(jìn)行邊緣檢測示意圖． 6．3．1　 拉普拉斯算子 　　平滑過的階躍邊緣二階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)在邊緣點(diǎn)處過零的函數(shù)(見圖6．5)．拉普拉斯算子是二階導(dǎo)數(shù)的二維等效式．函數(shù)的拉普拉斯算子公式為 (6．16) 使用差分方程對和方向上的二階偏導(dǎo)數(shù)近似如下： (6．17)

17、 這一近似式是以點(diǎn)為中心的．用替換，得到 (6．18) 它是以點(diǎn)為中心的二階偏導(dǎo)數(shù)的理想近似式，類似地， (6．19) 把這兩個(gè)式子合并為一個(gè)算子，就成為下面能用來近似拉普拉斯算子的模板： （6．20) 　　有時(shí)希望鄰域中心點(diǎn)具有更大的權(quán)值，比如下面的模板就是一種基于這種思想的近似拉普拉斯算子：

18、 (6．21) 　　當(dāng)拉普拉斯算子輸出出現(xiàn)過零點(diǎn)時(shí)就表明有邊緣存在，其中忽略無意義的過零點(diǎn)(均勻零區(qū))．原則上，過零點(diǎn)的位置精度可以通過線性內(nèi)插方法精確到子像素分辨率，不過由于噪聲，結(jié)果可能不會很精確． 考慮圖6．6中所給的例子．圖中表明了對一幅具有簡單階躍邊緣的圖像進(jìn)行拉普拉斯運(yùn)算的結(jié)果．輸出圖像中的一行是： 0 0 0 6 -6 0 0 0 在本例中，對應(yīng)于原始圖像邊緣的零交叉點(diǎn)位于兩個(gè)中心像素點(diǎn)之間．因此，邊

19、緣可以用其左邊的像素或右邊的像素來標(biāo)記，但整幅圖像的標(biāo)記必須一致．在多數(shù)情況下，零交叉點(diǎn)很少恰好在兩像素點(diǎn)中間，因此邊緣的實(shí)際位置要通過內(nèi)插值來確定． 一幅包含垂直階躍邊緣的圖像 0 0 0 6 -6 0 0 0 0 0 0 6 -6 0 0 0 0 0 0 6 -6 0 0 0 0 0 0 6 -6 0 0 0 圖6．6垂直方向的階躍邊緣拉普拉斯響應(yīng) 現(xiàn)在考慮一下圖6．7所示的例子．該圖給出了拉普拉斯算法對斜坡邊緣的響應(yīng)，其中的一行輸出是

20、 0 0 0 3 0 -3 0 0 零交叉點(diǎn)直接對應(yīng)著圖像中的一個(gè)像素點(diǎn)．再者，這是一種理想情況，邊緣的實(shí)際位置仍要通過內(nèi)插方法來確定． 一幅包含垂直斜坡邊緣的圖像 0 0 0 3 0 -3 0 0 0 0 0 3 0 -3 0 0 0 0 0 3 0 -3 0 0 0 0 0 3 0 -3 0 0 圖6．7　垂直方向的斜坡邊緣拉普拉斯響應(yīng) 6．3．2 二階方向?qū)?shù) 已知圖像曲面，其

21、（與y軸夾角）方向的方向?qū)?shù)在點(diǎn)的值為 (6．22) 二階方向?qū)?shù)為，該算子由下式來實(shí)現(xiàn)： (6．23) 根據(jù)式(6.5)，在梯度方向上的二階導(dǎo)數(shù)為 (6．24) 拉普拉斯的二階方向?qū)?shù)算子在機(jī)器視覺中并不常用，因?yàn)槿魏伟卸A導(dǎo)數(shù)的算子比只包含有一階導(dǎo)數(shù)的算子更易受噪聲的影響．甚至一階導(dǎo)數(shù)很小的局部峰值也能導(dǎo)致二階導(dǎo)數(shù)過零點(diǎn)．為了避免噪聲的影響，必須采用特別有效的濾波方法．在下一節(jié)，我們將討論高斯濾波與二階導(dǎo)數(shù)相結(jié)合的邊緣檢測方法． 6．4　 LoG算法 正

22、如上面所提到的，利用圖像強(qiáng)度二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)來求邊緣點(diǎn)的算法對噪聲十分敏感，所以，希望在邊緣增強(qiáng)前濾除噪聲．為此，Marr和Hildreth[146]將高斯濾波和拉普拉斯邊緣檢測結(jié)合在一起，形成LoG（Laplacian of Gaussian, LoG）算法，也稱之為拉普拉斯高斯算法．LoG邊緣檢測器的基本特征是： 1． 平滑濾波器是高斯濾波器． 2． 增強(qiáng)步驟采用二階導(dǎo)數(shù)(二維拉普拉斯函數(shù))． 3． 邊緣檢測判據(jù)是二階導(dǎo)數(shù)零交叉點(diǎn)并對應(yīng)一階導(dǎo)數(shù)的較大峰值． 4． 使用線性內(nèi)插方法在子像素分辨率水平上估計(jì)邊緣的位置． 這種方法的特點(diǎn)是圖像首先與高斯

23、濾波器進(jìn)行卷積(高斯濾波器在6．6節(jié)中將詳細(xì)討論)，這一步既平滑了圖像又降低了噪聲，孤立的噪聲點(diǎn)和較小的結(jié)構(gòu)組織將被濾除．由于平滑會導(dǎo)致邊緣的延展，因此邊緣檢測器只考慮那些具有局部梯度最大值的點(diǎn)為邊緣點(diǎn)．這一點(diǎn)可以用二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)．拉普拉斯函數(shù)用作二維二階導(dǎo)數(shù)的近似，是因?yàn)樗且环N無方向算子．為了避免檢測出非顯著邊緣，應(yīng)選擇一階導(dǎo)數(shù)大于某一閾值的零交叉點(diǎn)作為邊緣點(diǎn)． LoG算子的輸出是通過卷積運(yùn)算得到的： (6．25) 根據(jù)卷積求導(dǎo)法有

24、 (6．26) 其中： (6．27) 稱之為墨西哥草帽算子(見圖6．8)．這樣，下面兩種方法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的： 1． 求圖像與高斯濾波器卷積，再求卷積的拉普拉斯變換． 2． 求高斯濾波器的拉普拉斯變換，再求與圖像的卷積． 圖6．8一維和二維高斯函數(shù)的拉普拉斯變換圖的翻轉(zhuǎn)圖，其中=2． 如果采用第一種方法，就可能用到5．4介紹的高斯平滑濾波器．直接實(shí)現(xiàn)LoG算法的典型模板見圖6．9．圖6．10給出了應(yīng)用LoG算子和零交叉點(diǎn)檢測的結(jié)果．有關(guān)討論實(shí)現(xiàn)LoG算法的有效方法，請參見文獻(xiàn)[H

25、uertas 1986]． 濾波(通常是平滑)、增強(qiáng)、檢測這三個(gè)邊緣檢測步驟對使用LoG邊緣檢測仍然成立，其中平滑是用高斯濾波器來完成的；增強(qiáng)是將邊緣轉(zhuǎn)換成零交叉點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)的；邊緣檢測則是通過檢測零交叉點(diǎn)來進(jìn)行的． 可以看到，零交叉點(diǎn)的斜率依賴于圖像強(qiáng)度在穿過邊緣時(shí)的變化對比度．剩下的問題是把那些由不同尺度算子檢測到的邊緣組合起來．在上述方法中，邊緣是在特定的分辨下得到的．為了從圖像中得到真正的邊緣，有必要把那些通過不同尺度算子得到的信息組合起來． 圖6．9 拉普拉斯高斯模板 圖 6．10 拉普拉斯高斯邊緣檢測結(jié)果． 這里介紹一下尺度空間概念．高斯平滑運(yùn)

26、算導(dǎo)致圖像中邊緣和其它尖銳不連續(xù)部分的模糊，其中模糊量取決于的值．值越大，噪聲濾波效果越好，但同時(shí)也丟失了重要的邊緣信息，影響了邊緣檢測器的性能．如果用小尺度的濾波器，又有可能平滑不完全而留有太多的的噪聲．大尺度濾波器在平滑相互鄰近的兩個(gè)邊緣時(shí)，可能會將它們連在一起，這樣只能檢測出一個(gè)邊緣．因此，在不知道物體尺度和位置的情況下，很難準(zhǔn)確確定濾波器的尺度． 使用多尺度濾波模板并在濾波器的不同尺度上分析邊緣特性的方法仍在研究中．這些方法的基本思想是，通過使用大尺度濾波模板產(chǎn)生魯棒邊緣和小尺度濾波模板產(chǎn)生精確定位邊緣的特性，來檢測出圖像的最價(jià)邊緣． 6．5 圖像逼近 一幅圖像是

27、一個(gè)連續(xù)函數(shù)的采樣陣列．有關(guān)圖像的大多數(shù)思想首先在連續(xù)域內(nèi)進(jìn)行討論，然后使用離散逼近法來計(jì)算所需要的性質(zhì)．如果我們能從采樣圖像中估計(jì)連續(xù)函數(shù)，那么我們就能從估計(jì)的函數(shù)中求得圖像性質(zhì)，并且可以在子像素分辨率上計(jì)算邊緣的位置． 圖6．11為一幅數(shù)字圖像對應(yīng)的離散三維圖形表示，其中的縱坐標(biāo)表示像素灰度值．設(shè)連續(xù)圖像函數(shù)為： (6．28) 現(xiàn)在的任務(wù)是從數(shù)字圖像的灰度值重構(gòu)連續(xù)函數(shù)．對復(fù)雜的圖像來說，連續(xù)強(qiáng)度函數(shù)可能包含和的超階冪方，從而使得重構(gòu)原始函數(shù)十分困難，因此，我們將采用簡單的分段

28、函數(shù)來建立圖像的模型．這樣，任務(wù)就變成了重構(gòu)每一個(gè)分段解析函數(shù)，或小面（Facets）。換言之，就是試圖找到在每一像素點(diǎn)的鄰域內(nèi)最能逼近該鄰域強(qiáng)度值的簡單函數(shù)，如圖6．12所示．這種逼近叫小面模型（Facet model）[Haralick 1984]．圖6．13給出了采用鄰域的小面模型坐標(biāo)系統(tǒng)． 連續(xù)圖像強(qiáng)度函數(shù)可以在每一個(gè)像素點(diǎn)上得到局部逼近．對一幅的圖像，你能得到個(gè)逼近函數(shù)，每一個(gè)函數(shù)僅對圖像中一個(gè)特定像素有效．使用這些函數(shù)（而不是像素值）來確定邊緣位置． 圖6．11 連續(xù)圖像強(qiáng)度函數(shù)的圖形表示[Jain 1995] 圖6．12 鄰域逼近函數(shù)示意圖 圖

29、6．13 用窗函數(shù)的小面模型坐標(biāo)系統(tǒng)例子．注意像素點(diǎn)位于鄰域的中心． 許多復(fù)雜解析函數(shù)可用來逼近圖像強(qiáng)度．對于簡單的圖像，分段常量或分段雙變量線性函數(shù)是強(qiáng)度函數(shù)的較好逼近．但對具有更復(fù)雜區(qū)域的圖像，要用到二次、三次甚至更高次冪的函數(shù)．本例用下列三次多項(xiàng)式建立圖像鄰域模型： (6．29) 其中和是相對于要逼近的圖像平面中心點(diǎn)的坐標(biāo)． 現(xiàn)在的目標(biāo)是計(jì)算方程（6．29）中逼近函數(shù)的系數(shù)．可用最小二乘法通過奇異值分解（Singular-Value Decomposition, SVD）來計(jì)算系數(shù)，或者使用鄰域，用圖6．14中所示的模板來直接計(jì)算三次逼近函數(shù)的系數(shù)[Hara

30、lick 1993]． 邊緣點(diǎn)出現(xiàn)在像素點(diǎn)鄰域逼近函數(shù)一階方向?qū)?shù)局部極值的位置，基于這一事實(shí)可以進(jìn)行邊緣檢測．一階導(dǎo)數(shù)的局部極值的存在會在一階導(dǎo)數(shù)方向上產(chǎn)生二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)． 在方向上的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式見(6．22)和(6．23) ． 由于圖像局部強(qiáng)度是由三次多項(xiàng)式來近似的，角θ可以被選作為逼近平面的方位角： (6．30) 根據(jù)式(6．23)在點(diǎn)處方向上的二階方向?qū)?shù)為 (6．31) 由于只考慮方向角為的直線上的點(diǎn)，則，，將它們代

31、入上式有 (6．32) 如果對某一，有，則在圖像中點(diǎn)處存在邊緣點(diǎn)．其中是像素邊長， (6．33) 和 (6．34) 換言之，如果邊緣位置落入像素點(diǎn)的邊界之內(nèi)，則將此邊緣點(diǎn)標(biāo)記為邊緣點(diǎn)．若點(diǎn)位于像素點(diǎn)的邊界之外，就不能標(biāo)記為邊緣點(diǎn)．用小面模型邊緣檢測器獲得的邊緣運(yùn)算結(jié)果見圖6．15． 圖6．14 計(jì)算三次方逼近函數(shù)系數(shù)的模板[Haralick 1993]． （a）

32、 （b） 圖6．15 用小面模型邊緣檢測器獲得的邊緣，其中(a)是原始灰度圖像[Jain 1995]． 6．6 Canny 邊緣檢測器 檢測階躍邊緣的基本思想是在圖像中找出具有局部最大梯度幅值的像素點(diǎn)．檢測階躍邊緣的大部分工作集中在尋找能夠用于實(shí)際圖像的梯度數(shù)字逼近．由于實(shí)際的圖像經(jīng)過了攝像機(jī)光學(xué)系統(tǒng)和電路系統(tǒng)（帶寬限制）固有的低通濾波器的平滑，因此，圖像中的階躍邊緣不是十分陡立．圖像也受到攝像機(jī)噪聲和場景中不希望的細(xì)節(jié)的干擾．圖像梯度逼近必須滿足兩個(gè)要求：(1) 逼近必須能夠抑制噪聲效應(yīng)，(2) 必須盡量精確地確定邊緣的位置．抑制噪聲和邊緣精確

33、定位是無法同時(shí)得到滿足的，也就是說，邊緣檢測算法通過圖像平滑算子去除了噪聲，但卻增加了邊緣定位的不確定性；反過來，若提高邊緣檢測算子對邊緣的敏感性，同時(shí)也提高了對噪聲的敏感性．有一種線性算子可以在抗噪聲干擾和精確定位之間提供最佳折衷方案，它就是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，對應(yīng)于圖像的高斯函數(shù)平滑和梯度計(jì)算．梯度的數(shù)值逼近可用6．1節(jié)中列出的和方向上的一階偏導(dǎo)的有限差分來表示．高斯平滑和梯度逼近相結(jié)合的算子不是旋轉(zhuǎn)對稱的．這種算子在邊緣方向上是對稱的，在垂直邊緣的方向上是反對稱的(沿梯度方向)．這也意味著該算子對最急劇變化方向上的邊緣特別敏感，但在沿邊緣這一方向上是不敏感的，其作用就象一個(gè)平滑算子．

34、 Canny邊緣檢測器是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，是對信噪比與定位之乘積的最優(yōu)化逼近算子[Canny 1986]．我們將通過下面的符號對Canny邊緣檢測器算法作一概括說明．用表示圖像．使用可分離濾波方法求圖像與高斯平滑濾波器卷積，得到的結(jié)果是一個(gè)已平滑數(shù)據(jù)陣列 ， (6．36) 其中是高斯函數(shù)的散布參數(shù)，它控制著平滑程度． 已平滑數(shù)據(jù)陣列的梯度可以使用一階有限差分近似式(見6．1節(jié))來計(jì)算與偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)陣列與： (6．37) 在這個(gè)正方形內(nèi)求有限差分的均值，以便在圖像中的同一點(diǎn)計(jì)算x

35、和y的偏導(dǎo)數(shù)梯度．幅值和方位角可用直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式來計(jì)算： 　 (6．38) (6．39) 其中，反正切函數(shù)包含了兩個(gè)參量，它表示一個(gè)角度，其取值范圍是整個(gè)圓周范圍內(nèi)．為高效率地計(jì)算這些函數(shù)，盡量不用浮點(diǎn)運(yùn)算．梯度的幅度和方向也可以通過查找表由偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算．反正切函數(shù)的大多數(shù)計(jì)算使用的是定點(diǎn)運(yùn)算，很少的幾個(gè)計(jì)算是基本浮點(diǎn)運(yùn)算，其中的浮點(diǎn)運(yùn)算是由整數(shù)和定點(diǎn)算術(shù)通過軟件實(shí)現(xiàn)的．Sedgewick[Sedgewick 1988]給出了一種對大多數(shù)應(yīng)用都足夠好的梯度角近似算法． （1）非極大值抑制

36、 幅值圖像陣列的值越大，其對應(yīng)的圖像梯度值也越大，但這還不足以確定邊緣，因?yàn)檫@里僅僅把圖像快速變化的問題轉(zhuǎn)化成求幅值陣列的局部最大值問題．為確定邊緣，必須細(xì)化幅值圖像中的屋脊帶（Ridge），即只保留幅值局部變化最大的點(diǎn)．這一過程叫非極大值抑制（Non-Maxima Suppression，NMS ），它會生成細(xì)化的邊緣． 非極大值抑制通過抑制梯度線上所有非屋脊峰值的幅值來細(xì)化中的梯度幅值屋脊．這一算法首先將梯度角的變化范圍減小到圓周的四個(gè)扇區(qū)之一，如圖6．16所示， (6．40) 四個(gè)扇區(qū)的標(biāo)號

37、為0到3，對應(yīng)著鄰域內(nèi)元素的四種可能組合，任何通過鄰域中心的點(diǎn)必通過其中一個(gè)扇區(qū)．梯度線可能方向的圓周分區(qū)用度來標(biāo)記．該算法使用一個(gè)鄰域作用于幅值陣列的所有點(diǎn)．在每一點(diǎn)上，鄰域的中心像素與沿著梯度線的兩個(gè)元素進(jìn)行比較，其中梯度線是由鄰域的中心點(diǎn)處的扇區(qū)值給出的．如果在鄰域中心點(diǎn)處的幅值不比沿梯度線方向上的兩個(gè)相鄰點(diǎn)幅值大，則賦值為零．這一過程可以把寬屋脊帶細(xì)化成只有一個(gè)像素點(diǎn)寬．在非極大值抑制過程中，保留了屋脊的高度值． 設(shè) (6．41) 表示非極大值抑制過程．中的非零值對應(yīng)著圖像強(qiáng)度階躍變化處的對比度．盡管在邊緣檢測的第一步

38、對圖像進(jìn)行了平滑，但非極大值抑制幅值圖像仍會包含許多由噪聲和細(xì)紋理引起的假邊緣段．實(shí)際中，假邊緣段的對比度一般是很小的． 圖6．16用于非最大值抑制的可能梯度方向劃分示意圖． （2）閾值化 減少假邊緣段數(shù)量的典型方法是對使用一個(gè)閾值，將低于閾值的所有值賦零值．對非極大值抑制幅值進(jìn)行閾值化的結(jié)果是一個(gè)圖像的邊緣陣列．閾值化后得到的邊緣陣列仍然有假邊緣存在，原因是閾值τ太低(假正確)以及陰影的存在，使得邊緣對比度減弱，或閾值τ取得太高而導(dǎo)致部分輪廊丟失(假錯誤)．選擇合適的閾值是困難的，需要經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)．一種更有效的閾值方案是選用兩個(gè)閾值． 雙閾值算法對

39、非極大值抑制圖像作用雙閾值和，且，得到兩個(gè)閾值邊緣圖像和．由于圖像是用高閾值得到的，因此它含有很少的假邊緣，但可能在輪廓上有間斷(太多的假錯誤)．雙閾值法要在中把邊緣連接成輪廊，當(dāng)?shù)竭_(dá)輪廊的端點(diǎn)時(shí)，該算法就在的8-鄰點(diǎn)位置尋找可以連接到輪廊上的邊緣，這樣，算法將不斷地在中收集邊緣，直到將中所有的間隙連接起來為止．這一算法是閾值化的副產(chǎn)物，并解決了閾值選擇的一些問題．Canny邊緣檢測算法列于算法6．1中． 本節(jié)所提出的邊緣檢測算法的試驗(yàn)結(jié)果見圖6．17．在計(jì)算梯度之前，首先用高斯濾波器平滑圖像（圖6.17(b)）和高斯濾波器平滑圖像（圖6.17(d)）．對較小尺度濾波器，非極大值抑制梯度幅值

40、算法可以在邊緣處檢測出極其細(xì)膩的細(xì)節(jié)，但噪聲和細(xì)紋理會導(dǎo)致過量的不希望的邊緣段．對大尺度濾波器，只產(chǎn)生很少數(shù)量的不希望的邊緣段，但丟失了邊緣的大部分細(xì)節(jié)．這表明邊緣定位和抗噪聲之間需要一種折衷． 算法6．1 Canny 邊緣檢測 1. 用高斯濾波器平滑圖像． 2. 用一階偏導(dǎo)的有限差分來計(jì)算梯度的幅值和方向． 3. 對梯度幅值應(yīng)用非極大值抑制 ． 4. 用雙閾值算法檢測和連接邊緣． (d) (e) 圖6．17高斯平滑濾波器作用于測試圖像的邊緣檢測結(jié)果．(a)原始圖像,（b） 經(jīng)過高斯濾波器平滑

41、、梯度逼近和非極大值抑制后的灰度圖像． (c) 一幅用黑點(diǎn)表示圖(b)中大于零的點(diǎn)．(d) 經(jīng)過高斯濾波器平滑、梯度逼近和非極大值抑制后的灰度圖像. (e)一 幅用黑點(diǎn)表示圖(b)中大于零的點(diǎn)． 6．7 子像素級位置估計(jì) 在許多應(yīng)用中，邊緣位置的估計(jì)精度高于像素點(diǎn)間距（子像素分辨率）是很有必要的．用于梯度邊緣檢測算法和用于二階邊緣檢測算法的子像素分辨率精度實(shí)現(xiàn)方法是完全不同的，應(yīng)該分開考慮． 首先，考慮一下二階邊緣檢測器的輸出，比如，用LoG邊緣檢測器．邊緣由像素點(diǎn)之間的零交叉點(diǎn)給出．原則上，邊緣位置可通過線性內(nèi)插方法達(dá)到子像素級精度．在實(shí)際中，二階邊緣檢測輸出的噪聲太大

42、，以至于無法使用簡單的內(nèi)插方法得到精確的結(jié)果，即使是高斯預(yù)平滑函數(shù)，也無濟(jì)于事． 使用基于梯度方法檢測邊緣之后，在邊緣位置上獲取子像素分辨率精度是很實(shí)際的，也是有效的．把高斯平滑濾波器和一階導(dǎo)數(shù)作用于一個(gè)理想的階躍邊緣得到的結(jié)果與高斯濾波器平滑結(jié)果形狀完全一樣．如果階躍邊緣不是理想的，而是由一個(gè)平面漸變到另一個(gè)平面，那么高斯平滑和一階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果可以用一個(gè)較寬的高斯濾波器逼近． 考慮一組服從正態(tài)分布的測量值．正態(tài)分布曲線的中心對應(yīng)著正態(tài)分布的均值，因此可以通過求這組測量值的均值來估計(jì)正態(tài)分布中心．現(xiàn)在假設(shè)可得到的信息是這些測量值直方圖而不是這些測量值本身．正態(tài)分布的均值估計(jì)可

43、通過直方圖每一個(gè)方條中心位置乘以該方條所包含的像素點(diǎn)數(shù)，再除以直方圖面積求得．同樣的方法，邊緣位置子像素級分辨率精度估計(jì)可通過求高斯邊緣檢測器輸出圖像的均值來實(shí)現(xiàn)．為計(jì)算邊緣位置到子像素分辨率水平，在邊緣的任意一個(gè)邊沿梯度方向上取高斯邊緣檢測器輸出（不進(jìn)行非極大值抑制）的幅度，直到梯度幅度低于某一閾值．用梯度幅度作為權(quán)值來計(jì)算沿梯度方向的位置加權(quán)值．沿梯度方向的邊緣位置子像素級校正用下式給出： (6．42) 其中，是一個(gè)像素點(diǎn)沿梯度方向與檢測到的邊緣點(diǎn)的距離，是梯度幅度． 一種更簡單的算法是通過計(jì)算高斯邊緣檢

44、測器的梯度幅度一階矩來實(shí)現(xiàn)邊緣位置精度到子像素級分辨率水平，其中是相對于已經(jīng)檢測到的邊緣像素．把這一校正值加到原像素點(diǎn)坐標(biāo)上就能得到更精確的邊緣位置． 沿梯度幅度圖方向計(jì)算均值的算法，雖然復(fù)雜些，但具有以下優(yōu)點(diǎn)：可用統(tǒng)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)該梯度圖與理想梯度圖的比較，而比較的結(jié)果還能作為邊緣檢測判據(jù)．如果梯度幅度圖不是十分接近高斯函數(shù)曲線形狀，則邊緣就不對應(yīng)理想的階躍邊緣模型．在這種情況下，就不可能用本節(jié)提出的方法精確估計(jì)邊緣位置． 6．8 邊緣檢測器性能 Abdou和Patt[Abdou 1979]、DeMicheli等人[DeMicheli 1989]已經(jīng)給出了評價(jià)邊緣檢測器性能

45、的測度公式．在評價(jià)邊緣檢測器性能時(shí)應(yīng)該考慮的判據(jù)包括： 1. 假邊緣概率， 2. 丟失邊緣概率， 3. 邊緣角估計(jì)誤差， 4. 邊緣估計(jì)值到真邊緣的距離平方均值， 5. 扭曲邊緣和其它諸如角點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)的誤差范圍． 前兩條判據(jù)涉及邊緣檢測器算法的性能．中間兩條判據(jù)涉及邊緣定位、方位估計(jì)算法的性能．最后一條判據(jù)關(guān)心的是邊緣算法偏離理想模型的誤差范圍． 6．8．1性能評價(jià)方法 邊緣檢測器的性能評價(jià)可分為兩個(gè)階段：計(jì)算假邊緣與丟失邊緣的數(shù)目；測量用于估計(jì)位置和方位的誤差(或誤差分布)． 為了測試性能，可以選擇一幅合成圖像，并已知真實(shí)的邊緣位于一個(gè)輪廓上，該輪廓可由簡單曲

46、線的數(shù)學(xué)公式來建模，比如一個(gè)實(shí)心矩形，它的輪廓邊緣可用線段建模，或兩個(gè)實(shí)心矩形，它們的間隙是已知的．通過把邊緣檢測器的結(jié)果與原始(合成)圖像比較，得出真、假、丟失邊緣的數(shù)目，這件事做起來要比想象的難多了．邊緣檢測的結(jié)果隨閾值、濾波器尺度、邊緣相互影響和其它因素的變化而變化．如果將一個(gè)邊緣檢測器作用在一幅沒有加性噪聲、也不平滑且邊緣之間互不相連的測試圖像上，那么就可以得到一個(gè)完善的邊緣集(沒有假邊緣和丟失邊緣)．這種集合可以作為用于比較的標(biāo)準(zhǔn)集． 現(xiàn)在考慮一組邊緣，該組邊緣是從具有加性噪聲圖像或其它導(dǎo)致產(chǎn)生假邊緣的扭曲圖像中獲取的．在歐基里德距離判據(jù)的基礎(chǔ)上，將圖像中的邊緣和標(biāo)準(zhǔn)集中的邊緣一對

47、一地進(jìn)行匹配．離標(biāo)準(zhǔn)集中邊緣太遠(yuǎn)的邊緣是假邊緣，與標(biāo)準(zhǔn)集中某一邊緣非常接近的邊緣是真邊緣．經(jīng)過這一步驟，標(biāo)準(zhǔn)集中沒有與之相匹配的邊緣是在試驗(yàn)條件下丟失的邊緣． 測試邊緣檢測器的上述步驟僅僅根據(jù)邊緣存在與否來評價(jià)其性能，沒有說明邊緣定位和方位估計(jì)的精度．標(biāo)準(zhǔn)集中的正確邊緣(前面所計(jì)算的)與原始試驗(yàn)圖像中邊緣的位置和方位進(jìn)行比較，需要測試模型是可得到的．對實(shí)心矩形來說，線段模型構(gòu)成了它的各個(gè)邊．邊緣位置和方位必須用場景輪廓的數(shù)學(xué)模型來比較．邊緣位置能與沿輪廓的任意點(diǎn)相對應(yīng)，但與輪廓上最近的點(diǎn)才是對應(yīng)點(diǎn)．邊緣點(diǎn)與對應(yīng)點(diǎn)間的距離是可以計(jì)算的．對一個(gè)線段，用6．4節(jié)中的公式．從錯誤定位直方圖中估計(jì)錯誤

48、分布，或列表計(jì)算樣本方差(其中的n為邊緣點(diǎn)數(shù))來估算偏差．通過比較邊緣段最近點(diǎn)的方位和場景輪廓標(biāo)準(zhǔn)曲線方位來計(jì)算方位誤差． 6．8．2品質(zhì)因數(shù) 判斷邊緣檢測器性能的方法是先看邊緣圖像，再評價(jià)其性能． 但這并不能給出性能的客觀指標(biāo)．為定量地評價(jià)不同邊緣檢測器的性能，應(yīng)該建立在可控條件下判斷相關(guān)性的指標(biāo)．下面看一下邊緣檢測器響應(yīng)中的三種主要誤差： 1. 丟失有效的邊緣， 2. 邊緣定位誤差， 3. 將噪聲判斷為邊緣． 邊緣檢測器的品質(zhì)因數(shù)（Figure of Merit, FM）應(yīng)該考慮上述三個(gè)誤差．下面是一種品質(zhì)因數(shù)公式，稱為Pratt品質(zhì)因數(shù)[Pratt 1991]

49、： (6．43) 其中，，，d和α分別是檢測到的邊緣、理想邊緣、實(shí)際邊緣與理想邊緣間的距離和用于懲罰錯位邊緣的設(shè)計(jì)常數(shù)． 注意，由于這種品質(zhì)因數(shù)包括了丟失邊緣點(diǎn)、邊緣點(diǎn)位置和錯誤邊緣點(diǎn)，因此它只能用于有限的幾類圖像．我們可以構(gòu)造一些在已知位置上的對比度得到控制的物體，然后使用上述品質(zhì)因數(shù)公式．通過引入隨機(jī)噪聲來評價(jià)合成圖像的性能是一種非常實(shí)用方法．信噪比隨品質(zhì)因數(shù)的變化曲線表示檢測器性能的退化程度． 6．9 線條檢測 　　本章僅僅討論了如何檢測圖像中的階躍邊緣．線條也是圖像中非常重要的特征．一條線段可以用非常靠近但極性相反的兩個(gè)

50、邊緣來建模，其中兩個(gè)邊緣之間的距離比平滑濾波器的寬度要窄． 邊緣檢測濾波器是用來響應(yīng)階躍邊緣的，對線條不能產(chǎn)生任何有意義的響應(yīng)．因此，必須使用單獨(dú)的算法來檢測線條，而且該算法對階躍邊緣不產(chǎn)生任何有意義的響應(yīng)．如何將邊緣檢測算法和線條檢測算法組合在一個(gè)系統(tǒng)里是機(jī)器視覺領(lǐng)域中的一個(gè)突出問題． 線條可以用Canny修正算法來檢測，即在平滑圖像上而不是在梯度幅值圖像上進(jìn)行非極大值抑制．線條是階躍邊緣的一階導(dǎo)數(shù)，因此，在Canny算法中，不必進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算． 思考題 5.1 什么是邊緣？它與物體的邊界有什么關(guān)系？與區(qū)域的邊界有何關(guān)系？ 5.2 怎樣給圖像中的邊緣建模？哪一種是

51、邊緣檢測中最常用的模型？為什么？ 5.3 寫出邊緣檢測的所有步驟．在進(jìn)行邊緣檢測時(shí)，是否可以省略一步或幾步？為什么？ 5.4 為什么拉普拉斯算法不是一類好的邊緣檢測算法？ 5.5 描述一下高斯拉普拉斯邊緣檢測器．考慮一下邊緣檢測的不同步驟，指出拉普拉斯算法為什么不是一類好的算法，而高斯拉普拉斯算法卻是比較好的算法？ 5.6 在LoG算法中你怎樣選擇合適的尺度？在選擇時(shí)應(yīng)考慮些什么因素？能否在算法中使用自動選擇尺度技術(shù)，為什么？ 5.7 圖像的小平面模型是什么？怎樣用它來進(jìn)行邊緣檢測？對區(qū)域能用這種模式嗎？ 5.8 怎樣實(shí)現(xiàn)邊緣在子像素分辨率水平上定位？考慮一下梯度、拉普拉斯、小平面

52、模型下的子象素分辨率水平下的邊緣定位估計(jì)． 5.9 假定一幅圖像用n×n高斯濾波器平滑，在平滑時(shí)，矩形濾波窗在圖像上移過．在窗函數(shù)左上角位置[i,j]處的點(diǎn)用平滑值取代．平滑之后，梯度幅值用6．1節(jié)中的逼近式計(jì)算．當(dāng)2×2算子移過平滑圖像時(shí)，在窗左上角位置[i,j]處的點(diǎn)用梯度幅值取代．邊緣檢測之后，每一邊緣點(diǎn)的位置計(jì)算到子像素分辨率水平．在原始(未平滑)圖像坐標(biāo)系統(tǒng)中，邊緣位置在何處？ 計(jì)算機(jī)練習(xí)題 5.1 應(yīng)用Roberts、Sobel和 Prewitt算子測試不同的圖像．(1)在預(yù)期的位置得到了邊緣嗎？(2)人工確定幾條邊緣段并做上記號，比較一下程序中給出的邊緣段位置與人工標(biāo)出的位置，改變檢測階躍的閾值并觀察結(jié)果． 5.2 將canny邊緣檢測器作用于上題所用的圖象，比較Canny算子與Sobel算子的性能． 專心---專注---專業(yè)