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2、 1 20xx年高考三輪復習系列：講練測之核心熱點 【全國通用版】 熱點六 三角化簡求值 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【20xx新課標全國】設當時,函數(shù)取得最大值,則______ 【答案】； 2.【20xx新課標全國】已知銳角的內角的對邊分別為,,,,則（ ） （A） （B） （C） （

3、D） 【答案】D； 【解析】因為,且銳角△ABC,故,故,解得. 3.【20xx高考全國1文】若,則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析：由,可得：同正或同負,即可排除A和B,又由,故. 4.【20xx全國1高考理】設且則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 5.【20xx全國1理】（ ）. A. B． C． D． B. 原式.故選D． 【熱點深度剖析】 三角函數(shù)的化簡、求值及最值問

4、題,主要考查同角三角函數(shù)的基本關系式,三角函數(shù)的誘導公式,和、差、倍、半、和積互化公式在求三角函數(shù)值時的應用,考查利用三角公式進行恒等變形的技能,以及基本運算的能力,特別突出算理方法的考查． 20xx年試題主要考查三角恒等變換,及倍角公式的靈活運用、同角的三角函數(shù)關系等知識以及相應的運算能力. 20xx年的試題文主要考查三角函數(shù)的同角的三角函數(shù)關系,理科考查三角函數(shù)的同角的三角函數(shù)關系,三角恒等變換.20xx主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式.通過三年試題來看,二倍角公式,同角的三角函數(shù)關系是考試的重點．從近幾年的高考試題來看,利用同角三角函數(shù)的關系改變三角函數(shù)的名稱,利用誘導公式、和差角公式及

5、二倍角公式改變角的恒等變換是高考的熱點,常與三角函數(shù)式的求值、三角函數(shù)的圖象與性質、三角形中三角恒等變化,向量等知識綜合考查,既有選擇題、填空題,又有解答題,屬中低檔題．預測20xx年會加大對三角客觀題考查的力度,同角三角函數(shù)基本關系式、誘導公式及三角恒等變換是考查重點． 【重點知識整合】 一．三角函數(shù)誘導公式 1.對于形如即滿足中取偶數(shù)時：等于角的同名三角函數(shù),前面加上一個把看成是銳角時,該角所在象限的符號； 2.對于形如即滿足中取奇數(shù)時：等于角的余名三角函數(shù),前面加上一個把看成是銳角時,該角所在象限的符號. 3.口訣：奇變偶不變,符號看象限（看原函數(shù),同時可把看成是銳角）. 4

6、.運用誘導公式轉化角的一般步驟： (1)負化正：當已知角為負角時,先利用負角的誘導公式把這個角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù)值； (2)正化負：當已知角是大于的角時,可用的誘導公式把這個角的三角函數(shù)值化為主區(qū)間內的三角函數(shù)值； (3)主化銳：當已知角是到內的角時,可利用的誘導公式把這個角的三角函數(shù)值化為到內的角. 二． 兩角和與差的三角函數(shù)公式 1. 兩角和與差的正弦公式：. 變形式：； 2.兩角和與差的余弦公式： 變形式：；； 3．兩角和與差的正切公式：. 變形式：. 注意：運用兩角和與差的三角函數(shù)公式的關鍵是熟記公式,我們不僅要記住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的

7、關系,次數(shù)關系,三角函數(shù)名等抓住公式的結構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用,而且抓住了公式的結構特征,有利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結構特征,聯(lián)想到相應的公式,從而找到解題的切入點. 三．二倍角公式的正弦、余弦、正切 1.二倍角的正弦公式:； 二倍角的余弦公式:； 二倍角的正切公式: . 2. 降冪公式：；；. 3.升冪公式：;;. 注意：在二倍角公式中,兩個角的倍數(shù)關系,不僅限于2是的二倍,要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關系,同時還要注意三個角的內在聯(lián)系的作用,是常用的三角變換. 【應試技巧點撥】 1. 利用誘導公式求值：給角求值的原

8、則和步驟 (1)原則：負化正、大化小、化到銳角為終了. (2)步驟：利用誘導公式可以把任意角的三角函數(shù)轉化為之間角的三角函數(shù),然后求值,其步驟為： 給值求值的原則:尋求所求角與已知角之間的聯(lián)系,通過相加或相減建立聯(lián)系,若出現(xiàn)的倍數(shù),則通過誘導公式建立兩者之間的聯(lián)系,然后求解. 常見的互余與互補關系 (1)常見的互余關系有：與；與；與等. (2)常見的互補關系有： 與;與等.遇到此類問題,不妨考慮兩個角的和,要善于利用角的變換的思想方法解決問題. 2.利用誘導公式化簡三角函數(shù)的原則和要求 (1)原則：遵循誘導公式先行的原則,即先用誘導公式化簡變形,達到角的統(tǒng)一,再進行三角

9、函數(shù)名稱轉化,以保證三角函數(shù)名稱最少. (2)要求：①化簡過程是恒等變形；②結果要求項數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結構盡可能簡單,能求值的要求出值. 2. 利用誘導公式證明三角恒等式的主要思路 (1)由繁到簡法：由較繁的一邊向簡單一邊化簡. (2)左右歸一法：使兩端化異為同,把左右式都化為第三個式子. (3)轉化化歸法：先將要證明的結論恒等變形,再證明. 提醒：由終邊相同的角的關系可知,在計算含有的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將的整數(shù)倍去掉后再進行運算,如. 4. 正、余弦三兄妹“、”的應用 與通過平方關系聯(lián)系到一起,即, 因此在解題中若發(fā)現(xiàn)題設條件有三者之一,就可以利用上述關系

10、求出或轉化為另外兩個. 5.如何利用“切弦互化”技巧 （1）弦化切：把正弦、余弦化成切得結構形式,這樣減少了變量,統(tǒng)一為“切”得表達式,進行求值. 常見的結構有: ① 的二次齊次式（如）的問題常采用“”代換法求解； ②的齊次分式（如）的問題常采用分式的基本性質進行變形． （2）切化弦：利用公式,把式子中的切化成弦.一般單獨出現(xiàn)正切、余切的時候,采用此技巧. 6.三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路 基本思路是：一角二名三結構.即首先觀察角與角之間的關系,注意角的一些常用變式,角的變換是三角函數(shù)變換的核心.第二看函數(shù)名稱之間的關系,通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結

11、構特點.基本的技巧有: （1）巧變角：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如,,,,等. (2)三角函數(shù)名互化：切割化弦,弦的齊次結構化成切. (3)公式變形使用：如 (4)三角函數(shù)次數(shù)的降升：降冪公式與升冪公式. (5)式子結構的轉化. (6)常值變換主要指“1”的變換：等. （7）輔助角公式：(其中角所在的象限由的符號確定,的值由確定.在求最值、化簡時起著重要作用,這里只要掌握輔助角為特殊角的情況即可. 如等. 【考場經驗分享】 1．在利用三角函數(shù)定義時,點可取終邊上任一點,如有可能則取終邊與單位圓的交點．一定是正值

12、． 2．同角三角函數(shù)關系及誘導公式要注意象限角對三角函數(shù)符號的影響,尤其是利用平方關系在求三角函數(shù)值時,進行開方時要根據(jù)角的象限或范圍判斷符號,正確取舍． 3．使用誘導公式時一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號,特別是在具體題目中出現(xiàn)類似kπ±α(k∈Z)的形式時,需要對k的取值進行分類討論,從而確定三角函數(shù)值的正負． 4.重視三角函數(shù)的“三變”： “三變”是“變角”,“ 變名”,“ 變式”；變角為：對角的拆分要盡可能化為同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等．在解決求值、化簡、證明問題時,一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明

13、)問題的整體形式中的差異,再選擇適當?shù)娜枪胶愕茸冃危? 4．兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式在學習時應注意以下幾點： （1）不僅對公式的正用逆用要熟悉,而且對公式的變形應用也要熟悉； （2）善于拆角、拼角 如,等； （3）注意倍角的相對性 （4）要時時注意角的范圍 （5）化簡要求 熟悉常用的方法與技巧,如切化弦,異名化同名,異角化同角等. 5．證明三角等式的思路和方法. （1）思路：利用三角公式進行化名,化角,改變運算結構,使等式兩邊化為同一形式. （2）證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證

14、法、分析法,利用函數(shù)的單調性,利用正、余弦函數(shù)的有界性,利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等. 6．解答三角高考題的策略. （1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異,即進行所謂的“差異分析”. （2）尋找聯(lián)系：運用相關公式,找出差異之間的內在聯(lián)系. （3）合理轉化：選擇恰當?shù)墓?促使差異的轉化. 7．加強三角函數(shù)應用意識的訓練 由于考生對三角函數(shù)的概念認識膚淺,不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系,造成思維障礙,思路受阻.實際上,三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù),也是以實數(shù)為自變量的函數(shù),它產生于生產實踐,是客觀實際的抽象,同時又廣泛地應用于客觀實際,故應培養(yǎng)實踐第一的觀點.

15、總之,三角部分的考查保持了內容穩(wěn)定,難度穩(wěn)定,題量穩(wěn)定,題型穩(wěn)定,考查的重點是三角函數(shù)的概念、性質和圖象,三角函數(shù)的求值問題以及三角變換的方法. 8．變?yōu)橹骶€、抓好訓練 變是本章的主題,在三角變換考查中,角的變換,三角函數(shù)名的變換,三角函數(shù)次數(shù)的變換,三角函數(shù)式表達形式的變換等比比皆是,在訓練中,強化變意識是關鍵,但題目不可太難,較特殊技巧的題目不做,立足課本,掌握課本中常見問題的解法,把課本中習題進行歸類,并進行分析比較,尋找解題規(guī)律. 針對高考中題目看,還要強化變角訓練,經常注意收集角間關系的觀察分析方法.另外如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個三角函數(shù)關系式的訓練

16、也要加強,這也是高考的重點.同時應掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結合的題目. 　三角函數(shù)求值中要特別注意角的范圍,如根據(jù)求的值時,中的符號是根據(jù)角的范圍確定的,即當?shù)姆秶沟脮r,取正號,反之取負號．注意在運用同角三角函數(shù)關系時也有類似問題． 9.本熱點一般難度不大,屬于得全分的題目,一般放在選擇題與填空題的中間位置,但是因題目解法的靈活性造成在緊張的考試氛圍里面,容易一時的思路堵塞,需冷靜處理,如果一時想不到化簡的方向,可暫且放一放,不要鉆牛角尖,否則可能造成心理負擔,情緒受到影響,因新課標高考對這個熱點考查難度已經降低,學生應有必勝的信心. 【名題精選練兵篇】 1．【20xx屆江西師大附中

17、、鷹潭一中高三下第一次聯(lián)考】式子的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】, 當且僅當,即時,等號成立.故C正確. 2．【20xx屆江西省高安中學等九校高三下學期聯(lián)考】在中,內角所對的邊分別為,若則（ ） A.成等差數(shù)列 B.成等比數(shù)列 C.成等差數(shù)列 D.成等比數(shù)列 【答案】B 【解析】, ,,由正弦定理可知,所以成等比數(shù)列,故選B. 3．【20xx屆廣東省肇慶市高三上期末】已知tanα=2,則=（ ） A． B．

18、 C． D． 【答案】A 【解析】∵tanα=2,則=sinαcosα===, 故選A． 4．【20xx屆廣東省佛山市高三上期末】已知tanx=,則sin2（+x）=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】tanx=,則sin2（+x）===+ =+=+=,故選D． 5．【20xx屆四川省成都七中高三下學期模擬】直線的傾斜角是,則的值是（ ） A．-3 B．-2 C． D．3 【答案】C 【解析】由于直線的傾斜角是,所以,因此 ,故選C 6．【20xx屆浙江省寧波市“十?！备呷?lián)考】函數(shù),的單調

19、遞增區(qū)間是 . 【答案】. 【解析】, 當時,,故令,∴單調遞增區(qū)間是,故填：． 7．【16屆浙江省寧波市“十?！备呷?lián)考】已知,,且有,,則 . 【答案】. 【解析】,, ∴,故填：. 8．【20xx屆江蘇省蘇中三市高三第二次調研】若存在,使得,則實數(shù)的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】令,當時,． 當時,由得,故, 即存在,使得成立, 利用導數(shù)知識可得為上的單調增函數(shù),所以, 為上的單調減函數(shù),所以,從而． 9．【20xx屆福建省廈門第一中學高三下模擬】的三個內角的對邊分別為,若,,則的取值范圍是 .

20、 【答案】 10．【20xx屆甘肅省河西五市部分普通高中高三第一次聯(lián)考】已知,則的值為 【答案】. 【解析】,故填：. 11．【20xx屆湖北省襄陽市高三上學期期末】若tanα=2tan,則= ． 【答案】 【解析】：∵tanα=2tan,則=== === ====, 故答案為：． 12. 【20xx屆新高考單科綜合調研卷（浙江卷）】若,是第三象限的角,則 （ ） A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】由題意,因為是第三象限的角,所以, 因此

21、. 13. 【惠安一中、養(yǎng)正中學、安溪一中20xx屆高三上學期聯(lián)合考試】已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,終邊上一點,則 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義,,,. 14. 【宿遷市20xx屆高三年級摸底考試】若,則的值是 ． 【答案】. 【解析】. 15. 【浙江省效實中學20xx屆高三上學期期末考試】化簡： A． B． C． D． 【答案】D 【解析】,答案D. 16. 【拉

22、薩中學高三年級（20xx屆）第三次月考試卷】若, ,則=（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D. 17. 若,,,則 A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】因為,,所以,且；又因為,且,所以,且．又因為,所以 ．故應選C. 18. 【北京101中學20xx—20xx學年度高三第一學期期中模擬】在中,若 . 【答案】2 【解析】因為,所以 【名師原創(chuàng)測試篇】 1. 若銳角滿足,則的值為（ ） A.

23、 B. C. D. 【答案】A 2. 已知,則____． 【答案】2 【解析】由已知得,所以． 3. 已知第三象限角的終邊經過點,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題可得,因為角是第三象限角,所以,根據(jù)三角函數(shù)的概念可得,故選C. 4. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出結果的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B． 【解析】由程序框圖可知. 5.在中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知,則角______________. 【答案】 【解析】, , 兩式相減得, 由正弦定理得 .