《高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第3章 第7節(jié) 定積分與微積分基本定理 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第3章 第7節(jié) 定積分與微積分基本定理 Word版含解析（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第七節(jié)定積分與微積分基本定理最新考綱1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.2.了解微積分基本定理的含義1定積分的有關(guān)概念與幾何意義(1)定積分的定義如果函數(shù) f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點將區(qū)間a，b等分成 n 個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點i(i1,2，n)，作和式 sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.當每個小區(qū)間的長度x 趨于 0 時， s的值趨于一個常數(shù)A.我們稱常數(shù) A 叫作函數(shù) f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作錯誤錯誤!f(x)dx，即錯誤錯誤!f(x)dxA.在錯誤錯誤!f(x)dx 中，a 與 b 分別叫做積分下限與積分上限，

2、區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù) f(x)叫做被積函數(shù)，x 叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積式(2)定積分的幾何意義圖形陰影部分面積S錯誤錯誤!f(x)dxS錯誤錯誤!f(x)dxS錯誤錯誤!f(x)dx錯誤錯誤!f(x)dxS錯誤錯誤!f(x)dx錯誤錯誤!g(x)dx錯誤錯誤!f(x)g(x)dx2定積分的性質(zhì)(1)錯誤錯誤!1dxba；(2)錯誤錯誤!kf(x)dxk錯誤錯誤!f(x)dx(k 為常數(shù))；(3)錯誤錯誤!f1(x)f2(x)dx錯誤錯誤!f1(x)dx錯誤錯誤!f2(x)dx；(4)錯誤錯誤!f(x)dx錯誤錯誤!f(x)dx錯誤錯誤!f(x)dx(其中 acb)3微積分

3、基本定理如果連續(xù)函數(shù) f(x)是函數(shù) F(x)的導函數(shù)，即 f(x)F(x)，那么錯誤錯誤!f(x)dxF(b)F(a)，這個結(jié)論叫作微積分基本定理，又叫作牛頓萊布尼茨公式通常稱F(x)是 f(x)的一個原函數(shù)為了方便，常把 F(b)F(a)記作 F(x)|ba，即錯誤錯誤!f(x)dxF(x)|baF(b)F(a)常用結(jié)論函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a，a上連續(xù)，則有(1)若 f(x)為偶函數(shù)，則錯誤錯誤!f(x)dx2錯誤錯誤!f(x)dx.(2)若 f(x)為奇函數(shù)，則錯誤錯誤!f(x)dx0.一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)設(shè)函數(shù) yf(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，則錯誤錯誤!f

4、(x)dx錯誤錯誤!f(t)dt.()(2)定積分一定是曲邊梯形的面積()(3)若錯誤錯誤!f(x)dx0，那么由 yf(x)的圖像，直線 xa，直線 xb 以及 x 軸所圍成的圖形一定在 x 軸下方()答案(1)(2)(3)二、教材改編1已知質(zhì)點的速率 v10t，則從 t0 到 tt0質(zhì)點所經(jīng)過的路程是()A10t20B5t20C103t20D53t20BS錯誤錯誤!vdt錯誤錯誤!10tdt5t2|t005t20.2錯誤錯誤!1x1dx_.1錯誤錯誤!1x1dxln(x1)|e12ln eln 11. 3.錯誤錯誤!1x2dx_.4錯誤錯誤!1x2dx 表示由直線 x0，x1，y0 以及曲

5、線 y 1x2所圍成的圖形的面積，錯誤錯誤!1x2dx4.4曲線 yx2與直線 yx 所圍成的封閉圖形的面積為_16如圖，陰影部分的面積即為所求由yx2，yx，得 A(1,1)故所求面積為 S錯誤錯誤!(xx2)dx12x213x3|1016.考點 1定積分的計算計算定積分的步驟(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差(2)把定積分變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分(3)分別用求導公式的逆運算找到一個相應(yīng)的原函數(shù)(4)利用微積分基本定理求出各個定積分的值，然后求其代數(shù)和1.計算錯誤錯誤!x1x dx 的值為()A.34B.32ln 2C.52ln 2D.3l

6、n 2B錯誤錯誤!x1x dx12x2ln x|212ln 21232ln 2.故選 B.2.錯誤錯誤!(sin xcos x)dx_.2錯誤錯誤!(sin xcos x)dx(cos xsin x)|0112.3.錯誤錯誤!|x1|dx_.12錯誤錯誤!|x1|dx錯誤錯誤!(1x)dxx12x2|00) 11212.運用微積分基本定理求定積分時的 4 個關(guān)鍵點(1)對被積函數(shù)要先化簡，再求積分(2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要先去掉絕對值符號，再求積分(4)注意用“F(x)f(x)”檢驗積分的對錯考點 2定

7、積分的幾何意義(1)根據(jù)題意畫出圖形(2)借助圖形確定被積函數(shù)，求交點坐標，確定積分的上、下限(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和(4)計算定積分，寫出答案利用定積分的幾何意義計算定積分(1)計算：錯誤錯誤!32xx2dx_.(2)若錯誤錯誤!x22xdx4，則 m_.(1)(2)1(1)由定積分的幾何意義知，錯誤錯誤!32xx2dx 表示圓(x1)2y24 和 x1，x3，y0 圍成的圖形的面積，錯誤錯誤!32xx2dx144.(2)根據(jù)定積分的幾何意義錯誤錯誤!x22xdx 表示圓(x1)2y21 和直線 x2，xm 和 y0 圍成的圖形的面積，又錯誤錯誤!x22xdx4為四分之一

8、圓的面積，結(jié)合圖形知 m1.正確畫出定積分所對應(yīng)的幾何圖形是解決此類問題的關(guān)鍵求平面圖形的面積由曲線 xy1，直線 yx，y3 所圍成的封閉平面圖形的面積為_4ln 3由 xy1，y3，可得 A13，3.由 xy1，yx，可得 B(1,1)，由 yx，y3，得 C(3,3)，由曲線 xy1，直線 yx，y3 所圍成圖形的面積為錯誤錯誤!31x dx錯誤錯誤!(3x)dx(3xln x)|1133 x12x2|31(3x1ln 3) 9923 12 4ln 3.逆向問題已知曲線 yx2與直線 ykx(k0)所圍成的曲邊圖形的面積為43，則 k_.2由yx2，ykx，得x0，y0或xk，yk2，則

9、曲線yx2與直線ykx(k0)所圍成的曲邊梯形的面積為錯誤錯誤!(kxx2)dxk2x213x3|k0k3213k343，即 k38，所以 k2.利用定積分求曲邊圖形面積時，一定要找準積分上限、下限及被積函數(shù)當圖形的邊界不同時，要分不同情況討論1.曲線 yx2，y x與 x 軸所圍成的面積為_76如圖所示， 由 y x及 yx2 可得交點橫坐標為 x1.由定積分的幾何意義可知，由 y x，yx2 及 x 軸所圍成的封閉圖形的面積為錯誤錯誤!xdx錯誤錯誤!(x2)dx23x |102xx22 |2176.2.如圖所示，由拋物線 yx24x3 及其在點 A(0，3)和點 B(3,0)處的切線所圍

10、成圖形的面積為_94由 yx24x3，得 y2x4，y|x04，y|x32，拋物線在 A 點處的切線方程為 y4x3，在 B 點處的切線方程為 y2x6，聯(lián)立方程y4x3，y2x6，解得x32，y3，兩切線交點的橫坐標為32，S錯誤錯誤!(4x3)(x24x3)dx錯誤錯誤!錯誤錯誤!32(2x6)(x24x3)dx錯誤錯誤!x2dx錯誤錯誤!(x26x9)dx13x3|323|13x33x29x|332989894.考點 3定積分在物理中的應(yīng)用定積分在物理中的 2 個應(yīng)用(1)求物體做變速直線運動的路程， 如果變速直線運動物體的速度為 vv(t)，那么從時刻 ta 到 tb 所經(jīng)過的路程 s

11、錯誤錯誤!v(t)dt.(2)變力做功，一物體在變力 F(x)的作用下，沿著與 F(x)相同方向從 xa 運動到 xb 時，力 F(x)所做的功是 W錯誤錯誤!F(x)dx.(1)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度 v(t)73t251t(t 的單位：s，v 的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A125ln 5B825ln113C425ln 5D450ln 2(2)一物體在變力 F(x)5x2(力單位：N，位移單位：m)作用下，沿與 F(x)成 30方向作直線運動，則由 x1 運動到 x2 時，F(xiàn)(x)做的功為()A. 3 JB.2 33

12、JC.4 33JD.2 3 J(1)C(2)C(1)由 v(t)73t251t0，可得 t4t83舍去，因此汽車從剎車到停止一共行駛了 4 s，在此期間行駛的距離為錯誤錯誤!v(t)dt錯誤錯誤!73t251t dt7t32t225ln1t|40425ln 5.(2)變力 F 在位移方向上的分力為 Fcos 30，故 F(x)做的功為 W錯誤錯誤!(5x2)cos 30dx32錯誤錯誤!(5x2)dx325x13x3|214 33如果做變速直線運動的物體的速度 v 關(guān)于時間 t 的函數(shù)是 vv(t)(v(t)0)，那么物體從時刻 ta 到 tb 所經(jīng)過的路程 s錯誤錯誤!v(t)dt.物體 A 以速度 v3t21(t 的單位：s，v 的單位：m/s)在一直線上運動， 在此直線上與物體 A 出發(fā)的同時， 物體 B 在物體 A 的正前方 5 m 處以 v10t(t的單位：s，v 的單位：m/s)的速度與 A 同向運動，當兩物體相遇時，相遇地與物體 A 的出發(fā)地的距離是_m.130設(shè) A 追上 B 時，所用的時間為 t0，則 SASB5，即錯誤錯誤! (3t21)dt錯誤錯誤!(10t)dt5，(t3t)|t00)5205，t30t05201即 t05，,SA52055525130m.