《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第8章 第2節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第8章 第2節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含解析（14頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二節(jié)　空間圖形的基本關(guān)系與公理 [最新考綱]　1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題． 1．四個(gè)公理 (1)公理1：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)． (2)公理2：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)， 那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))． 拓展：公理2的三個(gè)推論 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面． 推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面． 推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面． (3)公理3：如果兩個(gè)

2、不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線． (4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行． 2．直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類 (2)異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)． ②范圍：(0°，90°]． 拓展：異面直線判定的一個(gè)定理 過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖所示． 3．空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系 (1)空間中直線與平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 圖形表示

3、 符號(hào)表示 公共點(diǎn) 直線在平面內(nèi) aα 無數(shù)個(gè) 直線 不在 平面 內(nèi) 直線與平 面平行 a∥α 0個(gè) 直線與平面相交 直線與平 面斜交 a∩α＝A 1個(gè) 直線與平 面垂直 a⊥α 1個(gè) (2)空間中平面與平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 圖形表示 符號(hào)表示 公共點(diǎn) 兩平面平行 α∥β 0個(gè) 兩平面相交 α∩β＝l 無數(shù)_個(gè) 4．等角定理 空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)． 唯一性定理 (1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行． (2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面

4、與已知直線垂直． (3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行． (4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線．(　　) (2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面．(　　) (3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．(　　) (4)若直線a不平行于平面α，且aα，則α內(nèi)的所有直線與a異面．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b(　　)

5、A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 C　[由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a，b為異面直線相矛盾．] 2.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為(　　) A．30°　　　　　　　　 B．45° C．60° D．90° C　[連接B1D1，D1C(圖略)， 則B1D1∥EF， 故∠D1B1C為所求的角， 又B1D1＝B1C＝D1C， ∴∠D1B1C＝60°.] 3．下列命題正確的是(　

6、　) A．兩個(gè)平面如果有公共點(diǎn)，那么一定相交 B．兩個(gè)平面的公共點(diǎn)一定共線 C．兩個(gè)平面有3個(gè)公共點(diǎn)一定重合 D．過空間任意三點(diǎn)，一定有一個(gè)平面 D　[如果兩個(gè)平面重合，則排除A，B兩項(xiàng)；兩個(gè)平面相交，則有一條交線，交線上任取三個(gè)點(diǎn)都是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，故排除C項(xiàng)；而D項(xiàng)中的三點(diǎn)不論共線還是不共線，則一定能找到一個(gè)平面過這三個(gè)點(diǎn)．] 4.如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則 (1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形； (2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為正方形． (1)AC＝

7、BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD　[(1)∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD. (2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD.] 考點(diǎn)1　平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 　共面、共線、共點(diǎn)問題的證明 (1)證明共面的方法：①先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②證兩平面重合． (2)證明共線的方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上． (3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其

8、他直線經(jīng)過該點(diǎn)． 　如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證： (1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面； (2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)． [證明]　(1)如圖，連接EF，CD1，A1B. ∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)， ∴EF∥BA1. 又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面． (2)∵EF∥CD1，EF

9、∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)． 　 本例第(1)問的證明應(yīng)用了公理2的推論，采用線線共面，則線上的點(diǎn)必共面的思想；本例第(2)問的證明應(yīng)用了公理3，采用先證明CE與D1F相交，再證明交點(diǎn)在直線DA上． 　1.(2019·衡水中學(xué)模擬)有下列四個(gè)命題： ①空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線； ②空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線； ③空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)共面； ④空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面． 其中真命題的所有序號(hào)有________． ②③　[①中，對(duì)于平面四邊形來說不成立，故①是假命題；②中，若四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則根據(jù)“直線與直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面”知

10、四點(diǎn)共面，與四點(diǎn)不共面矛盾，故②是真命題；由②的分析可知③是真命題；④中，平面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，故④是假命題．] 2.如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面； (2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線． [證明]　(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)， 所以EF∥BD. 在△BCD中，＝＝， 所以GH∥BD， 所以EF∥GH. 所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． (2)因?yàn)镋G∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC，

11、 所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. 所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)． 又平面ABC∩平面ADC＝AC， 所以P∈AC， 所以P，A，C三點(diǎn)共線． 考點(diǎn)2　判斷空間兩直線的位置關(guān)系 　空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法 　1.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　) A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交 C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交 D　[法一：(反證法)　由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要

12、么至少與l1，l2中的一條相交．若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾．故l至少與l1，l2中的一條相交． 法二：(模型法)如圖(1)，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖(2)，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確． ] 圖(1)　　 　　圖(2) 2.(2019·全國(guó)卷Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則(　　) A．BM＝EN，且直線BM、EN是相交直線 B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線 C．BM＝EN，且直線BM、

13、EN是異面直線 D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線 B　[如圖所示， 作EO⊥CD于O，連接ON，過M作MF⊥OD于F. 連接BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD， ∴△MFB與△EON均為直角三角形．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，易知EO＝，ON＝1，EN＝2， MF＝，BF＝， ∴BM＝. ∴BM≠EN.連接BD，BE，∵點(diǎn)N是正方形ABCD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)N在BD上，且BN＝DN. 又∵M(jìn)為ED的中點(diǎn)， ∴BM，EN為△DBE的中線， ∴BM，EN必相交．故選B.] 3．在下列四個(gè)圖中，G，N，M，

14、H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填序號(hào)) ①　　 ?、凇　? 　③　　　 ?、? ②④　[圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面．] 　在直接判斷不好處理的情況下，反證法、模型法(如構(gòu)造幾何體：正方體、空間四邊形等)和特例排除法等是解決此類問題的三種常用便捷方法． 考點(diǎn)3　異面直線所成的角 　1.平移法求異面直線所成角

15、的一般步驟 (1)作角——用平移法找(或作)出符合題意的角． (2)求角——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出角的大?。? 提醒：異面直線所成的角θ∈. 2．坐標(biāo)法求異面直線所成的角：當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系時(shí)，常采用坐標(biāo)法． 提醒：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角． 　(1)[一題多解](2018·全國(guó)卷Ⅱ)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　) A.　　 B.　　　　 C.　　　　 D. (2)如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)

16、，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)． ①求證：直線EF與BD是異面直線； ②若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角． (1)C　[法一：(平移法)如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角．因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2， DM＝＝， DB1＝＝，所以O(shè)M＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理， 得cos∠MOD＝＝， 即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為. 故選C. 法二：(坐標(biāo)法)以D為坐標(biāo)

17、原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由條件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，則由向量夾角公式，得cos〈，〉＝＝＝，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為，故選C. 法三：(補(bǔ)體法)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長(zhǎng)方體A′B′BA-A1′B1′B1A1.連接B1B′，由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角．連接DB′，由題意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝. 在△D

18、B′B1中，由余弦定理，得 DB′2＝B′B＋DB－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′， 即5＝4＋5－2×2cos∠DB1B′， ∴cos∠DB1B′＝.故選C.] (2)[解]　①證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾．故直線EF與BD是異面直線． ②取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD， 所以相交直線EF與EG所成的角， 即為異面直線EF與BD所成的角． 又因?yàn)锳C⊥BD，則FG⊥EG. 在Rt△EGF中，由EG＝FG

19、＝AC，求得∠FEG＝45°， 即異面直線EF與BD所成的角為45°. 　平移法、坐標(biāo)法和補(bǔ)體法是求兩條異面直線所成角的大小的三種常用方法，其中平移法和補(bǔ)體法的實(shí)質(zhì)是平行移動(dòng)直線，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角，體現(xiàn)了化歸思想． [教師備選例題] 1．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A.　　 B.　　　　 C.　　　　 D. A　[如圖，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面A

20、BCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可證CD1∥n. 因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角． 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.] 2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線AB與a

21、成60°角時(shí)，AB與b成30°角； ②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角； ③直線AB與a所成角的最小值為45°； ④直線AB與a所成角的最大值為60°. 其中正確的是________．(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)) ②③　[依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為1. 由題意知點(diǎn)B在平面xOy中形成的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓． 設(shè)直線a的方向向量為a＝(0,1,0)，直線b的方向向量為b＝(1,0,0)，以O(shè)x軸為始邊沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角為θ，θ∈[0,2π)，則B(cos θ，sin θ，0)， ∴＝(cos θ，sin θ，

22、－1)，||＝. 設(shè)直線AB與a所成夾角為α， 則cos α＝＝|sin θ|∈， ∴45°≤α≤90°，∴③正確，④錯(cuò)誤． 設(shè)直線AB與b所成夾角為β， 則cos β＝＝|cos θ|. 當(dāng)直線AB與a的夾角為60°，即α＝60°時(shí)， 則|sin θ|＝cos α＝cos 60°＝， ∴|cos θ|＝.∴cos β＝|cos θ|＝. ∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直線AB與b的夾角為60°. ∴②正確，①錯(cuò)誤．] 　1. (2019·聊城一模)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為(　　) A. B. C.

23、D. D　[取BC的中點(diǎn)H，連接EH，AH，∠EHA＝90°，設(shè)AB＝2，則BH＝HE＝1，AH＝，所以AE＝，連接ED，ED＝，因?yàn)锽C∥AD，所以異面直線AE與BC所成角即為∠EAD，在△EAD中cos∠EAD＝＝，故選D.] 2．(2019·西安模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________． ②③④　[還原成正四面體A-DEF，其中H與N重合，A，B，C三點(diǎn)重合． 易知GH與EF異面，BD與MN異面． 連接GM，∵△GMH為等邊三角形， ∴GH與MN成60°角， 易證DE⊥AF，又MN∥AF， ∴MN⊥DE. 因此正確命題的序號(hào)是②③④.]