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1、 平行關系 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．(2019·長沙模擬)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是(　　) A．m∥α，n∥α，則m∥n B．m∥n，m∥α，則n∥α C．m⊥α，m⊥β，則α∥β D．α⊥γ，β⊥γ，則α∥β C　[對于A，平行于同一平面的兩條直線可能相交，平行或異面，故A不正確； 對于B，m∥n，m∥α，則n∥α或nα，故B不正確； 對于C，利用垂直于同一直線的兩個平面平行，可知C正確； 對于D，因為垂直于同一平面的兩個平面的位置關系是相交或平行，故D不正確．] 2．下列四個正方體圖形中，

2、A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是(　　) A．①③　　 B．②③ C．①④ D．②④ C　[對于圖形①，平面MNP與AB所在的對角面平行，即可得到AB∥平面MNP；對于圖形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；圖形②③無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行．] 3．(2019·哈爾濱模擬)已知互不相同的直線l，m，n和平面α，β，γ，則下列命題正確的是(　　) A．若l與m為異面直線，lα，mβ，則α∥β B．若α∥β，lα，mβ，則l∥m C．若α∩β＝l，β∩γ＝m，α∩γ＝n，l∥γ，則m∥n D．若

3、α∩γ，β⊥γ，則α∥β C　[對于A，α與β也可能相交，故排除A. 對于B，l與m也可能是異面直線，故排除B. 對于D，α與β也可能相交，故排除D. 綜上知，選C.] 4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，給出下列四個推斷： ①FG∥平面AA1D1D； ②EF∥平面BC1D1； ③FG∥平面BC1D1； ④平面EFG∥平面BC1D1. 其中推斷正確的序號是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ A　[因為在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，所以FG

4、∥BC1，因為BC1∥AD1，所以FG∥AD1 ， 因為FG平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D， 所以FG∥平面AA1D1D，故①正確； 因為EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，所以EF與平面BC1D1相交，故②錯誤； 因為E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點， 所以FG∥BC1， 因為FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1， 所以FG∥平面BC1D1，故③正確； 因為EF與平面BC1D1相交，所以平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯誤，故選A.] 5．(2019·黃山模擬)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一點(不與端點重合

5、)，BD1∥平面B1CE，則(　　) A．BD1∥CE B．AC1⊥BD1 C．D1E＝2EC1 D．D1E＝EC1 D　[如圖，設B1C∩BC1＝O， 可得平面D1BC1∩平面B1CE＝EO， ∵BD1∥平面B1CE，根據(jù)線面平行的性質可得D1B∥EO， ∵O為BC1的中點，∴E為C1D1中點，∴D1E＝EC1，故選D.] 二、填空題 6．棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積是________． 　[如圖，由面面平行的性質知截面與平面ABB1A1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD

6、1MN，易求其面積為.] 7．一正四面體木塊如圖所示，點P是棱VA的中點，過點P將木塊鋸開，使截面PFED平行于棱VB和AC，若木塊的棱長為a，則截面PFED面積為________． 　[在平面VAC內作直線PD∥AC，交VC于D， 在平面VBA內作直線PF∥VB，交AB于F， 過點D作直線DE∥VB，交BC于E， ∴PF∥DE，∴P，D，E，F(xiàn)四點共面，且面PDEF與VB和AC都平行， 則四邊形PDEF為邊長為a的正方形，故其面積為.] 8．如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有

7、下面四個命題： ①沒有水的部分始終呈棱柱形； ②水面EFGH所在四邊形的面積為定值； ③棱A1D1始終與水面所在平面平行； ④當容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值． 其中正確的命題是________． ①③④　[由題圖，顯然①是正確的，②是錯誤的； 對于③，因為A1D1∥BC，BC∥FG， 所以A1D1∥FG且A1D1平面EFGH， 所以A1D1∥平面EFGH(水面)． 所以③是正確的； 對于④，因為水是定量的(定體積V)， 所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V. 所以BE·BF＝(定值)，即④是正確的．] 三、解答題 9．如圖，在四棱錐S-AB

8、CD中，四邊形ABCD為矩形，E為SA的中點，SA＝SB＝2，AB＝2，BC＝3. (1)證明：SC∥平面BDE； (2)若BC⊥SB，求三棱錐C-BDE的體積． [解](1)證明：連接AC，設AC∩BD＝O，連接OE， ∵四邊形ABCD為矩形， ∴O為AC的中點， 在△ASC中，E為AS的中點， ∴SC∥OE， 又OE平面BDE，SC平面BDE， ∴SC∥平面BDE. (2)過點E作EH⊥AB，垂足為H， ∵BC⊥AB，且BC⊥SB，AB∩SB＝B， ∴BC⊥平面SAB， ∵EH平面ABS，∴EH⊥BC， 又EH⊥AB，AB∩BC＝B， ∴EH⊥平面AB

9、CD， 在△SAB中，取AB中點M，連接SM， ∵SA＝SB，∴SM⊥AB，∴SM＝1. ∵EH∥SM，∴EH＝SM＝， ∴S△BCD＝×3×2＝3. ∴VC-BDE＝VE-BCD＝S△BCD·EH＝×3×＝. ∴三棱錐C-BDE的體積為. 10．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M為棱AE的中點． (1)求證：平面BDM∥平面EFC； (2)若AB＝1，BF＝2，求三棱錐A-CEF的體積． [解](1)證明：如圖，設AC與BD交于點N，則N為AC的中點，連接MN， 又M為棱AE的中點，∴MN∥E

10、C. ∵MN平面EFC，EC平面EFC， ∴MN∥平面EFC. ∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BFDE， ∴四邊形BDEF為平行四邊形，∴BD∥EF. ∵BD平面EFC，EF平面EFC， ∴BD∥平面EFC. 又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC. (2)連接EN，F(xiàn)N.在正方形ABCD中，AC⊥BD， 又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC. 又BF∩BD＝B，∴AC⊥平面BDEF， 又N是AC的中點，∴V三棱錐A-NEF＝V三棱錐C-NEF， ∴V三棱錐A-CEF＝2V三棱錐A-NEF＝2××AN×S△NEF＝2×××××2＝，∴三棱錐

11、A-CEF的體積為. 1．(2019·成都模擬)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G分別是線段A1C1上的點，且A1E＝EF＝FG＝GC1.則下列直線與平面A1BD平行的是(　　) A．CE　　　B．CF　　　C．CG　　　D．CC1 B　[如圖，連接AC，使AC交BD于點O，連接A1O，CF， 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，由于A1FAC， 又OC＝AC，可得：A1FOC，即四邊形A1OCF為平行四邊形， 可得：A1O∥CF，又A1O平面A1BD，CF平面A1BD， 可得CF∥平面A1BD，故選B.] 2．(2019·深圳模擬)已知正方體

12、ABCD-A1B1C1D1，P為棱CC1的動點，Q為棱AA1的中點，設直線m為平面BDP與平面B1D1P的交線，以下關系中正確的是(　　) A．m∥D1Q B．m∥平面B1D1Q C．m⊥B1Q D．m⊥平面ABB1A1 B　[由BD∥B1D1知BD∥平面B1D1P， 所以m∥BD∥B1D1. 又m平面B1D1Q，B1D1平面B1D1Q， 所以m∥平面B1D1Q，故選B.] 3．如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________. 　[∵平面α∥平面β，∴CD∥AB， 則＝， ∴AB＝＝＝.]

13、 4．在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)分別為BC、AP中點． (1)求證：EF∥平面PCD； (2)若AD＝AP＝PB＝AB＝1，求三棱錐P-DEF的體積． [解](1)證明：取PD中點G，連接GF，GC. 在△PAD中，有G，F(xiàn)分別為PD、AP中點， ∴GFAD.在矩形ABCD中，E為BC中點， ∴CEAD， ∴GFEC，∴四邊形GFEC是平行四邊形． ∴GC∥EF. 而GC平面PCD，EF平面PCD， ∴EF∥平面PCD. (2)∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD⊥AB，AD∥BC. ∵平面PAB⊥平面ABCD，

14、平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD平面ABCD， ∴AD⊥平面PAB. ∴平面PAD⊥平面PAB，BC∥平面PAD. ∵AD＝AP＝PB＝AB＝1， ∴AB＝，滿足AP2＋PB2＝AB2. ∴AP⊥PB，∴BP⊥平面PAD. ∵BC∥平面PAD， ∴點E到平面PAD的距離等于點B到平面PAD的距離． 而S△PDF＝×PF×AD＝××1＝， ∴VP-DEF＝S△PDF·BP＝××1＝. ∴三棱錐P-DEF的體積為. 1．(2019·泰安模擬)如圖，在下列四個正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是(　　)

15、 D　[由題意可知經(jīng)過P、Q、R三點的平面為圖中正六邊形PQEFRG，點N與點E重合，故排除B、C，又MC1與QE是相交直線，故排除A，因此選D. ] 2．如圖，在多面體ABCA1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，△A1CB是等邊三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1. (1)求證：AB1∥平面A1C1C； (2)求多面體ABCA1B1C1的體積． [解](1)證明：如圖，取BC的中點D，連接AD，B1D，C1D， ∵B1C1∥BC，BC＝2B1C1， ∴BD∥B1C1，BD＝B1C1，CD∥B1C1，CD＝B1C1， ∴四邊形BDC1B1，C

16、DB1C1是平行四邊形， ∴C1D∥B1B，C1D＝B1B，CC1∥B1D， 又B1D平面A1C1C，C1C平面A1C1C， ∴B1D∥平面A1C1C. 在正方形ABB1A1中，BB1∥AA1，BB1＝AA1， ∴C1D∥AA1，C1D＝AA1， ∴四邊形ADC1A1為平行四邊形，∴AD∥A1C1. 又AD平面A1C1C，A1C1平面A1C1C， ∴AD∥平面A1C1C， ∵B1D∩AD＝D，∴平面ADB1∥平面A1C1C， 又AB1平面ADB1，∴AB1∥平面A1C1C. (2)在正方形ABB1A1中，A1B＝， ∵△A1BC是等邊三角形，∴A1C＝BC＝， ∴AC2＋AA＝A1C2，AB2＋AC2＝BC2， ∴AA1⊥AC，AC⊥AB. 又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD， 易得CD⊥AD，AD∩AA1＝A，∴CD⊥平面ADC1A1. 易知多面體ABCA1B1C1是由直三棱柱ABD-A1B1C1和四棱錐C-ADC1A1組成的， 直三棱柱ABD-A1B1C1的體積為××1＝，四棱錐C-ADC1A1的體積為××1×＝， ∴多面體ABCA1B1C1的體積為＋＝.